闲话口径之一——口径系列与集光力、可视星等的数字游戏

口径系列与集光力、可视星等的数字游戏

很早就想以这个人所共知的道理写一些乏味的文字。对于老鸟，大可不必再看这些烂熟于心的东西。
大家都知道，天文望远镜的口径是最重要的指标，口径大，就意味着它能够收集更多的微弱星光，从而原来肉眼看不见的星星成为可见。
那末让我们看看，口径与集光力、可视星等之间具体的关系；
首先需要声明一下，我们最初的讨论是建立在一个理想的环境下，没有光污染、没有光路损失和中心遮挡、没有色差、而且以目视为主。所有非理想的情况将会对讨论结果有一个修正，那将是后续帖的内容。
同时我们局限于讨论我们爱好者用得起的望远镜，口径限制在400毫米以内。我没有能力涉及天文台那些具有自适应、多镜面组合的大型设备。
我们的已知条件是：
1，
肉眼可见的最低星等为6.0等，并假设此时瞳孔直径为7.0毫米。尽管有文献声称肉眼可见6.5等星，黑暗中的瞳孔可以扩大到8毫米。但是敝人坚持认为那不过是个别人的专利，就像有的歌唱家音域可以达到三个八度一样，老年人的瞳孔可能只有5毫米；
2，
每相差5个星等，其亮度就相差100倍。例如1等星就比6等星亮度大100倍，从而每相差1个星等，亮度就相差2.5119 倍。这是由依巴谷首创，后来于1850年由波格狲用数学式定义确立的。
3，
望远镜的集光力与物镜通光面积成正比，在无遮挡的情况下物镜通光面积就是物镜口径半径的平方乘以圆周率π。也即集光力与物镜直径平方成正比（这里暂且不去考虑物镜玻璃界面的光线反射与透射损失，也忽略各色光线通过光路时的不同表现）；

那末，如果有一具口径为100毫米的折射望远镜，其集光力为肉眼的（100/7）2 =204倍。通过简单的计算就可知，用它在无光污染的晴夜应能看到最暗的恒星为11.80等。
如果我们把望远镜口径扩大1倍，即口径为200毫米的折射望远镜。同样通过计算可知其集光力为肉眼的816.3倍；能看到最暗的恒星为13.31等。即大约比100毫米望远镜暗1.5等。
反过来，如果我们想制作一具比100毫米多看暗1.0个星等的望远镜，需要多大口径？显然答案是100*√2.5119=158.5毫米；
同理，暗0.5个星等需要的直径为125.9毫米。
于是，我们得到一串有趣的数字——
100毫米相应于约4英寸，可见11.80等星；
125.9毫米约为5英寸，可见12.30等星；
158.5毫米约为6英寸，可见12.80等星/
200毫米约为8英寸，可见13.31等星；
251.2毫米约为10英寸，可见13.81等星；------

这样形成的口径系列绝非是偶然的巧合，而是有着极其合理的内涵。
巧合的是这样两个数字：
100的20次方根=1.258925；也就是1/4星等的亮度差。
2的立方根=1.259921；集光力按此比例的立方，就等于两倍。
两个数字何等地接近，绝对值仅相差0.000996，相对值不到千分之一。其约数都是1.26，它的平方根1.122就是下表中望远镜口径系列的公比，

为了进一步讨论，我们需要用到第四个已知条件。这个条件可以在目视估计星等的教科书中了解到。
4．如果两颗星亮度相差小于0.1等，则人眼认为两星亮度是相同的。换句话，人眼只能感觉出两颗星等差别大于0.1等的亮度不同。


我们关注的是，望远镜口径变化如果很小，其集光力差别不到0.1等星时，则可以认为它们同属一个档次。很容易算出，口径变化范围在4%以下就是这种情况。例如口径98毫米和102毫米的望远镜应当都属于4英寸的档次。而口径106毫米（如高桥FSQ106）则要略胜一筹。

