求教！关于类似剪刀脚中匀速角速度问题求解

想做一个类似剪刀脚的摄星仪，怎样解决匀速角速度没弄明白，学校里学的都退给老师了。望老师们指导一二。如图：





希望边AC做匀速角运动，BD用步进电机驱动丝杆的方式，C点沿着BD方向运动。
现在就求C点怎样运动才能保持AC匀速角运动？搜索了一下，说要克服正切误差。
想了半天没想明白？
如果C点一直在园上做匀速线运动，那么AC就是在所匀速角运动，现实是AC在BD上做直线运动。现在的误差是不是就是圆弧CC‘和BD上CC’的误差呢？

好像要用到微积分吧……求BC长度与角BAC的关系。不懂。

你用一个单片机控制步进马达啊。于是，就可以非匀速的速度走。从而导致角速度是均匀的啊。

大学里面的几何学

我理解在小范围内，角速度和线速度相差很小。例如连续1小时，360度/24小时＝15度，弧度和直线基本合一，如果时间更短，相差就更小了。

(1) 建立坐标系，圆心在(0, -b) ,半径为R,  图形以y轴对称(2); 求得弧长，表示为F =f (R*cos(i), R*sin(i)+b); (3) 弧长对时间求导，dF/dt =0;(4) 解微分方程，得到 i=I(t); (5)  将i=I(t)  代入x =R*cos (i)  得解。不知对不对啊...

可以加个楔块，用以纠正误差。楔块线形可以分几点算出用曲线板连接。类此下图

astroperson 发表于 2013-1-15 12:36

                               
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你用一个单片机控制步进马达啊。于是，就可以非匀速的速度走。从而导致角速度是均匀的啊。

...

谢谢！我也是这个意思，这个非匀速怎么出来的？

wenrongc 发表于 2013-1-15 14:20

                               
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(1) 建立坐标系，圆心在(0, -b) ,半径为R,  图形以y轴对称(2); 求得弧长，表示为F =f (R*cos(i), R*sin(i)+ ...

谢谢！回想大学的微积分头都疼，像噩梦一般。

mf_blue 发表于 2013-1-15 15:41

                               
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谢谢！回想大学的微积分头都疼，像噩梦一般。

这个完全没有微积分的要求啊。唉。这就是一个初等的三角函数啊。
按照你的图。

定义：
角CAB = X  （你的角CAC‘，划的有问题，我用角CAB来代替）

剪刀脚，有一条半径是不同的，假设为AB
让另一个半径转动，假设为AC

两个半径之间的弦长为BC

画辅助线，AE，使得AE将角CAB平分。E点为BC弦的中点。
显然：AE垂直于弦BC

那么利用三角公式可以得知

AE = SIN(X/2) * AC
BC = 2 * AE = 2 * SIN(X/2) * AC

因为X角是匀速增加的，定义角速度为W = 360/24（度/小时） = 2 * PI / 3600 / 24 (弧度/秒)
那么X = W * t (t为从跟踪开始到当前的时间)

BC = SIN(W*t/2) * AC           (1)

W已知，t已知，AC已知，算BC
用EXCEL把上面的公式(1)，带入，一算就知道了。

没有半点微积分的内容。基本最最最初等的三角函数。高中好好学过的同学都会啊。

另外，公式不难，难的是精度，如果LZ有加工能力，我们可以考虑一起做个高精度的剪刀脚出来。

astroperson 发表于 2013-1-15 16:47

                               
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这个完全没有微积分的要求啊。唉。这就是一个初等的三角函数啊。
按照你的图。

按照您的算法，您的弦的一个端点(C)在弧上会滑动（如果固定B点不动），因此弦BC的方位不是固定的（角ABC在变化）。但是按照楼主的意思，BC的方位是始终固定的。

wenrongc 发表于 2013-1-16 09:39

                               
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按照您的算法，您的弦的一个端点(C)在弧上会滑动（如果固定B点不动），因此弦BC的方位不是固定的（角ABC ...

怎么会是在弧上滑动？是在弦上滑动啊。如果是在弧上滑动。还要COS干嘛？直接就是匀速了啊。BC的方位本来就是要动的啊。如果BC的方位不动。难道两边全是丝杆的螺纹，并且都在转动？用丝杆，一定是一点固定，另一点在弦上滑动。只要这样。弦的角度就会变化，弦长也会变化。最后推导出来的是角CAB，匀速变化啊。

不太理解你的想法，愿闻其详！

嗯。补充一下，貌似我也错了。我把SIN写成COS了。已经修改，把COS修改成SIN了。这个有点粗心了，实在不应该。

astroperson 发表于 2013-1-15 18:02

                               
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怎么会是在弧上滑动？是在弦上滑动啊？如果是在弧上滑动。还要COS干嘛？直接就是匀速了啊。BC的方位本来就 ...

