为什么火星有相位变化

前几天看到论坛里有帖子在讨论火星的相位变化，想起前几个月寒假在家无聊时曾经思考过这个问题，在这里与大家分享一下我的理解，有错误的地方请大家谅解啊~
我们知道月球、水星、金星都有很明显的相位变化，如下图


相位变化来源于我们从地球上看到的天体被照亮的面积大小的变化，举个例子，在上弦月时我们在地球上去观察月球，虽然月球是一个球体，但是只有右半侧（对于北半球的观察者来说）是被太阳光照亮的，左半侧没有被太阳光照亮，所以是暗的（长曝光拍摄看到的左半侧微弱的光来源于地球反射太阳的光照射到月球再反射回地球）。天体被照亮的面积与其位相角有关，即太阳-天体-地球这一夹角，位相角接近0度时天体被100%照亮，例如满月、上合的金星、水星；位相角为90度时天体有50%被照亮，例如上下弦月、金星大距前后；位相角接近180度时天体几乎没有被照亮的地方，例如新月、下合日的水星、金星。火星在轨道上运行时也有位相角，如下图

在火星冲日与合日时，位相角接近0度（因为火星轨道相对于黄道有倾角，所以不为0度），火星几乎被100%照亮

其余时刻火星的位相角均明显大于0度。
学过高中数学的同学们应该都知道，当地球与太阳这两个点固定时，若第三个天体的位相角为一个固定值，那么该天体所有可能分布的位置就在通过地球与太阳的两个固定的圆上，即同弧所对的圆周角一样大，如下图，位相角越小，分布的圆的直径越大；位相角越大，分布的圆的直径越小。反之，若分布的圆的直径越大，位相角越小；分布的圆直径越小，位相角越大。下图中外圆上天体的位相角λ小于内圆上天体的位相角β

在火星轨道上任意位置的火星也位于过地球和太阳的圆上，我们假设地球的位置固定，火星越接近于合与冲的位置，圆的半径越大，位相角也就越小，如下图

那么什么时候火星的位相角最大呢？方法很简单，让过地球与太阳的圆从直径最小（日地距）逐渐扩大，扩大至刚好与火星轨道相切时，相切位置的火星就具有最大的位相角λ，此时的日距角（火星与太阳在地心视像的黄道上的黄经差）可以大致算出

我们假设火星的轨道不是椭圆而是正圆，过太阳与地球的圆扩大至与火星轨道圆相切时，太阳-火星这一线段即为过太阳与地球的圆的直径，因为直径所对的圆周角为直角，所以此时火星的日距角为90度，即在一个会合周期里火星位相角最大在方照时。
实际火星的轨道为椭圆，在地球与火星的一个会合周期里，火星位相角最大的位置在方照前后若干角度，而不是正好在方照时。

那么在不同会合周期中火星位相角的最大值有没有最大最小值呢，答案是肯定的。在一个会合周期中火星位于方照位置且火星正好位于近日点时，其位相角的最大值最大，约为arcsin(1/1.38)=46度，此时火星仅仅被照亮84%左右，最近论坛中大家拍摄的火星即是这一位相。

在一个会合周期中火星位于方照位置且火星正好位于远日点时，其位相角的最大值最小，约为arcsin(1/1.67)=37度，此时火星被照亮90%左右

综上，火星虽然也有明显的相位变化，但其被照亮的面积总是大于84%，即使位相角最大时也仅相当于盈凸月的形状，大多数情况下介于盈凸月与满月形状之间，不存在月球、金星那样的弦月与娥眉月的形状。
对于木星、土星来说，木星近日点距太阳4.95 A.U.，土星近日点距太阳9.05 A.U.，木星位相角始终小于arcsin(1/4.95)=11.7度，土星位相角始终小于arcsin(1/9.05)=6.3度，均被照亮99%以上，几乎看不出形状变化，所以若有如下图所示的木星摄影一定不是在地球上拍摄的