思维的体操——奇妙的曲面

这些图来源于wikipedia、http://xahlee.org/surface/gallery.html 和我以前的一些积累，有些来源已经说不清了，大部分图像由3D-XplorMath 软件绘制（不是我画的）。

注意本文不是数学论文，所以我不会给出曲面的方程式，如果大家看了这些图能够激起你对数学的兴趣，我就倍感欣慰了。本文部分涉及到拓扑和4维空间（不是4维时空），相关的知识请大家自己学习，我会稍微提及的。

让我们先从最普通的球面开始。我们要理解一个空间的曲率可能比较困难，不过理解一个曲面的曲率就简单得多了。
大家都看过地图，知道地球这样的球面与平面存在一个本质不同——它们的曲率不同。标准球的曲率定义为K=1。

插楼

我们现在来把球面做变形，变形的基本思路是就像捏橡皮泥那样，可以持续变形。我不准备使用连通、收敛、连续等严格的数学定义，只要大家有个基本概念就够了。

好了，我们先把球面拉长些，这样就是个椭球面了。
所谓椭球面，至少以通过其轴线的平面去截，会截出椭圆来，这与我们以一个不通过球心的平面截球获得椭圆是不同的。
不过，大家不要记这么复杂，看看图就很显然了。

接着，我们要把椭球面继续拉长，现在是个橄榄球那样的图形了。

以上这些图像，在拓扑看来是完全等价的，大家只需感性理解这个概念就好了，先有形象记忆，然后如果你真有兴趣，可以好好的去学习拓扑学，这门科学很有意义的，而且现在分支还有好几个。

我们现在来看这个图像，大家觉得它还是等价的吗？

对于本题的答案，如果这个双球有顶点，那么等价是显然的。
但是，如果这个双球无限延伸呢？

回答这个问题可能需要更多的数学知识。
首先，我们必须明显双球是否开口？
其次，我请大家想想，(0，1)与（1，∞）上的实数，哪个多？
我不给出答案。

好了，我们现在开始去看第2类曲面——环面。

环面的现实例子是非常多的，它与球面有个本质区别——中间有个洞。不过，它与球面一样，都是封闭曲面，这与平面是很不相同的。

环面很简单，就是一个圆绕着圆外的某个点旋转了一个圆圈形成的。

把圆环稍微做些变形。

那么，这个东东是与球类似还是与环类似呢？

这个洞并不到底，所以按前面的拓扑方法，它可以变成球而不是环。

我们现在再去看看其他曲率的曲面。首先来看看由抛物线绕其长轴旋转而成。当然，标准说法抛物面分为双曲抛物面和椭圆抛物面，不过我们这里只要有粗略的了解就差不多了，本文关键不在这里。

现在，我们要了解一些其他的曲面了。双曲面是非常常见的。这个是单叶的双曲面，就是双曲线绕其中央的分隔轴形成的。

不要只看见单叶双曲面是弯曲的，其实内部的线都是直线，大家看了这个图就明白。我们看见许多发电厂的大型冷却塔，就是双曲面。

看图形，好像是maple画的？

回楼上，我所用的软件不包括你说的那个，所以我只能说我不知道。那些图不是我画的，我只是为了引起大家的兴趣。
其实，这些东西离我已经10年以上了，许多东西我还查了些资料，怕我误导了人家。

当双曲线绕经过它们焦点的轴旋转时，就形成了双叶双曲面。