超越費曼圖（已更新）

http://enews.url.com.tw/epaper/sci/68124


撰文：Zvi Bern、Lance J. Dixon、David A. Kosower
翻譯：高涌泉（台湾大学物理系教授）
提供：科學人（Scientific American繁体中文版）

                               
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春天某個晴朗的日子，本文作者狄克森從英國倫敦地鐵的茂恩都站進入地鐵，想前往希斯洛機場。倫敦地鐵每天有300萬名乘客，他瞧著其中一位陌生人，無聊地想著：這位老兄會從溫布頓站離開地鐵的機率有多大？由於此人可能搭上任何一條地鐵路線，所以該如何推算這個機率呢？他想了一會，領悟到這個問題其實跟粒子物理學家所面對的麻煩很像，那就是該如何預測現代高能實驗中粒子碰撞的後果。

歐洲核子研究組織（CERN）的大強子對撞機（LHC）是這個時代最重要的探索實驗；它讓質子以近乎光速前進並相撞，然後研究碰撞後的碎片。我們知道建造對撞機及偵測器得用上最尖端的技術，然而較不為人知的是，解釋偵測器的發現同樣也是極為困難的挑戰。乍看之下，它不應該那麼困難才對，因為基本粒子的標準模型早已確立，理論學家也一直用此模型來預測實驗的結果，而且理論預測所依賴的是著名物理學家費曼（Richard P. Feynman）早在60多年前就發展出來的計算技巧，每位粒子物理學家在研究生階段都學過費曼的技巧；關於粒子物理的每本科普書、每篇科普文章，也都借用了費曼的概念。

然而費曼的技巧對於當下的問題而言，其實已經無效！它雖然提供了一種直觀、近似的方法來掌握最簡單的過程，但是對於更複雜的過程或是更精確的計算來說，卻是無可救藥地繁雜。和預測一位地鐵乘客會往哪裡去相比，預測粒子碰撞後會出現什麼結果難太多了。即便是LHC中一次很普通的碰撞，我們就算是用上全世界的電腦，也沒有辦法推算出其結果。如果理論學家不能就已知物理定律與已知的物質形式做出精確的預測，那麼就算對撞機真的產生了新東西，我們又怎麼知道呢？就我們所知，LHC可能已經找到了大自然某些奧秘的答案，但是我們卻仍被蒙在鼓裡，原因就是我們對於標準模型方程式的解還不夠精確。

近年來，我們三人以及合作者已經發展出一種新的辦法：么正法（unitarity method），來分析粒子反應過程，它可以避開費曼法的繁複性，基本上等同於一種可以預測地鐵乘客會往哪裡去的高度簡便方法，其關鍵在於體認到每當地鐵乘客面臨選擇時，他的選項其實是受到相當限制的，因此我們可以把要追求的答案分解成一連串行動的機率。這個新方法已經讓我們解決了粒子物理中很多原本無從解決的理論問題，因此我們能夠更深入理解現今基本粒子理論的預測，辨認出新發現。這個方法也可以用於另一個有趣的模型，而得到很多結果；這個模型和標準模型類似，但是所描述的是一個理想化的世界，物理學家對它很感興趣，因為它被視為追求最終理論路上的墊腳石。

么正法不僅是有用的計算技巧而已，它暗示了粒子交互作用理論其實有一個嶄新的形式，此形式是由意料之外的對稱性所掌控，這意味著標準模型具有尚未受到重視的精緻面。特別值得一提的是，長久以來物理學家致力於將量子理論與愛因斯坦廣義相對論結合成量子重力論，么正法在這方面揭露了一個很奇怪的轉折。1970年代以前，物理學家一直假設重力的性質和其他基本交互作用是相似的，所以便設法推廣既有的理論以包容重力。但是當他們將費曼的技巧用於這類理論時，卻發現要不就得到荒謬的答案，要不就被複雜的數學給困住了；所以，重力看起來終究和其他力完全不同。因此沮喪的物理學家便轉向更革命性的點子，例如超對稱以及後來的弦論。

可是么正法讓我們能夠實際執行1980年代就試圖要做但無從做起的計算，結果發現某些原先料想的矛盾其實並不存在。也就是說，重力的確看起來和其他力是相似的，只是其方式令人意外：重力的行為像是「雙份」把核子束縛在一起的強核力。由於強核力是由膠子傳遞的，而重力應該是由稱為重力子的粒子來傳遞，么正法所提供的新圖像即是每個重力子就像是兩個縫在一起的膠子。這個概念相當奇怪，即便專家也還無法好好想像它的意義。無論如何，這個「雙份」的性質提供了一個嶄新的觀點，來探討重力如何能和其他力結合。

從一棵樹變成了森林

費曼的技巧何以那麼令人信服與有用？關鍵是它給了我們一個圖像式的規則，來對付極為複雜的計算。費曼法的核心是一種圖（常稱為費曼圖），讓我們以視覺方式來看待兩個或多個粒子碰撞或相互散射。在每個探究基本粒子物理的研究機構裡，你一定會看到黑板上畫滿了這種圖。理論學者在做定量預測時，會先畫一組圖，每個圖都代表粒子碰撞過程可能的進行方式，如同倫敦地鐵乘客可能選取的各種路徑。理論學者只要依循費曼以及戴森（Freeman Dyson）等人所定下的一組詳細規則，就可以賦予每個圖一個數字，代表該事件如圖發生的機率。

費曼法的缺點是我們可以畫出的圖太多了，原則上是無窮多個，不過就費曼當初發展這個方法的目的而言，這項缺點並不太要緊。他當時研究的是量子電動力學（QED），目的在於描述電子與光子的交互作用。此交互作用是由一個稱為「耦合係數」的量所控制，其大小約為1/137。由於這個電磁耦合係數很小，使得較為複雜的圖在計算中所佔的份量就比較小，因此常常可以忽略。就像對地鐵乘客來說，選擇較為簡單的路線通常比較有利。

