大家来讨论个有趣的小问题…………
3个完全一样的圆柱,表面光滑,半径R 质量M,品字型紧密罗放在光滑的桌子上, 释放后 问最上面的圆柱碰到桌面的速度是多少? (由于全是光华表面所以不涉及转动问题故只需考虑平动！）::070821_18.jpg::[ 本帖最后由 boomerang 于 2008-6-20 17:50 编辑 ] 变力做功问题::070821_02.jpg:: ？想了两分钟，没琢磨出来～～ 我也想了两分钟，只能回答一半：正比于`(R g)^{\frac{1}{2}}`
因为条件里只有一个长度、一个质量，另外还有一个隐藏条件是加速度。
那么能够配出来的速度量纲的物理量就只有`(R g)^{\frac{1}{2}}`了，前面可能还要乘一个系数，具体是多少就得积分了。
好久不做力学题了，如果错了楼下纠正哈。
[ 本帖最后由 bearcat 于 2008-6-20 18:55 编辑 ] 对称，下面两个圆柱速度等值反向，需求解两个量。
光滑表面，机械能守恒，可以列一个方程，但第二个方程，再想想……
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三个圆柱在分离之前，令上面的圆柱速度为向下的`\alpha v_0`，旁边的两个的速度是向两边的`\beta v_0`，其中`v_0 = (g R) ^ {\frac{1}{2}}`。考虑这时的上面圆柱的圆心与下面的某个圆柱的圆心连线，这个连线应该与地面不平行，设连线与地面夹角`\theta`。
此时在连线方向上分解速度（只要是接触就一定满足），得到：`\frac{\beta}{\alpha}=tan \theta`
然后能量守恒：`2*(sin\frac{\pi}{3}-sin\theta)=\frac{1}{2}\alpha^2+\beta^2`
两个方程联立，消去`\alpha`，得到：`\beta^2=\frac{2(sqrt{3}-2sin\theta)sin^2\theta}{1+sin^2\theta}`
考虑到`\beta`在随`sin\theta`的减小的过程中，应该是单调递增的（显然水平方向的圆柱只会被推得越来越快，不会被“拉回来”）。
可以数值的求出，前式在`sin\theta=0.528222288593158`时，`\beta^2`取到最大值`0.2947678835788061`，之后分离，这个水平方向的速度将保持在这个数值上。（从此，水平方向的圆柱匀速直线运动，中间的圆柱是有初速的自由落体）
到了`\theta=0`的时候，能量仍然守恒，所以有：`\alpha=sqrt{2 sqrt{3}-2\beta^2}=1.695454466501576`
所以最终中间的圆柱的速度为`1.695454466501576 (g R) ^ {\frac{1}{2}}`
嗯，熊的计算向来马虎，错了也正常，楼下的指正哈。
[ 本帖最后由 bearcat 于 2008-6-20 21:54 编辑 ] 物理没学好,数学不会做!期待答案 我不会用数学符号 反正贝塔的平方 就是水平球的速度的平方和五楼算得不一样
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关于输入公式，可以参考http://www.astronomy.com.cn/bbs/thread-65128-1-1.html至于我的计算的正确性，我自己都没谱，将近十年没碰这种题目了。 原帖由 bearcat 于 2008-6-20 18:59 发表 http://www.astronomy.com.cn/bbs/images/common/back.gif
http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cbeta%7D%7D%7B%7B%5Calpha%7D%7D%7D%3D%7B%5Ctan%7B%5Ctheta%7D%7D
...
是http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cbeta%7D%7D%7B%7B%5Calpha%7D%7D%7D%3D%7B%5Ctan%7B%5Ctheta%7D%7D？还是`tan theta= \frac {alpha}{beta}`? 看了5#的解法后, 我就不做了, 因为我给不出更好的思路解法了::070821_02.jpg::
LS看到的熊的马虎性
[ 本帖最后由 smile123 于 2008-6-23 03:32 编辑 ]
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