大家都来做小学五年级的数学题

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　　小学作业越来越让人看不懂

　　书剑子

　　最近，小学的教育越来越让人看不懂。我暑假在家辅导上小学5年级的侄子
做暑假作业，发现我居然辅导不了他，不仅仅在《语文》上我显示出惊人的无知
外，《数学》我都做不好。在下虽然不才，可是当年高中也是所有功课全部优秀，
高考语文全校最高，全县前三。所以做不出小学题还确实让我郁闷。语文题我通
过搬出《辞海》、《成语词典》以及大量使用GOOGLE，总算弥补了我在地理、历
史、考古等方面的无知，但是数学我实在没有办法。有一道数学题，反正我不用
高等数学做不出来，特在此请教高手。

　　来源：兰州大学出版社出版的小学生暑假作业，五年级数学
　　题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒
子，请问怎么做盒子的体积最大？

　　这道题目真的好“生活”啊！我不知道编者自己会不会做这道如此“生活”
的题。这道题就是放到研究生台入学考试的数学卷子上去，估计也会有人不会。
虽然条件极值问题的拉格朗日乘子法本科都学过，但是这道题求解的具体过程中
还是有点技巧。至少我女朋友和我两个硕士现场都只列出方程而解不出来。动了
会脑筋才求出答案。所以我敢说就是放到考研试题中，得分率也不会很高。

　　现在征求高手，能用小学五年级能听懂的方法给出个答案。退一步说，用小
学教师（我侄子的老师是师范中专学校毕业）能听懂的方法——初等数学方法解
出答案也行。这本暑假作业的总编先生也不妨试试。

　　PS：用高等数学做还有漏洞：原题表述为“用一块80平方米的铁皮”，而不
是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”，所以铁皮的形状也是约束条件之一，
要这么考虑还是拓扑约束，形状稍稍复杂一些，此问题就是很高深的优化问题了。
真不知道猪头编者怎么出的题。这样的题给小学生做，除了让他们对自己，对老
师，对教材失去信心外还能得到什么。
　　为此我很生气，要求我侄子停止做这个作业，而看我给他买的课外书。可是
他哭了：“做不完老师要打，不但要做完，而且做完一遍后再用作业本抄下题目
然后再做一遍！”

　　无语！

　　不明白我们的小学教育现在是怎么了。我（硕士），我女友（硕士），我姐
姐（小学教师），我爸爸（小学高级教师）四个人被小学五年级的暑假作业伤透
脑筋。

(XYS20050811)

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众多人的解答：
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　　从书剑子《小学作业越来越让人看不懂》谈我国的教育

　　张胖子

　　书剑子先生一家面对一道小学数学题大伤脑筋，既不奇怪又很奇怪。为什么
呢？后面再说。先说说这道题该怎么做。

　　【题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体
盒子，请问怎么做盒子的体积最大？】

　　其实这是一道很简单的应用题。

　　估计您五年级的侄子的课本上讲了“表面积一样的长方体中正方体体积最
大”，因此出题人打算考一下做题的人是否记得很牢：
　　因为表面积一定的长方体中正方体体积最大，因此得做个正方的盒子。
　　又因为是正方体所以6个面的面积都相等
　　又因为盒子没盖，所以只有5面，
　　80除以5等于16
　　小学生没学过开平方，但知道4乘4等于16
　　答：做成一个边长为4米的正方盒子面积最大。

　　为什么要没盖呢？因为出题人觉得如果有盖，太直接。至于这块铁皮为什么
没有形状呢？因为出题人觉得你知道要做成一个什么样的东西就行了，实际上怎
么做，出题人不管。

　　您和您的硕士女友被这道题难住一点也不奇怪，因为你们的思路是按照正常
人的思路在想，估计您的高等数学是用在了已知表面积什么样的立方体体积最大
上了。您后来提出【PS：用高等数学做还有漏洞：原题表述为“用一块80平方米
的铁皮”，而不是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”，所以铁皮的形状也是
约束条件之一，要这么考虑还是拓扑约束，形状稍稍复杂一些，此问题就是很高
深的优化问题了。】更是一点也不奇怪，因为您不会想到这块铁皮会七十二变—
—您想让它是什么形状它就是什么形状！