20年之後，物理學家將費曼的技巧推廣至強核力。基於和QED的類比，強核力的理論稱為量子色動力學（QCD）。QCD也受到一個強耦合係數的控制，但是我們從「強」這個字，就可預料到QCD的強耦合係數要比QED的電磁耦合係數來得大。從表面上看，若耦合係數變大，則理論學家在計算中必須包括的複雜圖數量就得增加，這就好似如果地鐵乘客願意選擇非常迂迴的路線，我們就很難預測他的下一步。不過幸運的是，在非常短的距離內（包括LHC中粒子的碰撞所涉及的距離尺度），強耦合常數其實變小了，因此理論學家在計算最簡單的碰撞時，只要考慮不複雜的費曼圖就好。

然而，如果要處理雜亂的碰撞，則費曼法涉及的繁複之處就無法避免了。費曼圖中有「外線」與「環圈」，我們可以用外線的數目與環圈的數目來分類費曼圖。環圈代表量子理論最核心的特色之一：虛粒子。虛粒子雖然不可直接觀測，卻對力的強度（耦合係數的大小）有可觀測的效應。虛粒子遵循一切平常的自然定律，例如能量守恆與動量守恆，除了一個例外：虛粒子的質量和相對應的「實粒子」（即可以直接觀察到的）不一樣。環圈代表虛粒子極短暫的生命週期：它們忽然出現，行進很短的距離後，又消失了。虛粒子的質量決定了它們的壽命——質量越大壽命越短。

最簡單的費曼圖忽略了虛粒子，也就是沒有環圈，因此稱為樹圖。在量子電動力學中，最簡單的圖就是兩個電子藉由交換一個光子而相互排斥。接下來，我們可以將環圈一個個加進去，得到更複雜的圖。物理學家稱這種疊加的步驟為「微擾法」，意思是我們從某個近似（由樹圖代表）開始，然後藉由加上修正（由環圈代表）來逐漸擾動最初的近似。例如，當光子旅行於兩個電子之間，它可以自發地分裂成一個虛電子與一個虛正子，這一對電子與正子存在了很短的時間，然後相互湮滅而變回光子，此光子就繼續原先光子的旅程。如果我們考慮下一階的修正，則電子與正子自身也可能暫時分裂。費曼圖中虛粒子的數目越多，費曼圖就越能精確地描述量子效應。

不過即使是樹圖也很麻煩。在QCD中，你如果勇敢地考慮較複雜的碰撞，例如有兩個膠子進來，然後有八個膠子出去，則必須畫下約1000萬個樹狀費曼圖，並針對每個圖算出對應的機率。有一種稱為遞迴的辦法，是荷蘭來登大學的貝倫（Frits Berend）以及現今在美國費米實驗室的吉爾（Walter Giele）於1980年代首先發展出來的，能夠處理樹圖，但是無法推廣至圈圖；更糟糕的是，環圈帶來無法承擔的計算量。即便只涉及一個環圈，費曼圖的數量與每個圖的複雜度也都會大幅增加，數學公式足以填滿一本百科全書。利用更多電腦去硬算這些圖也只能應付一陣子，一旦外線與環圈的數量增加了，我們只有舉手投降。

更糟的是，原本費曼圖是一種將微觀世界視覺化的具體方式，現在卻反而讓微觀世界變得模糊不清：一個費曼圖就已經複雜到無以捉摸，要處理的圖又那麼多，我們根本弄不清到底關鍵在哪裡。可是真正令人震驚的是，當我們把所有的圖加起來，最後的結果卻相當簡單！有些圖會相互抵消，使得原本有幾百萬項的數學式有時會化簡成只剩一項！這些相消意味著費曼圖不是處理問題的正確工具，就好似拿羽毛來釘釘子。一定有更好的辦法才對。

比費曼圖更好的方法

多年來，物理學家嘗試過很多計算的技巧，每個都比先前的好一點，逐漸地，一個取代費曼圖的方法便成形了。我們從1990年代初期開始參與，當時我們之中的伯恩與寇索爾證明了可以利用弦論技巧，把所有相關的費曼圖整合進一個公式，簡化了QCD計算。接著我們三人用這個公式分析一個一直尚未了解的粒子反應：兩個膠子透過一個虛粒子環圈散射成三個膠子；這個過程如果以傳統的辦法處理，會非常複雜，但是我們可以用一個極其簡單的公式（可以寫進一張紙）來描述它。

這個公式如此簡單，以致於我們與當時在美國加州大學洛杉磯分校的鄧拔（David Dunbar）發現只要用一個稱為「么正性」的原理，便幾乎可以完全理解這個散射過程。么正性的意思是所有（量子過程）可能結果的機率加起來，必須是百分之百。（嚴格說來，我們處理的是機率的平方根，而非機率本身，不過在這裡這個區別並不重要。）在費曼的技巧中，么正性雖然也成立，但是常會被計算的複雜性所掩蓋，所以我們發展出另一種方法，以凸顯么正性的中心地位。其實將計算奠基在么正性上的想法在1960年代就已經出現，不過未獲青睞。科學上被放棄的點子有時會再改頭換面凱旋歸來，這是屢見不鮮的事。

么正法成功的關鍵在於避免直接利用虛粒子，那是讓費曼圖變得如此複雜的主因。這種粒子有真實的效應，也有虛假的效應；依定義，虛假的效應當然必須在最後的結果中彼此相消，所以它們是額外的數學包袱，物理學家當然很樂意拋棄掉。

我們可以用之前提過的地鐵類比來理解這個方法：在複雜的倫敦地鐵系統中，任何兩地鐵站間有很多條路徑；假設我們想知道一個人從茂恩都站進入地鐵而從溫布頓站出去的機率，費曼法相當於把所有可能路徑的機率加起來，這裡的「所有」是真的，亦即除了經由走廊與隧道，費曼圖包括了通過（沒有地鐵軌道與走道的）岩石的路徑；這些不實際的路徑就像是來自虛粒子圈的假貢獻，雖然最終會相消掉，但是在計算步驟中卻一個也不能漏掉；在么正法中，我們僅考慮那些有實際意義的路徑。我們把問題分解，以計算乘客走某條路徑的機率：這個人通過十字轉門、走這條或那條軌道的機率有多高？這樣可以大幅減少所需的計算量。

