求助：Abel’s (second) theorem?
数学课上，提到了阿贝尔第二定理（Abel's Second Theorem）：若幂级数$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$有收敛半径R，且级数$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n R^{n}$收敛，则这个幂级数的和函数在x=R处左连续。
看看我这样证明对不对？
设这个幂级数的前n项部分和函数为$ S_n(x) $，用$ S(x) $表示和函数$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$
对于任意给定的数列$ \{x_n\} \subset $且$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $，我们有：
首先，由于收敛区间内和函数的收敛性，对于任意$ \epsilon >0$,必然存在一个正整数$ N_1 $，使得一切$ n>N_1 $，有$ | S_n(x_n)-S(x_n) |< \frac {\epsilon}{3} $
其次，由于部分和函数$ S_n $在任意区间上的连续性（有限个连续函数的和，在我们相应的定义区间里肯定是连续的），我们有：对于任意$ \epsilon >0$,必然存在一个正整数$N_2$，使得一切$n>N_2$，有$ | S_n(x_n)-S_n(R) |< \frac {\epsilon}{3} $
最后，由于常数项级数$ S_n(R) $收敛向$ S(x) $，我们有：对于任意$ \epsilon >0$,必然存在一个正整数$N_3$，使得一切$n>N_3$，有$ | S_n(R)-S(R) |< \frac {\epsilon}{3} $
由以上三个不等式可以很快得出，对于任意给定的$ \epsilon >0$，一定可以找到一个正整数$N$（这里可以取$N=\max \{N_1,N_2,N_3\}$），有$ | S(x_n)-S(R) |< \epsilon $成立
注意到上式中$ \{x_n\} $ 的任意性，又$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $，待证的左连续性得证。■
我总觉得，这里面少了很多东西，似乎不对……
Any ideas？
谢谢！ 应该是对的吧
个人认为花时间弄懂全部定理证明用处不大
因为我比较懒 :idea:
数学系出身，以前学的定理很多现在都忘了
不要说证明了 应该是这样好
思路：
1 用Abel的一致收敛判别法判定这个级数在上一致收敛
2 利用一致收敛，证 | S_n(x)-S(x) |<epsilon 在R的左delta邻域一致成立。其他两个不等式类似于顶楼帖子。
3 将三个绝对值不等式拼起来，得证。
用不着用数列x_n归并。
第1步不可少，不然保证不了式子对一个有限区间成立，只能得到对一点一点正确的式子。
懒得用LaTeX打了。 是这样啊
偶现在除了数理逻辑啊离散啊比较懂以外别的都是白痴
Re: 求助：Abel’s (second) theorem?
数学课上，提到了阿贝尔第二定理（Abel's Second Theorem）：若幂级数$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$有收敛半径R，且级数$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n R^{n}$收敛，则这个幂级数的和函数在x=R处左连续。
看看我这样证明对不对？
设这个幂级数的前n项部分和函数为$ S_n(x) $，用$ S(x) $表示和函数$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$
对于任意给定的数列$ \{x_n\} \subset $且$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $，我们有：
首先，由于收敛区间内和函数的收敛性，对于任意$ \epsilon >0$,必然存在一个正整数$ N_1 $，使得一切$ n>N_1 $，有$ | S_n(x_n)-S(x_n) |< \frac {\epsilon}{3} $
其次，由于部分和函数$ S_n $在任意区间上的连续性（有限个连续函数的和，在我们相应的定义区间里肯定是连续的），我们有：对于任意$ \epsilon >0$,必然存在一个正整数$N_2$，使得一切$n>N_2$，有$ | S_n(x_n)-S_n(R) |< \frac {\epsilon}{3} $
最后，由于常数项级数$ S_n(R) $收敛向$ S(x) $，我们有：对于任意$ \epsilon >0$,必然存在一个正整数$N_3$，使得一切$n>N_3$，有$ | S_n(R)-S(R) |< \frac {\epsilon}{3} $
由以上三个不等式可以很快得出，对于任意给定的$ \epsilon >0$，一定可以找到一个正整数$N$（这里可以取$N=\max \{N_1,N_2,N_3\}$），有$ | S(x_n)-S(R) |< \epsilon $成立
注意到上式中$ \{x_n\} $ 的任意性，又$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $，待证的左连续性得证。■
我总觉得，这里面少了很多东西，似乎不对……
Any ideas？
谢谢！
I don't know if your proof is right or not (my major is not math, unfortunately :( )
But I googled a proof for you at
http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfAbelsConvergenceTheorem.html
which appears to be the same theorem if R--->1
页:
[1]