feng1734 发表于 2012-1-15 07:21

在r'=kr，t'=kt的坐标变换下仍然保持形式不变的物理学定律表

本帖最后由 feng1734 于 2012-1-15 08:57 编辑

标题太长了，，被砍掉了个“述”，，，，
牛顿力学f=ma是在时间不变，空间三个维度平移或者旋转变换下保持形式不变的物理学定律（变换可能没找全，就表达个意思），，，，，狭义相对论将牛顿第二定律改写为四维形式就成了在四维时空中的洛伦兹变换（一个四维时空中的旋转）下保持形式不变的物理学定律，，，

接下来我要说的是一个在四维时空坐标放缩变换过程中保持形式不变的物理学定律表述，，讨论只限于牛顿力学，，，，
简单来说，就是牛顿第二定律的变分形式，他在坐标放缩变换过程中就保持形式不变（在前面提到的在时间不变，空间三个维度平移或者旋转变换下应该也是形式不变的，不过这不是我所关心的），，，，

证明简述如下，，，
定义，动能T=mv^2/2，势能U=U（r），拉格朗日函数L=T-U，
四维时空，初始状态（0，0），末状态（r，t），，
任取连接四维时空中初末位置的一条曲线，定义它的函数（曲线的函数，叫泛函）就是Ldt沿曲线的积分，其中dt是时间差，这个积分型泛函就叫做作用量S，记作S=S（Ldt），
变分形式的牛顿第二定律就是四维时空中物体运动的真实轨道使得上面的作用量变分为零，记作dS=0，，，，，
dS=dS（Ldt）=0，，这就是我所说的在四维时空坐标放缩变换下抱够保持形式不变的物理学定律，，，
现在做一个放缩变换r'=kr，t'=kt，，于是初末坐标变为（0，0）和（kr，kt），，，，因为速度是位置坐标差/时间坐标差，所以放缩变换不会改变对应时刻的速度，即两个坐标系下对应时刻的动能是一样的T'=T，又因为放缩变换只是数学处理，并不改变物理环境，所以两个坐标系下对应位置的势能也是一样的U'=U，，，综上，原来坐标系下点（r0，t0）对应拉格朗日函数L，新系下点（kr0，kt0）对应L'，有L=L'，，，
在两个坐标系下分别计算作用量时，唯一的差别就在dt，具体就不算了，，结果就是在放缩后的坐标系中计算出的作用量S'=S'（L'dt'）是原坐标系下作用量的k倍，，即S'=kS，，已知dS=0，则dS'=kdS=0（k是常数，可以直接拿到变分号外），，即dS'=dS'（L'dt'）=0是新坐标系下的物理学定律，，这个和上面的dS=dS（Ldt）=0在形式上是一样的，即放缩变换不改变dS=dS（Ldt）=0的形式，，，，，，

大概就这样，如果我没弄错什么的话

feng1734 发表于 2012-1-15 09:06

我现在感觉    对称性   这种东西太随意了，怎么弄都会有的，，，无非就是数学变换做来做去，，，，，

feng1734 发表于 2012-1-15 09:51

话说，关于势能的那部分证明好像有问题，，，，
有机会再改改，，，，

gohomeman1 发表于 2012-1-15 12:47

本帖最后由 gohomeman1 于 2012-1-15 12:48 编辑

确定是正确的吗？要不要使用矢量形式？

话说这种证明，最好说明是一段，然后公式是单独的段。

feng1734 发表于 2012-1-15 14:48

gohomeman1 发表于 2012-1-15 12:47 static/image/common/back.gif
确定是正确的吗？要不要使用矢量形式？

话说这种证明，最好说明是一段，然后公式是单独的段。


我并不确定是正确的，，，势能，比如说引力势能，，对应空间坐标引力势能相等的要求会使得万有引力常数G在放缩变换前后数值是不一样的，，这个变化看起来使得物理学定律在放缩变换前后也是不一样的，，，，，？？？？？？
以后有时间再慢慢考虑，，，，，，

feng1734 发表于 2012-1-15 18:59

有人提示我看下共形场论和标度不变性，，，
然后搜到了这个，，，
http://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance#Scale_invariance_in_classical_field_theory
真空中电磁场波动方程就是标度不变的，，，，，

狐说八道 发表于 2012-1-17 08:21

好像在说“协变”？

feng1734 发表于 2012-1-17 15:11

狐说八道 发表于 2012-1-17 08:21 static/image/common/back.gif
好像在说“协变”？

差不多是类似的问题，，，
对于万有引力定律来说，存在一个万有引力常数，，作为物理学常数，该不该对他有类似协变的要求，我是有点含糊的，，，，
一方面，我要需找一个在放缩变换下，或者说标度变换下保持形式不变的物理学定律，但万有引力常数作为万有引力定律中的常数，他的不变性破坏了我的想法，我没能找到一个不存在万有引力常数的万有引力定律，也就是没有能够将物理学常数无量纲化，，，
但另一方面，考虑到万有引力常数其实就是某个引力决定的运动过程的泛函，他是实验上的一个测量值，即已知完整的运动轨迹R（T），万有引力常数G=R^2/M*d^2R/dT^2，，，把这个带入万有引力定律，坐标变换的同时，R（T）自然也要求变化，即万有引力常数确实要发生一种协变，使得万有引力定律在标度变换时保持形式不变，那其实万有引力定律无需做什么额外太多的改造就已经是我要需找的形式了，，，

目前我将这个问题设置为悬而未决，，，，需要知道更多东西后再回过头来判定，，，，

狐说八道 发表于 2012-1-17 16:19

feng1734 发表于 2012-1-17 15:11 static/image/common/back.gif
差不多是类似的问题，，，
对于万有引力定律来说，存在一个万有引力常数，，作为物理学常数，该不该对他 ...

那你这个做法可要仔细了，
因为据说爱老就是由于狭义相对论不能在万有引力下导出协变式子才推出广义相对论的

feng1734 发表于 2012-1-17 16:30

狐说八道 发表于 2012-1-17 16:19 static/image/common/back.gif
那你这个做法可要仔细了，
因为据说爱老就是由于狭义相对论不能在万有引力下导出协变式子才推出广义相对 ...

矢量不协变了，所以找了张量，，不过我的讨论只限于牛顿万有引力定律，，，我不关心有没有啥实用价值，我关注的是理论意义，，，类似的事情只要完成了一件就可以了，方法是可以移植的，，，，

gohomeman1 发表于 2012-1-17 20:05

不管其他，我首先要支持楼主的研究精神

各位理论好的，都来发言啊！
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