費曼法與么正法沒有對錯之分，兩者都呈現了同樣的基本物理定律，最後也都會得到相同的機率，但是它們代表了不同層次的描述。複雜的碰撞涉及數萬個費曼圖，其中一個費曼圖就像一滴液體中的一個分子；雖然原則上你可以追蹤所有的分子來決定流體的行為，但是這麼做只適用於微觀的極小滴液體，一般而言，這麼做是極吃力卻又無助於理解流體行為的事；流體可能從斜坡上沖下來，但我們卻很難從分子的角度去得知這件事；考慮上一層次的性質（例如流體速度、密度、壓力）可能會更有幫助。同樣的，與其把粒子碰撞想像成是由一個個費曼圖建構起來的，不如整體地看待它；我們應該全神貫注於那些會控制整個過程的性質，例如么正性以及在么正法中受重視的那些特殊對稱性。在某些特殊的例子中，我們可以做出完全精準的理論預測，如果利用費曼法，這需要用上無窮多個圖與無窮的時間！

么正法的好處還不只如此。在我們發展出用於虛粒子圈圖的么正法之後，那時在美國普林斯頓高等研究院的布瑞托（Ruth Britto）、卡察佐（Freddy Cachazo）、馮波（Bo Feng）與維頓（Edward Witten）提出了一個和我們互補的點子：他們再次考慮樹圖，例如可以從四個粒子的碰撞，再跟隨著一個粒子分裂成兩個粒子的這種過程的機率，去推算出涉及五個粒子的碰撞機率。這是令人驚訝的結果，因為五個粒子的碰撞，通常看起來非常不同於前述兩個前後相連的碰撞與分裂過程。這樣一來，我們可以用很多種方法把令人頭痛的粒子問題分解成較簡單的問題。

在對撞裡尋找新物理

LHC中的質子碰撞極為複雜，費曼曾經把這種碰撞比喻為拿瑞士錶互撞，以便了解其內部結構；他的技巧即是用於追蹤碰撞時所發生的事。質子不是基本粒子，而是由強核力將夸克與膠子束縛在一起的小球。當質子撞在一起，裡頭的夸克可以和夸克相撞、夸克可以和膠子相撞，而膠子也可以和膠子相撞，同時夸克和膠子也可以分裂成更多的夸克與膠子。最後它們聚在一起，成為複合粒子，以很細窄的噴束從對撞機噴射出來。

人類從未見過的新粒子、新對稱或新時空維度可能就藏在亂七八糟的噴束中，但是要把這些新東西篩檢出來很不容易。對於探測儀器而言，新粒子和普通粒子差異極小，很容易忽略。有了么正法，我們便可以非常精準地描述已知物理，使得不尋常的物理凸顯出來。

例如，美國加州大學聖巴巴拉分校的因坎德拉（Joe Incandela）目前是LHC中的緊湊緲子螺管偵測器（CMS）實驗團隊的發言人，他找上我們，詢問關於他的團隊在尋找構成宇宙暗物質的新粒子時遇上的問題。天文學家相信宇宙中存在著這種神秘物質，但是物理學家還沒找到它。如果LHC製造出這類粒子，CMS捕捉不到，我們只會注意到有些能量似乎消失了。不幸的是，能量的消失不能證明LHC製造出暗物質，舉例來說，LHC經常會產生Z玻色子，而每個Z玻色子有1/5的機率衰變成兩個微中子，微中子也是偵測器捕捉不到的（因為它們和一般物質的交互作用極微弱），所以我們也會發現能量不見了。那麼LHC會產生多少「效應類似暗粒子的標準模型粒子」呢？

因坎德拉的團隊提出一種預測方法：從CMS記錄的光子數量，去推論涉及微中子的事件數量，看看能否解釋失蹤的能量。如果不能，則LHC便可能產生了暗物質。這樣的推論方法其實相當典型，因為實驗學家無法直接觀測某些類型的粒子，只好這樣間接推論。不過這種方法要成功，因坎德拉的團隊必須精確估計光子數量和微中子數量的關係；除非他們相當清楚這一點，不然這種推論就會失敗。因此我們和幾位合作者用新的理論工具研究了這個問題，結論是因坎德拉團隊的估計還算相當精確。有了這樣的保證，CMS團隊便利用他們的方法對暗物質粒子的性質設下了最嚴格的限制。所以我們的技巧是有用的！

這次的成功鼓勵了我們去挑戰更難的計算。我們的合作夥伴包括委內瑞拉西蒙．波利瓦大學的柯戴羅（Fernando Febres Cordero）、以色列特拉維夫大學與美國加州大學洛杉磯分校的伊塔（Harald Ita）、英國德罕大學的默特瑞（Daniel Motre）、美國史丹佛直線加速器中心的霍契（Stefan Hoche）與加州大學洛杉磯分校的歐茲潤（Kemal Ozeren）；他們來自全球各地，在現代粒子物理研究中，這是很常見的事。我們一起精準算出了LHC碰撞產生一對微中子與四個噴束的機率。如果使用費曼圖，即使很大的物理團隊以最新的電腦努力工作10年，這些計算還是太困難了。么正法讓我們在一年內就完成計算。另一個LHC實驗：超導環場探測器（ATLAS）的團隊已經把我們的預測和他們的實驗數據相比，目前為止非常相符，這讓我們非常高興。接下來，他們將利用這些結果去尋找新物理。

么正法也有助於尋找大家等待已久的希格斯粒子。找到希格斯粒子的一個跡象是碰撞之後產生了一個電子、一對噴束以及一個微中子，而看不到的微中子也同樣讓我們以為能量消失了。但是其他沒有涉及希格斯粒子的粒子反應也可能有相同的產物，所以么正法最初的用途之一就是精確計算出這些引起混淆的反應發生的機率。

