运动方程，守恒量和对称性的一个例子
本帖最后由 feng1734 于 2012-7-18 21:42 编辑考虑拥有s个自由度的力学系统，，拉格朗日运动方程是s个二阶微分方程，，具体形式就不写了，因为偏导数不好写，，，然后可用纯数学方法可求得通解Ri（t）=Fi（c1，c2 ... c2s，t）共s个方程，i=1到s，，其中c1，... ，c2s是2s个积分常数，他们由系统初始状态完全确定，t是末时刻取值，Ri（t）是在末时刻的时候系统第i个自由度的取值，，整个通解的含义就是，系统末状态由系统初始状态和末时刻取值完全确定，，，，，
1.定义所有的守恒量因为cj（j=1，2，... ，2s）是积分常数，即给定系统初状态后cj取值完全确定，他不随时间演化，所以全部的cj就可以定义为全部的守恒量（下面不打算对cj的独立性进行讨论，因为我自己还没弄清楚呢），，，，
2.所有的守恒量的具体表达式对通解求导，记住Ri（t）的导数就是Vi（t），如同坐标的导数是速度，得到Vi（t）=Gi（c1，... ，c2s，t）共s个方程，与原来的s个通解放在一起一共是2s个方程，这2s个方程关于求导运算不是相互独立的，但关于方程组联立求解所需要的所有运算则都是独立的，，于是联立Ri（t）=Fi（c1，c2 ... c2s，t）与Vi（t）=Gi（c1，... ，c2s，t）反解出cj是可以做到的，不妨设得到cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t），这便是所有守恒量的具体表达式，守恒量cj可以写作t时刻的系统状态Ri（t），Vi（t）以及t的取值的函数，，，
3.书写所有的守恒定律因为cj作为积分常数只与系统初状态有关，即cj=Uj（Ri（t0），Vi（t0）），结合上面的cj具体表达式，可以定义所有的守恒定律就是所有的 Wj（Ri（t），Vi（t），t）=Uj（Ri（t0），Vi（t0）），，
4.用所有的守恒定律反推拉格朗日运动方程已知所有的守恒定律同时也就知道了Wj的具体表达式，而Wj就是Fi与Vi共同的逆运算，所以已知Wj则Fi也可求，Fi即拉格朗日运动方程的通解，与拉格朗日运动方程等价，所以拉格朗日运动方程最终被所有的守恒定律推导出来了
5.如果守恒量表达式不显含t守恒量cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t），其中的自变量t并不出现在我们常见的守恒定律中，常见的守恒量都只是Ri（t）和Vi（t）的函数，那么如果想消去守恒量表达式中的t的话，这又会对拉格朗日运动方程有什么要求呢？假设守恒量与t无显式关系，即假设cj=Wj（Ri（t），Vi（t））成立，这时考虑末状态为Ri（T）和Vi（T），初状态为Ri（t0）和Vi（t0），有守恒定律 Wj（Ri（T），Vi（T））=Uj（Ri（t0），Vi（t0）），另取时刻t0+dt的系统状态Ri（t0+dt）和Vi（t0+dt）作为一个初状态，末状态不变，则有守恒定律Wj（Ri（T），Vi（T））=Uj（Ri（t0+dt），Vi（t0+dt）），，，于是，综合两条守恒定律可得Uj（Ri（t0），Vi（t0））=Uj（Ri（t0+dt），Vi（t0+dt）），即得到一个结论，当系统中所有的守恒量的具体表达式都不显含时间的时候，则系统所有的守恒量的数值也不会随着初始时刻选择的不同而不同，，，对某个力学系统来说，将初值代入拉格朗日运动方程的通解可以得到 Ri（t）=Fi（Uj（Ri（t0），Vi（t0）），t），另取末状态t+x，同样可得Ri（t+x）=Fi（Uj（Ri（t0），Vi（t0）），t+x），又因为Uj（Ri（t0），Vi（t0））=Uj（Ri（t0+x），Vi（t0+x）），则有Ri（t+x）=Fi（Uj（Ri（t0+x），Vi（t0+x）），t+x）成立，观察这个方程和Ri（t）=Fi（Uj（Ri（t0），Vi（t0）），t）可知，拉格朗日运动方程的通解在坐标变换t'=t-x下是协变的，而通解本身就等价于运动方程，所以拉格朗日运动方程在时间平移下就能保持形式不变，即拉格朗日运动方程拥有时间平移对称性，，，结论，如果所有的守恒量都只是Ri（t）和Vi（t）的函数，而不是t的显函数，那么拉格朗日运动方程就具有时间平移对称性
6.已知所有守恒量的表达式来求解尽可能多的运动方程的对称性，，，用Dy/Dx表示y对x的偏微分，，由上面第4条知道，当已知所有守恒量的具体表达式cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t）时，可以推导出通解的表达式，即Ri（t）=Fi（cj，t）也是已知的，因为cj是积分常数，所以可知Fi（cj+ej，t）也是运动方程的解，即Fi（cj+ej，t）=Ri'（t），因为Ri（t）作为cj的2s元函数有全微分dRi=sum（DFi/Dcj）dcj，，则当ej非常小时有Ri'（t）-Ri（t）=dRi=sum（DFi/Dcj）dcj=sum（DFi/Dcj）ej，，，即Ri'（t）=Ri（t）+sum（DFi/Dcj）ej，，，因为Ri'（t）=Fi（cj+ej，t）带入运动方程后积分常数cj+ej会被消去，所以Ri'（t）和Ri（t）所满足的运动方程形式上是一样的，即运动方程在无穷小变换r'=r+sum（DFi/Dcj）ej，t'=t下能够保持形式不变，其中ej是2s个无穷小变换参数，他们反映了连续变换的各个坐标之间是如何协同变化的，，结论，对应所有的守恒量cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t），存在无穷小变换（连续变换）r'=r+sum（DFi/Dcj）ej，t'=t使得运动方程在此变换下保持形式不变，，，， 这么多天了终于可以上来了... 好不容易有两个回帖的，还都是和主题无关的，，，，， 不过还是多谢帮顶了，，，，，
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