重水河问题

　　在遥远的未来，人类在遥远的外星球上建起了遥远的殖民地，这星球上重水河流遍布，环境也跟地球很像。重水中蕴藏着丰富的重氢，而重氢又是未来星际飞船的主要燃料。因此为了开发这比黄金还要珍贵的重氢，人们开凿河道，将河水同一座座重氢合成厂连通，又在重氢厂的附近修筑一条条管道，将座座工业区同重氢厂连通。于是从河岸到内陆，许多矿业城市拔地而起，这星球成为了银河系中一颗璀璨的明珠（哈哈，大家笑什么？这是我编的童话故事，既然我说那颗星球璀璨，那它就是璀璨）！

　　如下图所示。ｌ为一条长长的重水河，把它看作一条直线；A、B为岸边的两座工业区，把它们看作两个点。现在要建一座重氢合成厂P，要使它分别连通两座工业区的管道和连通重氢河的河道的总长度最短，应该建在何处呢（讨论结果详见10、12、18L）？如果每条线路都有不同的造价，那么建在何处最省钱呢（讨论结果见24L）？

[fly]=========华丽的分割线=========[/fly]
原帖内容： 与 这两个函数的局部最小值所对应的x是否相同？据我的一次验证，用g(x,y)求出来的x、y并不是f(x,y)的局部最小值。如果是不相同的话，那么如何用另一个没有根号的函数代替f(x,y)来求极值？

　　隆重告诉大家，科学空间最近有篇新文章“《自然极值》系列——4.费马点问题”（以下简称“该文章”，它很好地解决了考虑管道、河道造价成本后的重水河问题：
　　不考虑成本时，求的只是距离总和最短，但实际上河道、管道的造价都不一样，这就相当于该文章中的“广义费马点”问题。阅读该文章，就不难发现广义费马点的解法。
　　求出了以重氢厂为顶点的三个角的度数后，就不难由类似10楼的思路，推理出像12楼一样的解法了。
　　不过，像上面这么做，我猜想有可能会出现重氢厂修到河对岸那样的特例，因此我又想出了一个应对方法：
　　一旦出现这样的情况，这就说明河道修建了反而费钱，这就更加好办了——你首先可能会想到类似光反射那样的作图方法，不过这只是距离和最短的作法，并不能保证总造价也最便宜。要是通往两座工业区的管道造价也不一样，那该怎么办呢？于是联系费马原理，就又有了“折射光路”作图法，作法可以参见科学空间“《自然极值》系列——2.费马原理”哦。

那不是又污染了？

我现在对数学可以说是……，呵呵，不说了

熊没有想到费马点，仅考虑过镜面反射的方法和基本代数运算，所以无法仅用初等方法得到最后的结果。
赞几位的讨论，尤其是zhangyf1997和bojone！果然后生可畏～

回复  zhangyf1997

你的特例就是初中的一道题目，我看到过。
gohomeman1 发表于 2010-10-17 15:31

                               
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　　嗯。它相当于光线从A射向镜面l后再射向B的反射路径。

回复 18# zhangyf1997

你的特例就是初中的一道题目，我看到过。

　　特例：先做A点关于l的对称点A'，连接A'B交l于O'；
　　假如∠AO'B大于或等于120度，则O'就是所求之点P。

我想这个题目这么做：
先做A点关于L的对称点A1，连接A1B交L于O，再求三角形AOB的费马点就可以了。 ...
gohomeman1 发表于 2010-10-17 11:18

                               
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　　不过据我的实际操作，当角AOB小于120度时，点O并不在那个位置。

楼主，管道的成本与河道的成本是一样的吗？你忽略了一个重要的初始条件，这点应该说明的。
然后，在此基础 ...
gohomeman1 发表于 2010-10-17 10:54

                               
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　　 补充说明：我一开始走偏导数的路子，也是想在解出距离最优解后，再加上几个权重，得出成本最优解的。

我想这个题目这么做：
先做A点关于L的对称点A1，连接A1B交L于O，再求三角形AOB的费马点就可以了。

楼主，管道的成本与河道的成本是一样的吗？你忽略了一个重要的初始条件，这点应该说明的。
然后，在此基础上，与其使用“复杂”的导数方法，不如使用后面几位给出的几何方法。数学的方法有好多种，最简单实用的最好，也容易理解。

　　所以，该问题还有一个特例，详见18楼。

现在我知道了，几何作法是这样的：
1、分别作AC、BD，使其分别垂直于直线l；
2、分别作AE、BF，使角A、角B分别等于60度，则两条线之交点即为所求之点P。
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不过似乎也有局限性，例如“费马点与三角形三点的连线，三等分周角”这一性质仅在三角形最大的角小于120度时才成立。

知道是费马点的话就好办了,,,,,,
过p做平行于l的直线l',,,当p在l'上移动时,po的距离不变,ap+bp变化,,,这个 ...
feng1734 发表于 2010-10-16 17:22

                               
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　　妙哉！　　　　　

知道是费马点的话就好办了,,,,,,
过p做平行于l的直线l',,,当p在l'上移动时,po的距离不变,ap+bp变化,,,这个距离的最小值在发生镜面反射时取到,,,反射角等于入射角,,,加上费马点的条件可以得到ap,bp与l'的夹角都是30度,,,,
最后,考虑a点和b点到l的距离以及ab在l上的投影长度,再加上上面得到的角度关系,可以将p点纵坐标用这些已知或者可求量表达出来,,,,p点横坐标也可以得到了,,,
这个过程应该就不是那么麻烦了,,,,

也许，我用物理方法解决的（受力平衡）
bojone 发表于 2010-10-16 16:20

                               
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　　嗯，是无疑的：P一定是ΔABO的费马点，因此由费马点性质得出6楼结论成立。

也许，我用物理方法解决的（受力平衡）

角APO和OPB=120度
bojone 发表于 2010-10-16 15:17

                               
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　　莫非是一个与费马点有关的问题？

角APO和OPB=120度