回到重力

么正法有一個更令人驚歎的應用，那就是探究量子重力。物理學家如要發展出一個完備的大自然理論，就必須將重力融入量子力學架構之中。如果重力的行為和其他類型的力相似，它應該是由重力子來傳遞。重力子和其他粒子一樣，會互撞、會散射，而我們也能畫出相對應的費曼圖。然而當物理學家在1980年代中期，試著用最簡單的辦法來量子化愛因斯坦理論，以描述重力子的散射時，卻得到不合理的結果，例如一些明顯不可能是無窮大的量，卻被預測為無窮大。無窮大的量本身其實不是問題，因為它們可能出現於計算過程中，既使是像標準模型這種沒問題的理論，也可能出現無窮大。但是對於任何可觀測的量來說，計算過程中出現的無窮大最後應該全部相消掉；對重力而言，無窮大卻相消不掉。具體來講，這表示空間與時間的量子起伏（已故量子重力先驅惠勒稱之為「量子泡沫」）會越來越激烈，全然無法控制。

一個可能的解釋是大自然包含尚未發現的粒子，可以駕馭這些激烈的量子效應。這樣的點子已具體呈現於所謂的「超重力」理論之中，而且也在1970~1980年代初期為人深入研究。但是當間接論證暗示著不合理的無窮大還是會起自於超過兩個環圈的費曼圖時，大家的興奮就冷卻下來了。超重力似乎註定要失敗了。

失望的心情使得很多人轉向研究弦論。弦論和標準模型有很大的差異：根據弦論，粒子如夸克、膠子與重力子不再是微小的點，而是一維弦的振盪。粒子的交互作用是散開於弦上各處，並不是集中於單一個點，如此就自動避免了無窮大的產生。但是弦論有其麻煩之處，例如它無法對可觀測量做出明確的理論預測。

超重力理論捲土重來

在1990年代中期，英國劍橋大學的知名物理學家霍金（Stephen Hawking）鼓吹再給超重力理論一次機會。他指出，1980年代的研究者抄了近路，因此他們的結論是可疑的。不過霍金沒辦法說服任何人，因為人們走捷徑是有道理的：完整的計算是不可能的，其難度即使是最聰明的數學奇才也無法應付。如果要知道一個有三個虛重力子環圈的費曼圖是否會產生無窮大的量，我們必須計算1020項；如果考慮一個五環圈費曼圖，就必須計算1030項；這麼大的數字約等於LHC偵測器中原子的數目，難怪完整的計算註定無望。

么正法已經扭轉了整個局勢。我們利用么正法重新評估超重力理論，看看能否為它平反。原本需要計算1020項的工作，我們現在只需計算幾十項就夠了。這項工作的合作者包括美國賓州大學的羅易班（Radu Roiban）以及當時是加州大學洛杉磯分校研究生的卡拉斯柯（John Joseph Carrasco）與約翰松（Henrik Johansson），我們的結論是1980年代的猜測錯了：原本似乎無窮大的量其實是有限的，超重力沒有物理學家以為的那麼不堪，這意味著超重力中空間與時間的量子起伏遠比以前想像的緩和。讀者如果不停拿好酒來給我們，或許會碰上我們在揣測的某個超重力理論，可能就是追尋已久的量子重力論。

更有意思的是，三個重力子的交互作用很像是「雙份」的三個膠子的交互作用。無論有多少粒子在散射，無論涉及了多少虛粒子環圈，這個「雙份」性質似乎都成立，這意味著重力好像是強交互作用的平方。將前述數學上的發現翻譯成物理見解，並且檢驗它是否在所有狀況下都成立，還需要一些時間；但目前的最關鍵之處在於重力或許與其他的交互作用沒有什麼不同。

科學上屢見不鮮的情況是，在每次辯論塵埃落定之後，就會出現另一個爭議。在我們把三圈圖算出來之後，馬上就有人懷疑四圈圖可能會出問題。只要有爭議，就有人打賭；對於計算的結果有人賭上了好酒：義大利巴羅洛紅葡萄酒對上加州納帕山谷夏多內白葡萄酒。當我們完成計算之後，並沒有發現有麻煩的跡象，因此結束了這次辯論（並打開一瓶巴羅洛）。

那麼超重力理論是否就完全不會遇到無窮大？或者是理論中的高度對稱性僅僅在環圈數量很小時，才有抑制無窮大的功能？如果後者是對的，則麻煩應該在五圈圖就會悄悄出現，到了七圈圖，量子效應便會強烈到足以產生無窮大。如果七圈圖沒有無窮大，加州大學聖巴巴拉分校的葛羅斯（David Gross）願意拿出一瓶加州金芬黛紅葡萄酒；為了判定這個賭注，已經有人開始計算。假如七圈圖是有限的，懷疑者不僅會非常驚訝，最後還可能接受超重力是無矛盾的理論。不過既使如此，這個理論並沒有捕捉住所謂的非微擾效應，這些效應在我們使用的一圈圈往前計算的微擾法中，會過於細微而看不到；它們可能仍舊需要一個更深刻的理論（或許是弦論）來處理。

物理學家喜歡把新理論想成是來自新原理（如相對論、量子力學、對稱性）的大膽應用。但是有時候，新理論是起於對已知原理的仔細查驗。我們對於粒子碰撞的了解已大幅提升，這場寧靜革命使我們能夠以不得了的精確方式算出標準模型的結果，因此顯著提高了我們發現超越標準模型的新物理的能力。更讓人驚訝的是，這個方法讓我們探索了舊物理中尚待開發的角落，包括一條曾被忽略、卻可能是通往統一重力與其他已知力的路徑。從很多角度看，研究基本粒子如何散射的旅程，和乘坐可預測的倫敦地鐵其實不一樣，比較像是《哈利波特》中的爵士巴士之旅——你永遠無法完全清楚接下來會發生什麼事！


