求助：Abel’s (second) theorem?

数学课上，提到了阿贝尔第二定理（Abel's Second Theorem）：

若幂级数[tex]$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$[/tex]有收敛半径R，且级数[tex]$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n R^{n}$[/tex]收敛，则这个幂级数的和函数在x=R处左连续。

看看我这样证明对不对？

设这个幂级数的前n项部分和函数为[tex]$ S_n(x) $[/tex]，用[tex]$ S(x) $[/tex]表示和函数[tex]$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$[/tex]

对于任意给定的数列[tex]$ \{x_n\} \subset [0,R] $[/tex]且[tex]$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $[/tex]，我们有：

首先，由于收敛区间内和函数的收敛性，对于任意[tex]$ \epsilon >0$[/tex],必然存在一个正整数[tex]$ N_1 $[/tex]，使得一切[tex]$ n>N_1 $[/tex]，有[tex]$ | S_n(x_n)-S(x_n) |< \frac {\epsilon}{3} $[/tex]

其次，由于部分和函数[tex]$ S_n $[/tex]在任意区间上的连续性（有限个连续函数的和，在我们相应的定义区间里肯定是连续的），我们有：对于任意[tex]$ \epsilon >0$[/tex],必然存在一个正整数[tex]$N_2$[/tex]，使得一切[tex]$n>N_2$[/tex]，有[tex]$ | S_n(x_n)-S_n(R) |< \frac {\epsilon}{3} $[/tex]

最后，由于常数项级数[tex]$ S_n(R) $[/tex]收敛向[tex]$ S(x) $[/tex]，我们有：对于任意[tex]$ \epsilon >0$[/tex],必然存在一个正整数[tex]$N_3$[/tex]，使得一切[tex]$n>N_3$[/tex]，有[tex]$ | S_n(R)-S(R) |< \frac {\epsilon}{3} $[/tex]

由以上三个不等式可以很快得出，对于任意给定的[tex]$ \epsilon >0$[/tex]，一定可以找到一个正整数[tex]$N$[/tex]（这里可以取[tex]$N=\max \{N_1,N_2,N_3\}$[/tex]），有[tex]$ | S(x_n)-S(R) |< \epsilon $[/tex]成立

注意到上式中[tex]$ \{x_n\} $ [/tex]的任意性，又[tex]$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $[/tex]，待证的左连续性得证。■

我总觉得，这里面少了很多东西，似乎不对……
Any ideas？
谢谢！

应该是对的吧

个人认为花时间弄懂全部定理证明用处不大
因为我比较懒 :idea:

数学系出身，以前学的定理很多现在都忘了
不要说证明了

应该是这样好

思路：
1 用Abel的一致收敛判别法判定这个级数在[0,R]上一致收敛
2 利用一致收敛，证 | S_n(x)-S(x) |<epsilon 在R的左delta邻域一致成立。其他两个不等式类似于顶楼帖子。
3 将三个绝对值不等式拼起来，得证。

用不着用数列x_n归并。
第1步不可少，不然保证不了式子对一个有限区间成立，只能得到对一点一点正确的式子。

懒得用LaTeX打了。

是这样啊

偶现在除了数理逻辑啊离散啊比较懂以外别的都是白痴

[quote:fc69a3ffcb="Argo Navis"]数学课上，提到了阿贝尔第二定理（Abel's Second Theorem）：

若幂级数[tex]$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$[/tex]有收敛半径R，且级数[tex]$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n R^{n}$[/tex]收敛，则这个幂级数的和函数在x=R处左连续。

看看我这样证明对不对？

设这个幂级数的前n项部分和函数为[tex]$ S_n(x) $[/tex]，用[tex]$ S(x) $[/tex]表示和函数[tex]$ \sum^{\infty}_{n=1} a_n x^{n}$[/tex]

对于任意给定的数列[tex]$ \{x_n\} \subset [0,R] $[/tex]且[tex]$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $[/tex]，我们有：

首先，由于收敛区间内和函数的收敛性，对于任意[tex]$ \epsilon >0$[/tex],必然存在一个正整数[tex]$ N_1 $[/tex]，使得一切[tex]$ n>N_1 $[/tex]，有[tex]$ | S_n(x_n)-S(x_n) |< \frac {\epsilon}{3} $[/tex]

其次，由于部分和函数[tex]$ S_n $[/tex]在任意区间上的连续性（有限个连续函数的和，在我们相应的定义区间里肯定是连续的），我们有：对于任意[tex]$ \epsilon >0$[/tex],必然存在一个正整数[tex]$N_2$[/tex]，使得一切[tex]$n>N_2$[/tex]，有[tex]$ | S_n(x_n)-S_n(R) |< \frac {\epsilon}{3} $[/tex]

最后，由于常数项级数[tex]$ S_n(R) $[/tex]收敛向[tex]$ S(x) $[/tex]，我们有：对于任意[tex]$ \epsilon >0$[/tex],必然存在一个正整数[tex]$N_3$[/tex]，使得一切[tex]$n>N_3$[/tex]，有[tex]$ | S_n(R)-S(R) |< \frac {\epsilon}{3} $[/tex]

由以上三个不等式可以很快得出，对于任意给定的[tex]$ \epsilon >0$[/tex]，一定可以找到一个正整数[tex]$N$[/tex]（这里可以取[tex]$N=\max \{N_1,N_2,N_3\}$[/tex]），有[tex]$ | S(x_n)-S(R) |< \epsilon $[/tex]成立

注意到上式中[tex]$ \{x_n\} $ [/tex]的任意性，又[tex]$ \lim_{n \to \infty} x_n=R $[/tex]，待证的左连续性得证。■

我总觉得，这里面少了很多东西，似乎不对……
Any ideas？
谢谢！[/quote]

I don't know if your proof is right or not (my major is not math, unfortunately )

But I googled a proof for you at
http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfAbelsConvergenceTheorem.html

which appears to be the same theorem if R--->1