重水河问题

　　在遥远的未来，人类在遥远的外星球上建起了遥远的殖民地，这星球上重水河流遍布，环境也跟地球很像。重水中蕴藏着丰富的重氢，而重氢又是未来星际飞船的主要燃料。因此为了开发这比黄金还要珍贵的重氢，人们开凿河道，将河水同一座座重氢合成厂连通，又在重氢厂的附近修筑一条条管道，将座座工业区同重氢厂连通。于是从河岸到内陆，许多矿业城市拔地而起，这星球成为了银河系中一颗璀璨的明珠（哈哈，大家笑什么？这是我编的童话故事，既然我说那颗星球璀璨，那它就是璀璨）！

　　如下图所示。ｌ为一条长长的重水河，把它看作一条直线；A、B为岸边的两座工业区，把它们看作两个点。现在要建一座重氢合成厂P，要使它分别连通两座工业区的管道和连通重氢河的河道的总长度最短，应该建在何处呢（讨论结果详见10、12、18L）？如果每条线路都有不同的造价，那么建在何处最省钱呢（讨论结果见24L）？

[fly]=========华丽的分割线=========[/fly]
原帖内容： 与 这两个函数的局部最小值所对应的x是否相同？据我的一次验证，用g(x,y)求出来的x、y并不是f(x,y)的局部最小值。如果是不相同的话，那么如何用另一个没有根号的函数代替f(x,y)来求极值？

回复 1# zhangyf1997
为什么不直接通过求偏导的方式来求极值呢?找一个函数代替,一般无非就是把原来的函数平方之类的,但是似乎消除不掉根号.

这两个函数的极值不会在一起，这个做法不对。

我记得你说过你看了一些微积分的初步知识，那么你可以试着用求导的方法做：
先假设y为常数，对x求导，这个结果在极值点处应为零，得到一个关于x、y的方程；
再假设x为常数，对y求导，这个结果在极值点处应为零，又得到一个关于x、y的方程；
两个方程两个未知数，“理论上”可以解了……
你可以试试看，做不下去的话就放弃。

另外也可以用初等方法解决这个问题。
比如，如果要求y必须大于0（你似乎在求距离两个点和一个直线的距离和最近的点，是吧？），可以用均值不等式： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E ... D%E7%AD%89%E5%BC%8F
把原来的那个式子变成f(x,y)=sqrt(...)/2 + sqrt(...)/2 + sqrt(...)/2 + sqrt(...)/2 + y
然后根据均值不等式定理：几个正数的算术平均值一定大于或者等于几何平均值，当且仅当各数都相等时这两个平均值相等。
那么，……（你自己继续～）
（我没仔细推过，是否能得到最后结果，需要试试）
~~~~~
补充：后来想了一下，这个思路是错的。我回头再给你另外一个初等方法。

回复  zhangyf1997
为什么不直接通过求偏导的方式来求极值呢?找一个函数代替,一般无非就是把原来的函数平 ...
voyagerbb 发表于 2010-10-16 11:03

                               
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　　我一开始也是有这种想法的，可是偏导出来的方程组很复杂，求解困难。

你似乎在求距离两个点和一个直线的距离和最近的点，是吧？bearcat 发表于 2010-10-16 11:26

                               
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    ::0022:: 被你猜对了～～～

角APO和OPB=120度

角APO和OPB=120度
bojone 发表于 2010-10-16 15:17

                               
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　　莫非是一个与费马点有关的问题？

也许，我用物理方法解决的（受力平衡）

也许，我用物理方法解决的（受力平衡）
bojone 发表于 2010-10-16 16:20

                               
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　　嗯，是无疑的：P一定是ΔABO的费马点，因此由费马点性质得出6楼结论成立。

知道是费马点的话就好办了,,,,,,
过p做平行于l的直线l',,,当p在l'上移动时,po的距离不变,ap+bp变化,,,这个距离的最小值在发生镜面反射时取到,,,反射角等于入射角,,,加上费马点的条件可以得到ap,bp与l'的夹角都是30度,,,,
最后,考虑a点和b点到l的距离以及ab在l上的投影长度,再加上上面得到的角度关系,可以将p点纵坐标用这些已知或者可求量表达出来,,,,p点横坐标也可以得到了,,,
这个过程应该就不是那么麻烦了,,,,

知道是费马点的话就好办了,,,,,,
过p做平行于l的直线l',,,当p在l'上移动时,po的距离不变,ap+bp变化,,,这个 ...
feng1734 发表于 2010-10-16 17:22

                               
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　　妙哉！　　　　　

现在我知道了，几何作法是这样的：
1、分别作AC、BD，使其分别垂直于直线l；
2、分别作AE、BF，使角A、角B分别等于60度，则两条线之交点即为所求之点P。
========
不过似乎也有局限性，例如“费马点与三角形三点的连线，三等分周角”这一性质仅在三角形最大的角小于120度时才成立。

　　所以，该问题还有一个特例，详见18楼。

楼主，管道的成本与河道的成本是一样的吗？你忽略了一个重要的初始条件，这点应该说明的。
然后，在此基础上，与其使用“复杂”的导数方法，不如使用后面几位给出的几何方法。数学的方法有好多种，最简单实用的最好，也容易理解。

我想这个题目这么做：
先做A点关于L的对称点A1，连接A1B交L于O，再求三角形AOB的费马点就可以了。

楼主，管道的成本与河道的成本是一样的吗？你忽略了一个重要的初始条件，这点应该说明的。
然后，在此基础 ...
gohomeman1 发表于 2010-10-17 10:54

                               
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　　 补充说明：我一开始走偏导数的路子，也是想在解出距离最优解后，再加上几个权重，得出成本最优解的。

我想这个题目这么做：
先做A点关于L的对称点A1，连接A1B交L于O，再求三角形AOB的费马点就可以了。 ...
gohomeman1 发表于 2010-10-17 11:18

                               
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　　不过据我的实际操作，当角AOB小于120度时，点O并不在那个位置。

　　特例：先做A点关于l的对称点A'，连接A'B交l于O'；
　　假如∠AO'B大于或等于120度，则O'就是所求之点P。

回复 18# zhangyf1997

你的特例就是初中的一道题目，我看到过。

回复  zhangyf1997

你的特例就是初中的一道题目，我看到过。
gohomeman1 发表于 2010-10-17 15:31

                               
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　　嗯。它相当于光线从A射向镜面l后再射向B的反射路径。