（本文由科學人提供，原載科學人2012年第125期6月號）

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科普词典：（资料转自维基百科）

                               
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電子與正電子湮滅產生虛光子，而該虛光子生成夸克－反夸克組，然後其中一個放射出一個膠子。（時間由左至右，一維空間由下至上）

费曼图是美国物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）在处理量子场论时提出的一种形象化的方法，描述粒子之间的相互作用、直观地表示粒子散射、反应和转化等过程。使用费曼图可以方便地计算出一个反应过程的跃迁概率。
在费曼图中，粒子用線表示，费米子一般用实线，光子用波浪线，玻色子用虚线，胶子用圈线。一線與另一線的連接點稱為頂點。费曼图的橫軸一般为时间轴，向右为正，向左代表初态，向右代表末态。与时间方向相同的箭头代表正费米子，与时间方向相反的箭头表示反费米子。

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文章太长了，建议分楼发

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简体原文：

春天某个晴朗的日子，本文作者狄克森从英国伦敦地铁的茂恩都站进入地铁，想前往希斯洛机场。伦敦地铁每天有300万名乘客，他瞧著其中一位陌生人，无聊地想著：这位老兄会从温布顿站离开地铁的机率有多大？由於此人可能搭上任何一条地铁路线，所以该如何推算这个机率呢？他想了一会，领悟到这个问题其实跟粒子物理学家所面对的麻烦很像，那就是该如何预测现代高能实验中粒子碰撞的后果。

欧洲核子研究组织（CERN）的大强子对撞机（LHC）是这个时代最重要的探索实验；它让质子以近乎光速前进并相撞，然后研究碰撞后的碎片。我们知道建造对撞机及侦测器得用上最尖端的技术，然而较不為人知的是，解释侦测器的发现同样也是极為困难的挑战。乍看之下，它不应该那麼困难才对，因為基本粒子的标準模型早已确立，理论学家也一直用此模型来预测实验的结果，而且理论预测所依赖的是著名物理学家费曼（Richard P. Feynman）早在60多年前就发展出来的计算技巧，每位粒子物理学家在研究生阶段都学过费曼的技巧；关於粒子物理的每本科普书、每篇科普文章，也都借用了费曼的概念。

然而费曼的技巧对於当下的问题而言，其实已经无效！它虽然提供了一种直观、近似的方法来掌握最简单的过程，但是对於更复杂的过程或是更精确的计算来说，却是无可救药地繁杂。和预测一位地铁乘客会往哪裡去相比，预测粒子碰撞后会出现什麼结果难太多了。即便是LHC中一次很普通的碰撞，我们就算是用上全世界的电脑，也没有办法推算出其结果。如果理论学家不能就已知物理定律与已知的物质形式做出精确的预测，那麼就算对撞机真的產生了新东西，我们又怎麼知道呢？就我们所知，LHC可能已经找到了大自然某些奥秘的答案，但是我们却仍被蒙在鼓裡，原因就是我们对於标準模型方程式的解还不够精确。

近年来，我们三人以及合作者已经发展出一种新的办法：么正法（unitarity method），来分析粒子反应过程，它可以避开费曼法的繁复性，基本上等同於一种可以预测地铁乘客会往哪裡去的高度简便方法，其关键在於体认到每当地铁乘客面临选择时，他的选项其实是受到相当限制的，因此我们可以把要追求的答案分解成一连串行动的机率。这个新方法已经让我们解决了粒子物理中很多原本无从解决的理论问题，因此我们能够更深入理解现今基本粒子理论的预测，辨认出新发现。这个方法也可以用於另一个有趣的模型，而得到很多结果；这个模型和标準模型类似，但是所描述的是一个理想化的世界，物理学家对它很感兴趣，因為它被视為追求最终理论路上的垫脚石。

么正法不仅是有用的计算技巧而已，它暗示了粒子交互作用理论其实有一个崭新的形式，此形式是由意料之外的对称性所掌控，这意味著标準模型具有尚未受到重视的精緻面。特别值得一提的是，长久以来物理学家致力於将量子理论与爱因斯坦广义相对论结合成量子重力论，么正法在这方面揭露了一个很奇怪的转折。1970年代以前，物理学家一直假设重力的性质和其他基本交互作用是相似的，所以便设法推广既有的理论以包容重力。但是当他们将费曼的技巧用於这类理论时，却发现要不就得到荒谬的答案，要不就被复杂的数学给困住了；所以，重力看起来终究和其他力完全不同。因此沮丧的物理学家便转向更革命性的点子，例如超对称以及后来的弦论。

可是么正法让我们能够实际执行1980年代就试图要做但无从做起的计算，结果发现某些原先料想的矛盾其实并不存在。也就是说，重力的确看起来和其他力是相似的，只是其方式令人意外：重力的行為像是「双份」把核子束缚在一起的强核力。由於强核力是由胶子传递的，而重力应该是由称為重力子的粒子来传递，么正法所提供的新图像即是每个重力子就像是两个缝在一起的胶子。这个概念相当奇怪，即便专家也还无法好好想像它的意义。无论如何，这个「双份」的性质提供了一个崭新的观点，来探讨重力如何能和其他力结合。

从一棵树变成了森林

费曼的技巧何以那麼令人信服与有用？关键是它给了我们一个图像式的规则，来对付极為复杂的计算。费曼法的核心是一种图（常称為费曼图），让我们以视觉方式来看待两个或多个粒子碰撞或相互散射。在每个探究基本粒子物理的研究机构裡，你一定会看到黑板上画满了这种图。理论学者在做定量预测时，会先画一组图，每个图都代表粒子碰撞过程可能的进行方式，如同伦敦地铁乘客可能选取的各种路径。理论学者只要依循费曼以及戴森（Freeman Dyson）等人所定下的一组详细规则，就可以赋予每个图一个数字，代表该事件如图发生的机率。

