麻烦哪位帮忙计算一下寒武纪时代的潮汐高度，有分赚

gohomeman1 · 发表于 2011-1-11 14:22

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如题，本人年纪大了，许多计算不在行了。麻烦年轻一辈帮忙计算一下寒武纪时代的潮汐高度，计算需要给出过程。计算结果被其他同好认可的，我给予加分，并另外个人转400分给他（我自己转出500分）。

月球远离地球的速率当做不变的，按每年3.0cm估算好了。寒武纪时代的海陆状况当做与现在差不多，时代按离我们5.4亿年估算。
注意，潮汐不光与引力大小有关，更与引力梯度有关。太阳对海水的引力远大于月球的，但太阳潮明显不如太阴潮。

河之舟 · 发表于 2011-1-11 14:48

头痛！看谁麻烦帮忙计算下！

海盗船 · 发表于 2011-1-13 13:31

帮不了你。帮你顶上去找高手。

浪淘沙 · 发表于 2011-1-13 17:24

1年3厘米，5.4亿年，1.6万千米。

现在的地月距离近点约35.9万，远点约40.6万。
看来这1.6万只是让月亮离地球近了约4%，不多吧。

似乎引潮力与天体的距离的三次方相关。
距离近了4%，则引潮力估计增大12%吧。

海洋的潮汐，是太阳与月亮共同作用的。大潮的时候，太阳的引潮力起了1/3的作用。
那么月亮的引潮力增加12%，对于总的引潮力，增加量仅8%吧。

看来，如果寒武纪的时候，大陆与海洋的形状与现在差不多（当然实际不可能的），则海洋的大潮汐也不会比现今大多少。

具体的不同海岸的潮差计算，等我找到公式再来算算看。（网上似乎没有现成的公式。有些网上信息需要收费的，就没下载了。）

gohomeman1 · 发表于 2011-1-13 19:51

回复 4# 浪淘沙

那个我现在才发现，原先的题目其实是错误的条件。我们其实忽略了地球自转周期的延长和一个月的实际变化。在5.4亿年的长度上，这些貌似不能忽略啊。

智子 · 发表于 2011-1-13 21:24

如果月球的撞击形成说是正确的，那么早期地球的自转速度比现在快的多，大概是12小时一昼夜，如果我没记错的话。而地月距离也近的多，从地面上看月亮肯定无比壮观。在月球逐渐远离地球的漫长阶段里，她不仅仅是地球自转的稳定器，更是地球自转的减速器。

这里有个美国国家地理频道讲述月球诞生及其历史的科普片子，有兴趣的话可以看看。
http://www.56.com/w85/play_album-aid-832491_vid-MTQxNTM4OTU.html

goldenham · 发表于 2011-1-13 22:48

不可控变量太多，已知变量可信度也不高，结果可想而知，计算所得数据能够定性就不错了

kxjh · 发表于 2011-1-14 01:39

本帖最后由 kxjh 于 2011-1-17 14:09 编辑

一、地月距离变化：
网上搜索以下结果:
1、月球以每年约38毫米的速度远离地球。同时地球的自转越来越慢，一天的长度每年变长15微秒。见http://baike.baidu.com/view/1984.htm
2、使日的长度在一个世纪内大约增长1～2毫秒，使以地球自转周期为基准所计量的时间，2000万年来累计慢了2个多小时。引起地球自转长期减慢的原因主要是潮汐摩擦。科学家发现在三亿七千万年以前的泥盆纪中期地球上大约一年400天左右。见http://baike.baidu.com/view/43598.htm
3、在6亿多年前，地球上一年大约有424天，表明那时地球自转速率比现在快得多。在4亿年前，一年有约400天，2.8亿年前为390天。研究表明，每经过一百年，地球自转长期减慢近2毫秒（1毫秒＝千分之一秒），它主要是由潮汐摩擦引起的。此外，由于潮汐摩擦，使地球自转角动量变小，从而引起月球以每年3～4厘米的速度远离地球，使月球绕地球公转的周期变长。见http://baike.baidu.com/view/410287.htm
4、a、全靠這麼高的精度，我們才發現月球正以約每年3厘米的速度遠離地球。 b、月球以每年约38毫米的速度远离地球。同时地球的自转越来越慢，一天的长度每年变长15微秒。见http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%88%E7%90%83
5潮汐加速：对海洋的引潮力使地球自转速度变慢，令地球一日的长度每100年增加1.6毫秒，导致一年的日数减少，有证据表明泥盆纪中期的一年有400日。见http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%9C%B0%E7%90%83%E8%87%AA%E8%BD%AC#.E5.9C.B0.E8.BB.B8.E7.9A.84.E8.AE.8A.E5.8B.95