我几乎要建议用可见星等来定义望远镜的等级了！
例如，100毫米口径的望远镜可见11.8等星，那就直接称呼此望远镜为11.8等望远镜。。。。。
哈哈，说笑话呢！

现在我们可以把上面讨论的结果用表格汇总一下，以100毫米作为口径的基本模数，向大小两头作延伸（其实，公制100毫米已经在机械设计、建筑设计等各领域都无可争辩的成为规范尺寸的基本模数。而且100毫米约等于4英寸。你当然可以另外用任意一个数值来作为基本模数，例如120毫米，但是似乎代表性不足也不够实用）同时将可视星等的档差细分到1/4个星等。用口径的英寸值代表所在档次，用对应的凑整归化值作为该档次的公称口径。这样就形成了一个口径系列：

口径分档 (英寸)	换算毫米 (毫米)	可视星等 （等）	按可视星等 计算口径值(毫米)	公称口径 (毫米)	所包容口径范围 (毫米)
2	50.8	9.8	50.0	50	49~51
2.25	57.2	10.3	56.1	56	55~57
2.5	63.5	10.8	63.0	63	62~64
2.75	69.9	11.05	70.7	70	69~72
3	76.2	11.3	79.4	80	78~81
3.5	88.9	11.55	89.1	90	87~91
4	101.6	11.8	100	100	98~102
4.5	114.3	12.05	112.2	110	110~115
5	127	12.3	125.9	125	123~127
5.5	139.7	12.55	141.3	140	138~144
6	152.4	12.8	158.7	160	155~162
7	177.8	13.06	178.2	180	175~182
8	203.2	13.31	200	200	196~204
9	228.6	13.56	224.4	225	220~229
10	254	13.81	251.8	250	247~257
11	279.4	14.06	282.6	280	277~288
12.5	317.5	14.32	317.5	320	311~324
14	355.6	14.57	356.4	350	349~364
16	406.4	14.82	400	400	392~408

表中从2英寸到16英寸共把口径分成了19个档次。愚见，若口径小于3英寸，则不能称为严格意义上的天文望远镜。更小的口径是针对双筒望远镜的。而拥有大于16英寸镜子的业余爱好者如凤毛麟角，
真正市场上的产品，其口径规格虽然大多可以包含在此系列中。但也有不少例外，如3英寸和6英寸两种级别与其公称口径相差较大，例如3英寸级别的望远镜中就有Pentax 75, Borg 76ED
，Tele Vue 76,高桥FS78,高桥FSQ85
，Tele Vue 85等规格，其实75、85都已经和80不在一个档次上了，但为照顾习惯叫法，只好如此。
6英寸的市场上也有150、152、153、155、160等规格，150与160的可视星等差别已经达到0.14等，也不是同档。其实厂家如能生产口径6.25英寸的产品才符合系列。
另外，有人习惯把TEC140与其他5寸的折射镜放在一起进行比较，对于5寸镜也是不够公平的。
有人要问，建立这样一个系列有何意义？
首先我们可以知道自己的望远镜属于哪一档，同档次的概念是什麽。例如我们有一具口径100毫米的折射望远镜，那末与口径102毫米的可以毫无问题地放在一起评测对比，但是与口径105毫米的放在一起，就应当感觉出口径上的劣势。
其次，如果我们想要升级自己的器材，那末在选择口径方面，则建议至少要能够上升一个档次，最好是两个档次。例如，由6寸升级到7寸，所能看到的星等仅仅增加了0.25等，而升级到8寸，才有0.5等的提高，小步的升级既不经济。也无必要。除非你用大把银子来搞望远镜收藏，多多益善。那另当别论。
对于生产厂家来说，为了用较少的产品规格覆盖用户的不同需求，以求用较少的研发投入和模数化的工器具及流程进行制造。也必须研究产品线的合理配置问题。
我想，以上的推导就不纯粹是在玩数字游戏了。

下帖预告：
闲话口径之二——口径与可见星数量，光害与光损










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鏡子升級一般不專指口徑升級,不同廠牌相同口徑也可以升級,其實這才是大家升級最大的原因.

好贴要顶

好教材，很实用

  又让我学到了一些知识

增加星等意义不大，比如视场内可以看到10000颗星星与能看到9000颗星星在视觉上有差别吗？望远镜也不是为了看恒星。要根据观测目标来决定望远镜，除了口径，其中很重要一条是焦比。