费曼法的缺点是我们可以画出的图太多了，原则上是无穷多个，不过就费曼当初发展这个方法的目的而言，这项缺点并不太要紧。他当时研究的是量子电动力学（QED），目的在於描述电子与光子的交互作用。此交互作用是由一个称為「藕合系数」的量所控制，其大小约為1/137。由於这个电磁藕合系数很小，使得较為复杂的图在计算中所佔的份量就比较小，因此常常可以忽略。就像对地铁乘客来说，选择较為简单的路线通常比较有利。

20年之后，物理学家将费曼的技巧推广至强核力。基於和QED的类比，强核力的理论称為量子色动力学（QCD）。QCD也受到一个强藕合系数的控制，但是我们从「强」这个字，就可预料到QCD的强藕合系数要比QED的电磁藕合系数来得大。从表面上看，若藕合系数变大，则理论学家在计算中必须包括的复杂图数量就得增加，这就好似如果地铁乘客愿意选择非常迂迴的路线，我们就很难预测他的下一步。不过幸运的是，在非常短的距离内（包括LHC中粒子的碰撞所涉及的距离尺度），强藕合常数其实变小了，因此理论学家在计算最简单的碰撞时，只要考虑不复杂的费曼图就好。

然而，如果要处理杂乱的碰撞，则费曼法涉及的繁复之处就无法避免了。费曼图中有「外线」与「环圈」，我们可以用外线的数目与环圈的数目来分类费曼图。环圈代表量子理论最核心的特色之一：虚粒子。虚粒子虽然不可直接观测，却对力的强度（藕合系数的大小）有可观测的效应。虚粒子遵循一切平常的自然定律，例如能量守恒与动量守恒，除了一个例外：虚粒子的质量和相对应的「实粒子」（即可以直接观察到的）不一样。环圈代表虚粒子极短暂的生命週期：它们忽然出现，行进很短的距离后，又消失了。虚粒子的质量决定了它们的寿命——质量越大寿命越短。

最简单的费曼图忽略了虚粒子，也就是没有环圈，因此称為树图。在量子电动力学中，最简单的图就是两个电子藉由交换一个光子而相互排斥。接下来，我们可以将环圈一个个加进去，得到更复杂的图。物理学家称这种叠加的步骤為「微扰法」，意思是我们从某个近似（由树图代表）开始，然后藉由加上修正（由环圈代表）来逐渐扰动最初的近似。例如，当光子旅行於两个电子之间，它可以自发地分裂成一个虚电子与一个虚正子，这一对电子与正子存在了很短的时间，然后相互演灭而变回光子，此光子就继续原先光子的旅程。如果我们考虑下一阶的修正，则电子与正子自身也可能暂时分裂。费曼图中虚粒子的数目越多，费曼图就越能精确地描述量子效应。

不过即使是树图也很麻烦。在QCD中，你如果勇敢地考虑较复杂的碰撞，例如有两个胶子进来，然后有八个胶子出去，则必须画下约1000万个树状费曼图，并针对每个图算出对应的机率。有一种称為递迴的办法，是荷兰来登大学的贝伦（Frits Berend）以及现今在美国费米实验室的吉尔（Walter Giele）於1980年代首先发展出来的，能够处理树图，但是无法推广至圈图；更糟糕的是，环圈带来无法承担的计算量。即便只涉及一个环圈，费曼图的数量与每个图的复杂度也都会大幅增加，数学公式足以填满一本百科全书。利用更多电脑去硬算这些图也只能应付一阵子，一旦外线与环圈的数量增加了，我们只有举手投降。

更糟的是，原本费曼图是一种将微观世界视觉化的具体方式，现在却反而让微观世界变得模糊不清：一个费曼图就已经复杂到无以捉摸，要处理的图又那麼多，我们根本弄不清到底关键在哪裡。可是真正令人震惊的是，当我们把所有的图加起来，最后的结果却相当简单！有些图会相互抵消，使得原本有几百万项的数学式有时会化简成只剩一项！这些相消意味著费曼图不是处理问题的正确工具，就好似拿羽毛来钉钉子。一定有更好的办法才对。

比费曼图更好的方法

多年来，物理学家尝试过很多计算的技巧，每个都比先前的好一点，逐渐地，一个取代费曼图的方法便成形了。我们从1990年代初期开始参与，当时我们之中的伯恩与寇索尔证明了可以利用弦论技巧，把所有相关的费曼图整合进一个公式，简化了QCD计算。接著我们三人用这个公式分析一个一直尚未了解的粒子反应：两个胶子透过一个虚粒子环圈散射成三个胶子；这个过程如果以传统的办法处理，会非常复杂，但是我们可以用一个极其简单的公式（可以写进一张纸）来描述它。

这个公式如此简单，以致於我们与当时在美国加州大学洛杉磯分校的邓拔（David Dunbar）发现只要用一个称為「么正性」的原理，便几乎可以完全理解这个散射过程。么正性的意思是所有（量子过程）可能结果的机率加起来，必须是百分之百。（严格说来，我们处理的是机率的平方根，而非机率本身，不过在这裡这个区别并不重要。）在费曼的技巧中，么正性虽然也成立，但是常会被计算的复杂性所掩盖，所以我们发展出另一种方法，以凸显么正性的中心地位。其实将计算奠基在么正性上的想法在1960年代就已经出现，不过未获青睞。科学上被放弃的点子有时会再改头换面凯旋归来，这是屡见不鲜的事。

么正法成功的关键在於避免直接利用虚粒子，那是让费曼图变得如此复杂的主因。这种粒子有真实的效应，也有虚假的效应；依定义，虚假的效应当然必须在最后的结果中彼此相消，所以它们是额外的数学包袱，物理学家当然很乐意抛弃掉。

