赤道仪gotostar系统中“三星校准”数学模型的建立

看了论坛上很多前辈的讨论帖，总感觉大家建立的数学模型都挺复杂，也不是很好理解，就自己瞎折腾了一番。
百度搜索“三星校准”这个关键词，大量的是关于三星手机触屏校准的。。。然后就看了下触屏的“三点校准算法”，居然深受启发。。。

这是百度百科“三点校准算法”的内容：
http://baike.baidu.com/link?url=Kl4I3ShOvEYcstw_O8nIcNlUd6w9Kj1d6aG8P8MfFLaccDjTEslWeZLhWJTCHn4qFSg2fybu1tuuuu6ulU4R7K

触屏校准的原理和方法详见：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d9051c00100ee6w.html
http://mxpopstar.blog.163.com/blog/static/73764120091149151326/

它是建立在两个平面点之间的差量的校准，校准算法是根据三个（或者多个）校准点来确定两个面之间的“平均差量”，之后的坐标值都根据这个差量进行换算，达到两个平面的“点对应”。


“对应”方程：
XL = AX+BY+C
YL = DX+EY+F

（X，Y）是原坐标值，（XL，YL）是换算之后的，也就是校准之后的值。A、B、C、D、E、F是6个换算参量，是需要一次三点校准算出来的。
算法基于二维几何变换中的平移、旋转和缩放三种变换。通过矩阵运算可以得到一个转换公式，具体详见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d9051c00100ee6w.html
但这个链接中的公式推导的结果应该是错误的，或许是我算错了。。。
但简化之后，都是
XL = AX+BY+C
YL = DX+EY+F
这组公式。

因为有6个未知量（简化之前只有5个），所以最少需要6个方程，也就是最少需要三个点来进行校准。

这组方程也就是：
XL1 = AX1+BY1+C
XL2 = AX2+BY2+C
XL3 = AX3+BY3+C
YL1 = DX1+EY1+F
YL2 = DX2+EY2+F
YL3 = DX3+EY3+F

这个方程可以用克莱姆法则求解。
结果就是：
K = (X1 - X3) (Y2 - Y3) - (X2 - X3) (Y1 - Y3)
A = (( XL1 - XL3)(Y2 - Y3) - (XL2 - XL3)(Y1 - Y3)) / K
B = (( X1 - X3 )( XL2 - XL3) - (XL1 - XL3)( X2 - X3)) / K
C = (Y1( X3XL2 - X2XL3) + Y2(XlXL3 - X3XL1) + Y3(X2XL1 - X1XL2)) / K
D = ((YL1 - YL3)(Y2 - Y3) - (YL2 - YL3)(Y1 - Y3)) / K
E = ((X1 - X3)(YL2 - YL3) - (YL1 - YL3)(X2 - X3)) / K
F = (Y1 (X3YL2 - X2YL3) + Y2 (X1YL3 - X3YL1) + Y3(X2YL1 - X1YL2)) / K

然后带入方程：
XL = AX+BY+C
YL = DX+EY+F
就可以求解了。






goto中的三星校准，具体算法我也不知道，我只是感觉应该和这个类似，但是赤道坐标系是建立在球面坐标系上的，所以情况要稍微复杂些，用上面的方法之前，需要将球面坐标转化为平面直角坐标，校准之后还要转换回球面坐标（貌似会引入误差？）。仔细想一下，所谓的天球本就是按照其半径“无穷”来建立的，那么朝向北天极，以北天极为原点，建立平面坐标（边界是天赤道圈）也是说得通的，只是转换情况要复杂很多（赤纬的正负重合和区分问题，赤经的象限区分问题等）。。。





有了上面两个理论基础，也就建立起了我所谓的“三星校准”数学模型，但是这个校准模型是必须建立在至少三星的基础上的，而且前提是极轴要大致对准的，赤道仪本身机械误差也不能太大，否则就是没有意义的。

但是成品的赤道仪，除了基本的一星校准，三星校准，还存在两星校准这个东西。。。这个我就很好奇了，按照上面的方法，两颗星星肯定是不够的，那么成品goto的三星校准难道不是按照这个原理的吗？还是说我上面的数学模型本就是有问题的。。。

还望大神前辈们指教。

一星校准确定赤道仪的当前指向，确定零位。
第二颗星判断极轴误差。
第三颗星修正极轴误差造成的GOTO偏差。
我只知道是这样……

学习

梦游仙 发表于 2015-3-9 21:58
一星校准确定赤道仪的当前指向，确定零位。
第二颗星判断极轴误差。
第三颗星修正极轴误差造成的GOTO偏差。 ...