　　您有硕士学历为什么会做不出这道题呢？是因为您没有理解“出题人的思
路”！——而这正是我国考试一个最为变态的特点！

　　随便GOOGLE一下“出题人的思路”，内容多多：

　　【结合自己的实际开动脑筋，对题目反复思考，体会出题人的思路”】

　　【管理，管理无对错，怎么办，重要的是你一定要按照出题人的思路来，你
自己的一套也许是对的，但考试时你得不了分，切记这一点。】

　　【就是你看懂文章的大意，却没有看懂出题者的本意和他所制定的答题规则，
有时候不见得就是你错，但是谁叫它是出题人，只能按照它的思维去答题啊，所
以如何把握出题人的思路就成了关键，这些其实也是任何考试的关键！】

　　……

　　看到题目，就要猜出出题人想要考什么——这虽然很搞笑，但却是我国的现
实。本人小的时候有点小聪明，又喜欢问几个为什么，因此在这些方面吃亏不小。
我经常是动不动就举手跟老师说：“老师，这道题没法做。”而老师的回答一律
是：“用心看题，不许矫情！”

　　任何考试题逻辑上都需要严谨，尤其是数学题。而我国的教育的现状，让出
题的大爷们不必考虑这个问题——“我说对就是对，不对也对；说不对就不对，
对也不对”——你得不了分是因为你不知道我是怎么想的！

　　前一段闹得沸沸扬扬的高考错题事件也是如此：出题人光想着要考考生哪些
知识点，因此在出题的时候没有考虑到其他方面，四个备选答案都是错的，因而
导致坑害了众多考生。

　　根据我国的现实，即使考场上当时有人提出质疑，也不会有任何用处。而这
种问题一旦发生，就没有任何解决办法：都给分或都不给分都会便宜了本来就不
会做的，对明白人不公平，更何况有些逻辑严谨、概念清晰的考生在这道题上很
可能浪费了大量的时间，甚至把脑子给搞乱了，大大影响了后面的考试，反而是
那些应试教育培养出来的蠢材或者是根本看不出四个备选答案都是错误的人稀里
糊涂的得了分！既然没办法补救，有关部门当然死扛着绝对不承认题出错了，要
不怎么面对愤怒的考生！

　　官场上，善于“揣摩上意”的一定步步高升，我国的考场上也是一样——问
题的正确答案是什么根本不重要，而在于你是否知道考官想得到什么样的答案！
这样的考试，这样的学风，我国的教育很难培养出真正的人才也就不难理解了。
长此以往，只能培养出一群群只会跟着别人思路走的奴才！

　　我之所以觉得书剑子先生一家面对一道小学数学题大伤脑筋不奇怪，是因为
题目本身有问题，而不是书剑子先生一家的智力和学问有问题；

　　我之所以觉得书剑子先生一家面对一道小学数学题大伤脑筋很奇怪，是因书
剑子先生的姐姐和爸爸都是小学教师，应该很熟悉这一套。

(XYS20050813)

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众多人的解答：

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对书剑子的一道小学五年级作业题的解答

Sun Sam

这道题目,因为是小学数学题,最好还是不要用什么方程和极值的思考.对于小学生来说,
解这道题要有很好的想像力和灵活的思路才行,而这恰恰是素质教育一直提倡的.很可惜
的是,我们这些受过高等教育的分子们,仅仅由于自己思路的僵涩,就去指责出题者把题
目出的太难,这究竟是我们自己的错,还是我们已经接受的教育的错?

当笔者看到这个题目的时候,第一反应也是:这个题目太难了,不应该是小学生该做的.但
是,笔者的初中数学老师有一个信念,"任何问题都有一个简单明了的解法".当然,这个论
断犯了绝对化的错误,但作为一种思考问题时的哲学意义上的指导,还是很有意义的.所
以,笔者就不去想用变量、方程这些抽象的东西来解这个题，而是思考如何能把这个问
题用常识来解决。

题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎
么做盒子的体积最大？

已知的小学知识：一个立方体在表面积确定的情况下，正立方体的体积最大。

那么，如何将这个问题转化到已知的知识点上呢？已知的知识点要求这个立方体要有六
个面，但这个题目要求的盒子只是五个面。如何把这一差异补上呢？
对了，做两个一模一样的盒子，把其中一个反扣在另一个上面。这样，就是一个六个面
的立方体了。这个立方体的表面积是给定的160平方米，而它的体积最大时，题目要求
的盒子的体积也是最大的。