我们可以用之前提过的地铁类比来理解这个方法：在复杂的伦敦地铁系统中，任何两地铁站间有很多条路径；假设我们想知道一个人从茂恩都站进入地铁而从温布顿站出去的机率，费曼法相当於把所有可能路径的机率加起来，这裡的「所有」是真的，亦即除了经由走廊与隧道，费曼图包括了通过（没有地铁轨道与走道的）岩石的路径；这些不实际的路径就像是来自虚粒子圈的假贡献，虽然最终会相消掉，但是在计算步骤中却一个也不能漏掉；在么正法中，我们仅考虑那些有实际意义的路径。我们把问题分解，以计算乘客走某条路径的机率：这个人通过十字转门、走这条或那条轨道的机率有多高？这样可以大幅减少所需的计算量。

费曼法与么正法没有对错之分，两者都呈现了同样的基本物理定律，最后也都会得到相同的机率，但是它们代表了不同层次的描述。复杂的碰撞涉及数万个费曼图，其中一个费曼图就像一滴液体中的一个分子；虽然原则上你可以追踪所有的分子来决定流体的行為，但是这麼做只适用於微观的极小滴液体，一般而言，这麼做是极吃力却又无助於理解流体行為的事；流体可能从斜坡上冲下来，但我们却很难从分子的角度去得知这件事；考虑上一层次的性质（例如流体速度、密度、压力）可能会更有帮助。同样的，与其把粒子碰撞想像成是由一个个费曼图建构起来的，不如整体地看待它；我们应该全神贯注於那些会控制整个过程的性质，例如么正性以及在么正法中受重视的那些特殊对称性。在某些特殊的例子中，我们可以做出完全精準的理论预测，如果利用费曼法，这需要用上无穷多个图与无穷的时间！

么正法的好处还不只如此。在我们发展出用於虚粒子圈图的么正法之后，那时在美国普林斯顿高等研究院的布瑞托（Ruth Britto）、卡察佐（Freddy Cachazo）、冯波（Bo Feng）与维顿（Edward Witten）提出了一个和我们互补的点子：他们再次考虑树图，例如可以从四个粒子的碰撞，再跟随著一个粒子分裂成两个粒子的这种过程的机率，去推算出涉及五个粒子的碰撞机率。这是令人惊讶的结果，因為五个粒子的碰撞，通常看起来非常不同於前述两个前后相连的碰撞与分裂过程。这样一来，我们可以用很多种方法把令人头痛的粒子问题分解成较简单的问题。

在对撞裡寻找新物理

LHC中的质子碰撞极為复杂，费曼曾经把这种碰撞比喻為拿瑞士表互撞，以便了解其内部结构；他的技巧即是用於追踪碰撞时所发生的事。质子不是基本粒子，而是由强核力将夸克与胶子束缚在一起的小球。当质子撞在一起，裡头的夸克可以和夸克相撞、夸克可以和胶子相撞，而胶子也可以和胶子相撞，同时夸克和胶子也可以分裂成更多的夸克与胶子。最后它们聚在一起，成為复合粒子，以很细窄的喷束从对撞机喷射出来。

人类从未见过的新粒子、新对称或新时空维度可能就藏在乱七八糟的喷束中，但是要把这些新东西筛检出来很不容易。对於探测仪器而言，新粒子和普通粒子差异极小，很容易忽略。有了么正法，我们便可以非常精準地描述已知物理，使得不寻常的物理凸显出来。

例如，美国加州大学圣巴巴拉分校的因坎德拉（Joe Incandela）目前是LHC中的紧凑渺子螺管侦测器（CMS）实验团队的发言人，他找上我们，询问关於他的团队在寻找构成宇宙暗物质的新粒子时遇上的问题。天文学家相信宇宙中存在著这种神秘物质，但是物理学家还没找到它。如果LHC製造出这类粒子，CMS捕捉不到，我们只会注意到有些能量似乎消失了。不幸的是，能量的消失不能证明LHC製造出暗物质，举例来说，LHC经常会產生Z玻色子，而每个Z玻色子有1/5的机率衰变成两个微中子，微中子也是侦测器捕捉不到的（因為它们和一般物质的交互作用极微弱），所以我们也会发现能量不见了。那麼LHC会產生多少「效应类似暗粒子的标準模型粒子」呢？

因坎德拉的团队提出一种预测方法：从CMS记录的光子数量，去推论涉及微中子的事件数量，看看能否解释失踪的能量。如果不能，则LHC便可能產生了暗物质。这样的推论方法其实相当典型，因為实验学家无法直接观测某些类型的粒子，只好这样间接推论。不过这种方法要成功，因坎德拉的团队必须精确估计光子数量和微中子数量的关系；除非他们相当清楚这一点，不然这种推论就会失败。因此我们和几位合作者用新的理论工具研究了这个问题，结论是因坎德拉团队的估计还算相当精确。有了这样的保证，CMS团队便利用他们的方法对暗物质粒子的性质设下了最严格的限制。所以我们的技巧是有用的！

这次的成功鼓励了我们去挑战更难的计算。我们的合作伙伴包括委内瑞拉西蒙．波利瓦大学的柯戴罗（Fernando Febres Cordero）、以色列特拉维夫大学与美国加州大学洛杉磯分校的伊塔（Harald Ita）、英国德罕大学的默特瑞（Daniel Motre）、美国史丹佛直线加速器中心的霍契（Stefan Hoche）与加州大学洛杉磯分校的欧兹润（Kemal Ozeren）；他们来自全球各地，在现代粒子物理研究中，这是很常见的事。我们一起精準算出了LHC碰撞產生一对微中子与四个喷束的机率。如果使用费曼图，即使很大的物理团队以最新的电脑努力工作10年，这些计算还是太困难了。么正法让我们在一年内就完成计算。另一个LHC实验：超导环场探测器（ATLAS）的团队已经把我们的预测和他们的实验数据相比，目前為止非常相符，这让我们非常高兴。接下来，他们将利用这些结果去寻找新物理。