嗯，感谢指点，这个是哪里提到的呢？我这个算法只有三星之后，才可得知一切误差的叠加值，然后是一起修正的，但是这其中最大的误差应该还是极轴误差，所以误差近似可以认为是极轴误差。。。我不知道怎么通过两星校准来求出极轴误差，如果知道了就可以直接校准极轴了。

马铃鼠 发表于 2015-3-9 22:56
嗯，感谢指点，这个是哪里提到的呢？我这个算法只有三星之后，才可得知一切误差的叠加值，然后是一起修正 ...

GPS是goto系统的标配吗，有了GPS，观测系统空间一次定位，时间有基准，即吋起任一时刻，每星是有准确球面座标的。这样一星校准似乎也属于二星校准范畴，即先主镜定北极星，再定任一亮星。时间如流水，三星校准是不是也得快速完成呢？其实我好象什么都没说～～

我老早之前推过一个公式，但感觉问题在于对三星校准到底要干啥不清楚，是否要考虑赤道仪两个轴不互相垂直的问题

这么复杂的公式，我根本看不懂，我坐立不安，我感到我进入论坛是不是抹黑了大家？我羞愧了，抱歉

球虽是三维的，但是球面上半径已定，只有两个自由度，理论上用2点就可以校准。

夜光蜗牛 发表于 2015-3-10 00:23
我老早之前推过一个公式，但感觉问题在于对三星校准到底要干啥不清楚，是否要考虑赤道仪两个轴不互相垂直的 ...

我总感觉校准的参量中应该是包含了包括极轴误差在内的所有误差的叠加。。。毕竟从一颗星goto到下一颗星这些误差都是介于其中的。
我看过你的算法公式，没有看懂，感觉好复杂。。。你后来是怎么处理这个问题的呢？

我全身发烫 发表于 2015-3-9 23:58
GPS是goto系统的标配吗，有了GPS，观测系统空间一次定位，时间有基准，即吋起任一时刻，每星是有准确球面 ...

gps不一定是标配，很多低端的都是手动输入经纬度也可以的。星体的赤道坐标很长时间内是相对固定的，所以goto只需要考虑其goto所花费这段时间因地球自转造成的星点移动即可。
关于两星校准还是没太明白，麻烦再讲一下，是要先对北极星？

z_g_yang 发表于 2015-3-10 07:39
球虽是三维的，但是球面上半径已定，只有两个自由度，理论上用2点就可以校准。

...

关键是天球的半径是不确定的，难道直接用1吗？两个自由度怎么2点校准呢？求教，谢谢。

马铃鼠 发表于 2015-3-9 20:52
关键是天球的半径是不确定的，难道直接用1吗？两个自由度怎么2点校准呢？求教，谢谢。 ...

半径近似可以认为是无穷大。
当然非要认真，离我们近的恒星相对远的恒星，随着地球公转，相对位置会发生变化，不过这个变化很小。可以忽略。

z_g_yang 发表于 2015-3-10 11:16
半径近似可以认为是无穷大。
当然非要认真，离我们近的恒星相对远的恒星，随着地球公转，相对位置会发生 ...

那怎么两点校准呢？

这里有算法。zip文件，下载后解开。
http://www.korner.freeserve.co.uk/lx10/LX10dsc/DSCNotes.zip  

http://www.korner.freeserve.co.uk/lx10/dsc6.html

马铃鼠 发表于 2015-3-10 10:31
我总感觉校准的参量中应该是包含了包括极轴误差在内的所有误差的叠加。。。毕竟从一颗星goto到下一颗星这 ...

后来就没后来了.....

楼主厉害，搞得好复杂。只知道赤道仪的多星校正是在赤道仪基本对好极轴后，把赤道仪的坐标系统尽量归化到天球的赤道坐标系统，即坐标零点位置尽量一致。

夜光蜗牛 发表于 2015-3-10 12:48
后来就没后来了.....

额，那你没有弄吗？这个影响大不大？

ggmsjy 发表于 2015-3-10 12:48
楼主厉害，搞得好复杂。只知道赤道仪的多星校正是在赤道仪基本对好极轴后，把赤道仪的坐标系统尽量归化到天 ...

嗯，这个算法就是将目标星的赤道坐标换算为赤道仪实际对应的坐标，抵消二者之间的误差。

z_g_yang 发表于 2015-3-10 11:24
这里有算法。zip文件，下载后解开。
http://www.korner.freeserve.co.uk/lx10/LX10dsc/DSCNotes.zip  

这个是二星校准的算法吗？谢谢了，我先看一下。