我之所以不厌其烦地将这个思考过程写出来，就是为了让大家看到，这个思考过程，同
样可以适用于将一个人类扔到外星环境里，这个人类如何思考生存之道。

如果我们的小学教育，甚至中学大学教育，真地能让一半的学生能自主产生这样的思维
能力，我们的素质教育可能早就成功了。

(XYS20050813)

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众多人的解法：

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　　“盒子体积最大制作”一题的纯小学解法

　　wangyu

　　浙大其其网友提供的初等数学解法用到了高中的绝对不等式，对小学生来说
很难理解；skywalker00网友的解法确实巧妙，但是用到了一个前提：具有相等
表面积的长方体以正方体的体积为最大，这本身就需要证明。

　　我尝试用“纯粹”小学数学关于长方体体积的计算来解此题（尽管在以下的
解法中用到了微分的朴素思想，小学生中的聪明者应该能够理解）。 不管怎么
说，此题应该是竞赛题的难度了，对大多数小学五年级的学生来说确实有点勉为
其难。

　　已知铁皮面积共80平方米，问怎样制作一个最大体积的无盖盒子。
　　因为有三个变量，分别是盒子的长、宽、高，只有一个约束条件（铁皮面积
共80平方米），所以小学生考虑此问题时应首先考虑简单情形，即假设固定高度，
如何制作一个最大体积的盒子。

　　假设高度为h，长宽分别为a和b，并且假设a>b（不失一般性）。
　　考虑制作一个盒子后还剩一点点铁皮，需要把它在做到盒子上去，那么考虑
到高度一定的情形有两种方案：第一是增加盒子的短边；第二是增加盒子的长边。
　　第一种方案：假设增加的短边为w，那么增加的体积V1＝a×h×w; 增加的铁
皮面积＝（a+2h）×w
　　第二种方案：假设增加的长边为z，所以增加的盒子体积V2＝b×h×z，增加
的铁皮面积＝（b+2h）×z；
　　因为两种方案增加的铁皮面积不变，所以（a+2h）×w＝（b+2h）×z，由于
a>b，显然w>z，可以化简得a×w－b×z=2h×（z-w）>0
　　考虑两种方案增加体积的大小，
　　因为V1－V2＝a×h×w－b×h×z＝h×（a×w－b×z）>0
　　说明在高度一定时，增加短边永远可以得到较大的盒子体积，也就是说盒子
底面是正方形时有最大值。根据这个原则，我们首先确定要制作底面是正方形的
盒子。

　　再考虑高度不定时如何使得制作的盒子体积最大。
　　同理假设制作一个底面是正方形的盒子后还剩一点点铁皮，需要把它在做到
盒子上去，那么考虑到不改变底面是正方形的情形也有两种方案：第一是增加盒
子的高；第二是增加盒子的底面正方形边长。
　　第一种方案：假设增加的高度为x，那么增加的体积V1＝a×a×x; 增加的铁
皮面积＝4a×x
　　第二种方案：假设增加的底面边长为y，
　　所以增加的铁皮面积＝（a+y）×（a+y）－a×a+4（a+y）×h－4a×h
　　=2a×y+y×y+4y×h；
　　增加的盒子体积V2＝（a+y）×（a+y）×h－a×a ×h=（2a×y+y×y）×h；
　　因为两种方案增加的铁皮面积不变，所以4a×x＝2a×y+y×y+4y×h，
　　现在考虑V1－V2的情形，并用到4a×x＝2a×y+y×y+4y×h的关系，
　　V1－V2＝a×a×x－h×（2a×y+y×y）
　　＝y（0.5a×a－a×h+0.25y－h×y）=y（a（0.5a－h）+0.25y－h×y）
　　要判断上式大于或小于0，因为y大于0，只要判断括号内的项就可以。小学
生会想到y是一个很小的值（因为就剩一点点铁皮了），所以关键是0.5a－h的正
负如何，直接决定了V1－V2的正负。
　　若0.5a－h为正，h<0.5a，V1－V2>0，说明必须增加盒子的高度；
　　反之，若0.5a－h为负，h>0.5a，V1－V2<0，说明必须增加盒子底面的边长。
根据以上，我们确定当盒子高度是底面边长的一半时盒子具有最大的体积。