么正法也有助於寻找大家等待已久的希格斯粒子。找到希格斯粒子的一个跡象是碰撞之后產生了一个电子、一对喷束以及一个微中子，而看不到的微中子也同样让我们以為能量消失了。但是其他没有涉及希格斯粒子的粒子反应也可能有相同的產物，所以么正法最初的用途之一就是精确计算出这些引起混淆的反应发生的机率。

回到重力

么正法有一个更令人惊叹的应用，那就是探究量子重力。物理学家如要发展出一个完备的大自然理论，就必须将重力融入量子力学架构之中。如果重力的行為和其他类型的力相似，它应该是由重力子来传递。重力子和其他粒子一样，会互撞、会散射，而我们也能画出相对应的费曼图。然而当物理学家在1980年代中期，试著用最简单的办法来量子化爱因斯坦理论，以描述重力子的散射时，却得到不合理的结果，例如一些明显不可能是无穷大的量，却被预测為无穷大。无穷大的量本身其实不是问题，因為它们可能出现於计算过程中，既使是像标準模型这种没问题的理论，也可能出现无穷大。但是对於任何可观测的量来说，计算过程中出现的无穷大最后应该全部相消掉；对重力而言，无穷大却相消不掉。具体来讲，这表示空间与时间的量子起伏（已故量子重力先驱惠勒称之為「量子泡沫」）会越来越激烈，全然无法控制。

一个可能的解释是大自然包含尚未发现的粒子，可以驾驭这些激烈的量子效应。这样的点子已具体呈现於所谓的「超重力」理论之中，而且也在1970~1980年代初期為人深入研究。但是当间接论证暗示著不合理的无穷大还是会起自於超过两个环圈的费曼图时，大家的兴奋就冷却下来了。超重力似乎註定要失败了。

失望的心情使得很多人转向研究弦论。弦论和标準模型有很大的差异：根据弦论，粒子如夸克、胶子与重力子不再是微小的点，而是一维弦的振盪。粒子的交互作用是散开於弦上各处，并不是集中於单一个点，如此就自动避免了无穷大的產生。但是弦论有其麻烦之处，例如它无法对可观测量做出明确的理论预测。

超重力理论卷土重来

在1990年代中期，英国剑桥大学的知名物理学家霍金（Stephen Hawking）鼓吹再给超重力理论一次机会。他指出，1980年代的研究者抄了近路，因此他们的结论是可疑的。不过霍金没办法说服任何人，因為人们走捷径是有道理的：完整的计算是不可能的，其难度即使是最聪明的数学奇才也无法应付。如果要知道一个有三个虚重力子环圈的费曼图是否会產生无穷大的量，我们必须计算1020项；如果考虑一个五环圈费曼图，就必须计算1030项；这麼大的数字约等於LHC侦测器中原子的数目，难怪完整的计算註定无望。

么正法已经扭转了整个局势。我们利用么正法重新评估超重力理论，看看能否為它平反。原本需要计算1020项的工作，我们现在只需计算几十项就够了。这项工作的合作者包括美国宾州大学的罗易班（Radu Roiban）以及当时是加州大学洛杉磯分校研究生的卡拉斯柯（John Joseph Carrasco）与约翰松（Henrik Johansson），我们的结论是1980年代的猜测错了：原本似乎无穷大的量其实是有限的，超重力没有物理学家以為的那麼不堪，这意味著超重力中空间与时间的量子起伏远比以前想像的缓和。读者如果不停拿好酒来给我们，或许会碰上我们在揣测的某个超重力理论，可能就是追寻已久的量子重力论。

更有意思的是，三个重力子的交互作用很像是「双份」的三个胶子的交互作用。无论有多少粒子在散射，无论涉及了多少虚粒子环圈，这个「双份」性质似乎都成立，这意味著重力好像是强交互作用的平方。将前述数学上的发现翻译成物理见解，并且检验它是否在所有状况下都成立，还需要一些时间；但目前的最关键之处在於重力或许与其他的交互作用没有什麼不同。

科学上屡见不鲜的情况是，在每次辩论尘埃落定之后，就会出现另一个争议。在我们把三圈图算出来之后，马上就有人怀疑四圈图可能会出问题。只要有争议，就有人打赌；对於计算的结果有人赌上了好酒：义大利巴罗洛红葡萄酒对上加州纳帕山谷夏多内白葡萄酒。当我们完成计算之后，并没有发现有麻烦的跡象，因此结束了这次辩论（并打开一瓶巴罗洛）。

那麼超重力理论是否就完全不会遇到无穷大？或者是理论中的高度对称性仅仅在环圈数量很小时，才有抑制无穷大的功能？如果后者是对的，则麻烦应该在五圈图就会悄悄出现，到了七圈图，量子效应便会强烈到足以產生无穷大。如果七圈图没有无穷大，加州大学圣巴巴拉分校的葛罗斯（David Gross）愿意拿出一瓶加州金芬黛红葡萄酒；為了判定这个赌注，已经有人开始计算。假如七圈图是有限的，怀疑者不仅会非常惊讶，最后还可能接受超重力是无矛盾的理论。不过既使如此，这个理论并没有捕捉住所谓的非微扰效应，这些效应在我们使用的一圈圈往前计算的微扰法中，会过於细微而看不到；它们可能仍旧需要一个更深刻的理论（或许是弦论）来处理。

物理学家喜欢把新理论想成是来自新原理（如相对论、量子力学、对称性）的大胆应用。但是有时候，新理论是起於对已知原理的仔细查验。我们对於粒子碰撞的了解已大幅提升，这场寧静革命使我们能够以不得了的精确方式算出标準模型的结果，因此显著提高了我们发现超越标準模型的新物理的能力。更让人惊讶的是，这个方法让我们探索了旧物理中尚待开发的角落，包括一条曾被忽略、却可能是通往统一重力与其他已知力的路径。从很多角度看，研究基本粒子如何散射的旅程，和乘坐可预测的伦敦地铁其实不一样，比较像是《哈利波特》中的爵士巴士之旅——你永远无法完全清楚接下来会发生什麼事！