是的，如果动点在弧上您的方法是对的。但参照８楼的图解，黄色的杆始终保持垂直的。对剪刀脚没有太多了解，我的理解是按照楼主的图和帖子...似乎楼主没有说清动点是在弧上还是在弦上。

wenrongc 发表于 2013-1-16 10:12

                               
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是的，如果动点在弧上您的方法是对的。但参照８楼的图解，黄色的杆始终保持垂直的。对剪刀脚没有太多了解 ...

肯定不会是在弧上，因为如果要是在弧上，那么就不需要来问了。都是匀速的。

我的也一定是在弦上，而不是在弧上，因为如果在弧上，就不需要三角函数了。我倒是把SIN和COS搞混了，已经修改。

另外，垂直不是必须要的。弄个球头，或者一个小轴承，就能解决垂直的问题。
当然。在这里有两个选择。如果两头全部用球头，那么我刚才的公式就可以

如果一头固定垂直，那另一头（边）的“半径”长就一定会改变，相当于另一边就是三角型的斜边了。如果是这样

那公式直接修改成
丝杆长 = TAN（X） * 垂直固定的那边的“半径”。
X  = W * t

但是我感觉这样的话，在另一边会有一个纯滑动的部分。这一部分的阻力摩擦可能导致系统的不稳定。所以不建议这样设计。

下图是两边都不是直角，C点走弦长。
三角行CAE中。AE和CE是直角边。AC是斜边
AE = SIN(X/2) * AC
BC = 2 * AE = 2 * SIN(X/2) * AC


B点用球头，轴承固定，角ABC是可以变化的，但是连接点在B啊。AB长度不变。
C点用球头，轴承固定，连接螺母。角ACB也是可以变化的。弦长BC通过转动螺母可以在丝杆BC上移动。

这样的结构，AC，AB都不变。只有BC的长度变化。同时三角型CAB的三个角都会变化。保证其中CAB是匀速即可

wenrongc 发表于 2013-1-16 09:39

                               
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按照您的算法，您的弦的一个端点(C)在弧上会滑动（如果固定B点不动），因此弦BC的方位不是固定的（角ABC ...

谢谢回复！
我的意思是B点是固定的，C点沿着BD往外走，由于有AC这条边牵引，C点的运动轨迹是沿着圆弧走。
现在需要AC边角速度匀速运动。C点往BD方向的速度怎么求？

另一种情况，要保证ABC为直角。
那么丝杆就是BD。
要考虑的三角型就是ABD。
而BD = TAN(X) * AB
AB是已知的。所以BD也是可以求出来的。

但是这种方式D点就要在AD这条线上滑动。有滑动摩擦，滑动摩擦不太好控制。实际东西做出来以后，运行的时候，如果滑动摩擦力不均衡，那么在运行的时候就会一顿一顿的。两种设计，你看看你打算用哪种方式做。

astroperson 发表于 2013-1-16 10:31

                               
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下图是两边都不是直角，C点走弦长。
三角行CAE中。AE和CE是直角边。AC是斜边
AE = SIN(X/2) * AC

谢谢回复！
按照您的图形，我理解BC边的公式应该是BC=2*sin（W*t/2）*AC？
还有，求出BC很容易，怎么求出点C在BC上运行的速度呢？AC边在运行的角度里，C点速度是不匀速的。现在是怎么求出C点速度的规律或函数。

mf_blue 发表于 2013-1-16 10:36

                               
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谢谢回复！
我的意思是B点是固定的，C点沿着BD往外走，由于有AC这条边牵引，C点的运动轨迹是沿着圆弧走。 ...

C点如果可以沿弧线走，速度就是匀速的。没什么好求的了。
圆周 = 2 * PI * R
有了半径，一圈就是24小时，1秒钟走多少？
速度就是V = S/t = 2*PI*R/3600/24

但是我不理解你怎么让C沿弧线走。除非你的丝杆是弯的，是一个弧线。

在丝杆是直的情况下。只有两种方案。一种是沿弦BC走。一种是沿切线BD走。
我个人感觉沿BC走的方案比较好设计。沿BD走。因为有滑动摩擦，不太好控制。