运动方程，守恒量和对称性的一个例子

考虑拥有s个自由度的力学系统，，拉格朗日运动方程是s个二阶微分方程，，具体形式就不写了，因为偏导数不好写，，，然后可用纯数学方法可求得通解Ri（t）=Fi（c1，c2 ... c2s，t）共s个方程，i=1到s，，其中c1，... ，c2s是2s个积分常数，他们由系统初始状态完全确定，t是末时刻取值，Ri（t）是在末时刻的时候系统第i个自由度的取值，，整个通解的含义就是，系统末状态由系统初始状态和末时刻取值完全确定，，，，，

1.定义所有的守恒量

因为cj  （j=1，2，... ，2s）是积分常数，即给定系统初状态后cj取值完全确定，他不随时间演化，所以全部的cj就可以定义为全部的守恒量（下面不打算对cj的独立性进行讨论，因为我自己还没弄清楚呢），，，，

2.所有的守恒量的具体表达式

对通解求导，记住Ri（t）的导数就是Vi（t），如同坐标的导数是速度，得到Vi（t）=Gi（c1，... ，c2s，t）共s个方程，与原来的s个通解放在一起一共是2s个方程，这2s个方程关于求导运算不是相互独立的，但关于方程组联立求解所需要的所有运算则都是独立的，，于是联立Ri（t）=Fi（c1，c2 ... c2s，t）与Vi（t）=Gi（c1，... ，c2s，t）反解出cj是可以做到的，不妨设得到cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t），这便是所有守恒量的具体表达式，守恒量cj可以写作t时刻的系统状态Ri（t），Vi（t）以及t的取值的函数，，，

3.书写所有的守恒定律

因为cj作为积分常数只与系统初状态有关，即cj=Uj（Ri（t0），Vi（t0）），结合上面的cj具体表达式，可以定义所有的守恒定律就是所有的 Wj（Ri（t），Vi（t），t）=Uj（Ri（t0），Vi（t0）），，

4.用所有的守恒定律反推拉格朗日运动方程

已知所有的守恒定律同时也就知道了Wj的具体表达式，而Wj就是Fi与Vi共同的逆运算，所以已知Wj则Fi也可求，Fi即拉格朗日运动方程的通解，与拉格朗日运动方程等价，所以拉格朗日运动方程最终被所有的守恒定律推导出来了

5.如果守恒量表达式不显含t

守恒量cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t），其中的自变量t并不出现在我们常见的守恒定律中，常见的守恒量都只是Ri（t）和Vi（t）的函数，那么如果想消去守恒量表达式中的t的话，这又会对拉格朗日运动方程有什么要求呢？

假设守恒量与t无显式关系，即假设cj=Wj（Ri（t），Vi（t））成立，这时考虑末状态为Ri（T）和Vi（T），初状态为Ri（t0）和Vi（t0），有守恒定律 Wj（Ri（T），Vi（T））=Uj（Ri（t0），Vi（t0）），另取时刻t0+dt的系统状态Ri（t0+dt）和Vi（t0+dt）作为一个初状态，末状态不变，则有守恒定律Wj（Ri（T），Vi（T））=Uj（Ri（t0+dt），Vi（t0+dt）），，，于是，综合两条守恒定律可得Uj（Ri（t0），Vi（t0））=Uj（Ri（t0+dt），Vi（t0+dt）），即得到一个结论，当系统中所有的守恒量的具体表达式都不显含时间的时候，则系统所有的守恒量的数值也不会随着初始时刻选择的不同而不同，，，

对某个力学系统来说，将初值代入拉格朗日运动方程的通解可以得到 Ri（t）=Fi（Uj（Ri（t0），Vi（t0）），t），另取末状态t+x，同样可得Ri（t+x）=Fi（Uj（Ri（t0），Vi（t0）），t+x），又因为Uj（Ri（t0），Vi（t0））=Uj（Ri（t0+x），Vi（t0+x）），则有Ri（t+x）=Fi（Uj（Ri（t0+x），Vi（t0+x）），t+x）成立，观察这个方程和Ri（t）=Fi（Uj（Ri（t0），Vi（t0）），t）可知，拉格朗日运动方程的通解在坐标变换t'=t-x下是协变的，而通解本身就等价于运动方程，所以拉格朗日运动方程在时间平移下就能保持形式不变，即拉格朗日运动方程拥有时间平移对称性，，，

结论，如果所有的守恒量都只是Ri（t）和Vi（t）的函数，而不是t的显函数，那么拉格朗日运动方程就具有时间平移对称性

6.已知所有守恒量的表达式来求解尽可能多的运动方程的对称性，，，

用Dy/Dx表示y对x的偏微分，，

由上面第4条知道，当已知所有守恒量的具体表达式cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t）时，可以推导出通解的表达式，即Ri（t）=Fi（cj，t）也是已知的，

因为cj是积分常数，所以可知Fi（cj+ej，t）也是运动方程的解，即Fi（cj+ej，t）=Ri'（t），

因为Ri（t）作为cj的2s元函数有全微分dRi=sum（DFi/Dcj）dcj，，则当ej非常小时有Ri'（t）-Ri（t）=dRi=sum（DFi/Dcj）dcj=sum（DFi/Dcj）ej，，，即Ri'（t）=Ri（t）+sum（DFi/Dcj）ej，，，

因为Ri'（t）=Fi（cj+ej，t）带入运动方程后积分常数cj+ej会被消去，所以Ri'（t）和Ri（t）所满足的运动方程形式上是一样的，即运动方程在无穷小变换r'=r+sum（DFi/Dcj）ej，t'=t下能够保持形式不变，其中ej是2s个无穷小变换参数，他们反映了连续变换的各个坐标之间是如何协同变化的，，

结论，对应所有的守恒量cj=Wj（Ri（t），Vi（t），t），存在无穷小变换（连续变换）r'=r+sum（DFi/Dcj）ej，t'=t使得运动方程在此变换下保持形式不变，，，，

这么多天了终于可以上来了...

好不容易有两个回帖的，还都是和主题无关的，，，，，

不过还是多谢帮顶了，，，，，