　　综合以上两个步骤的考虑，当盒子的底面是正方形并且高度是底面边长的一
半时，盒子具有最大的体积。现在来求体积就容易了：
　　假设底面边长为a，高度为h，那么根据题意有：
　　4a×h+a×a=80
　　h=0.5a
　　两式联合解得3a×a=80
　　然后可以轻易求得体积为：15的平方根×160/9，约等于68.85立方米。

(XYS20050813)

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比较高级的解法：

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（方舟子按：有许多读者来稿解答这个问题，都根据“表面积相等的长方体，正
方体的体积最大”的定理，而得出答案为长4米，体积64立方米。（设正方体的边
长是a，没有盖子，只需要5个面，5*a^2=80, a=4）虽然这很可能是出题者的“标
准答案”，但是却是错误的。“表面积相等的长方体，正方体的体积最大”不能
直接应用于没有盖子的情况。该题解法已超出小学数学的范围。下面为浙大其其
提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。又，skywalker00认为可以这么
看：用两份同样的材料，做出两个长方体，合在一起面积最大时是正方体，所以
高是宽的一半。）

对书剑子的一道小学五年级作业题的解答

浙大其其

    书剑子《小学作业越来越让人看不懂》一文（XYS20050811）提到其侄子的
小学暑假作业中有一道数学题难以用初等数学求解，我这里给出一法。书剑子的
题目如下：
　　
   来源：兰州大学出版社出版的小学生暑假作业，五年级数学
　　题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒
子，请问怎么做盒子的体积最大？

   这道题属于求有约束的极值问题，这类问题的一般性解法是利用高等数学的
拉格朗日乘子法。但是应该注意到：不少特殊的极值问题倒的确可以利用初等数
学（利用绝对不等式）解决。按照中国的教学大纲，以上这道题难度属于初中数
学竞赛水平，也属于高一数学普通习题水平。出现在小学五年级暑假作业中，并
被冠之“生活数学”，说明这道题属于附加题性质，不属于教学大纲要求，相当
于供尖子生啃啃的趣味题，无学有余力的普通学生姑妄读之、姑妄试之，可做可
不做。

    下面是“能用小学五年级能听懂的方法”所得到的解答：
设无盖盒子的长、宽、高分别是x、y、z，那么其表面积（无盖）是
    80=2zy+2zx+xy，                 （1）
    盒子体积为V=xyz。 利用V=xyz，（1）式可以化为
    80=2V/x+2V/y+V/z                （2）
利用绝对不等式（高一数学）
    a+b+c 》3（abc）^(1/3)           (3)
[说明：(3)式中 》表示‘大于、等于号’，^(1/3)表示开三次方]
从（2）式便可以得到不等式
    80=2V/x+2V/y+V/z 》3（4V^3/xyz）^(1/3)，            
由于V=xyz，那么4V^3/xyz=4V^2，
于是
    80》3（4V^2）^(1/3)，
从而V的最大值是
       V=（1/2）（80/3）^(3/2)，
当且仅当2V/x=2V/y=V/z时，以上极值才能被取到，所以当无盖盒子体积最大时，
盒子的长、宽、高分别是：x=y=（80/3）^(1/2),     z=(1/2) （80/3）^(1/2).

   以上结果与用高等数学的拉格朗日乘子法得到的结果一致（此时拉格朗日乘
子为（-1/4）（80/3）^(1/2)）。
   注：对于脑瓜子灵的学生而言，会发现以上问题中x与y的地位对称，它们谁
也不比谁特殊，那么最后结果必然含x=y，预先利用这一关系式，可以大大简化
以上计算。

   由于绝对不等式（3）是高一数学内容，所以这道题对于初中与小学高年级
学生而言的确是很难的。但是经过简单的培训，他们中的一些学有余力的学生是
可以掌握这些不等式并作运用的。我们以前读初中时参加数学竞赛辅导，就遇到
过这些不等式。

附：

Yush提供的拉格朗日乘数法证明

设面积为S，长、宽、高分别为a、b、c，则目标函数为
f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)
其中k为拉格朗日乘数。
求f对a、b、c的偏导并设为0，得到
(1) df/da = bc - k(b+2c) =0
(2) df/db = ac - k(a+2c) =0
(3) df/db = ab - k(2a+2b)=0

稍微一观察便可看出，在a、b、c、k非零的前提下，显然a=b=2c。
如果信不过“观察”，可由(1)、(2)联立得到a = b = 2kc/(k+c)，由(2)、(3)联立
得到a = 2c = 2kb/(2k+b)

(XYS20050812)

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我昏，这是小学作业？我除了偏导的方法真没想到别的法子。我想看看小学老师的看法。

:roll: 现在的教育真是毁人不倦.

晕~
实话说~很多小学的题目我都不会做呢~确切说是不会用小学的方法做~因为早忘记了最原始的解题方法了~学的太多~思维反而复杂咯~当然做不出来啦~！

我高一的时候曾经帮助一个小学生~发现我没有办法辅导他~因为我一看题就是列方程解~早忘记原始的办法咯~！

对于这道题~支持下述解法：

【题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体
盒子，请问怎么做盒子的体积最大？】

　　其实这是一道很简单的应用题。

　　估计您五年级的侄子的课本上讲了“表面积一样的长方体中正方体体积最
大”，因此出题人打算考一下做题的人是否记得很牢：
　　因为表面积一定的长方体中正方体体积最大，因此得做个正方的盒子。
　　又因为是正方体所以6个面的面积都相等
　　又因为盒子没盖，所以只有5面，
　　80除以5等于16
　　小学生没学过开平方，但知道4乘4等于16
　　答：做成一个边长为4米的正方盒子面积最大。

这题目让人晕乎好久啊，不过还是我们那时候的小学考试简单

凌儿，那种方法时错误的。详细的可以参看我上面的帖子。

我孩子读小学怎么办啊

[quote:487b41151f="macross11"]凌儿，那种方法时错误的。详细的可以参看我上面的帖子。[/quote]

啊~是么~没仔细看 ops:

反正我的意思就是不要想太多……用小学生的思维就可以了~！该忽略的就忽略~！

汗~看得我头都大了 :shock:

全部打零分，发回原就读院校接受再教育，毕业证暂时作废以观后效！
题目都没有看透，解什么解呢！
那是要你做个“长方体”的无盖盒子，谁叫你做符合极限理论的“正方体”了？
这本身就是题目有误，谅小学没有开始教极限的逼近知识，就是题目错，我不信谁正确答个“样子尽一切可能接近正方体以求体积最大化因为老师说过正方体的体积最大”的盒子。
问题在可得有关背景知识是否缺乏，不要讨论怎么去解这个题目。

哈哈~！

这题偶数上学时候就有~！ :mrgreen:

[quote:70d2b751c5="千眼观音"]全部打零分，发回原就读院校接受再教育，毕业证暂时作废以观后效！
题目都没有看透，解什么解呢！
那是要你做个“长方体”的无盖盒子，谁叫你做符合极限理论的“正方体”了？
这本身就是题目有误，谅小学没有开始教极限的逼近知识，就是题目错，我不信谁正确答个“样子尽一切可能接近正方体以求体积最大化因为老师说过正方体的体积最大”的盒子。
问题在可得有关背景知识是否缺乏，不要讨论怎么去解这个题目。[/quote]
赞成！
都只顾卖弄自己的所谓学问了，与实际应用不搭边。其实室主已提到了拓扑的问题，只有理论的形状是做不出来的。这就是中国人搞的科研总形不成生产力的原因。
对小学生来说，这种题不能引导它的学习兴趣，只能增加它的畏惧和厌恶。

呵呵，大家都深有感触啊。
现在的奥数也差不多。

哈哈，这种“铁皮”要具有理想流体的不可压缩、不可拉伸特性，几何学的“面”的特性，还要求像橡皮泥一样，点与点之间的连接方式可以任意改变！我怀疑UFO就是这种材料制成！
:mrgreen:

[quote:eb38427026="千眼观音"]
那是要你做个“长方体”的无盖盒子，谁叫你做符合极限理论的“正方体”了？
[/quote]

啊？！正方体不是特殊的长方体么？！长方体不是包含了正方体么？！这应该是小学学过的知识没错……