前三个来自百度，后二个来自维基。说法不统一，莫衷一是！但计算后可知，以上说法都在一个范围：地球自转变慢15-20微秒/年，地月距离增加3-4厘米/年。有了这个范围，就可以用地月系角动量守恒（估计月球自转已被锁定，不考虑月球自转变化）来复核以上数据，以达到去伪存真。
设G为万有引力常数，M、R、T为地球质量、半径、自转周期，m为月球半径，l为地月距离

地球自转角动量：

$\\frac{2}{5}MR^2\\omega =\\frac{2}{5}MR^2\\frac{2\\pi }{T}=\\frac{4\\pi}{5}MR^2\\frac{1}{T}$

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（1）

月球公转角动量：

$ml^2\\omega$

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由牛二定律和万有引力定律得：

$\\omega^2l=\\frac{GM}{l^2}$

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，代入前式得：

$m\\sqrt{GMl}$

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（2）

地月系角动量守恒得：

$\\frac{4\\pi}{5}MR^2\\frac{1}{T}+m\\sqrt{GMl}=\\frac{4\\pi}{5}MR^2\\frac{1}{T-\\Delta T}+m\\sqrt{GM(l-\\Delta l)}$

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代入数据计算（过程略）：ΔT＝15微秒*5.4亿年，Δl＝19.4E6 米，即36mm/年
ΔT＝20微秒*5.4亿年，Δl＝26.5E6 米，即49mm/年

结论：由以上计算可得，15微秒/年，36mm/年，是可信的。

二、潮汐力计算：

设现在月球的潮汐力为1
月球的潮汐力（实质为加速度）：由

$a=\\frac{Gm}{l^2}$

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微分得：

$da=-2\\frac{Gm}{l^3}dl=-2\\frac{Gm}{l^3}R$

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（3）

5.4亿年前为：

$\\frac{(l+\\Delta l)^3}{l^3}=(\\frac{3.84\\times 10^8+19.4\\times 10^6}{3.84\\times 10^8})^3=1.16$

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太阳的潮汐力：设日地距离为L，太阳质量为Ms，由（3）得：

$\\frac{M_s}{L^3}/\\frac{m}{l^3}=\\frac{1.989\\times 10^{30}}{7.35\\times 10^{22}}\\times (\\frac{3.84\\times 10^8}{1.496\\times 10^{11}})^3=0.458$

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三、古今潮汐力比较：

朔望日（阴历初一、十五）日月潮汐力叠加（忽略白道与黄道夹角），半弦日（阴历初八、二十三）日潮与月潮成直角，日潮不起作用，只计月潮。其它介与两者之间。

            朔望                   半弦                                           半弦（实测，参本楼最后）

今：    1.458             1.00 (月潮)                   1.00－0.458*8.5％＝0.961（月潮）    0.458-1.00*8.5％＝0.373（日潮）

古：    1.618             1.16（月潮）                1.16－0.458*8.5％＝1.121（月潮）    0.458-1.16*8.5％＝0.359（日潮）
差：    11％                   16％                                              16.7%                                           －3.65％

四、潮汐高度计算：

以太阳引起的潮汐计算：符号同上，以太地连线上地球表面质点（靠近太阳点）为研究对象，地球质心受力是平衡的（万有引力=公转的向心力），该质点受力相对地球质心变化如下：设因潮汐力该点隆起高度为h，F=ma，质点质量不变，以下分析都是分析的加速度a，而不是F。
1、向心力减少：向心加速度为

$\\omega ^2L$

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微分得：

$\\omega ^2dL=\\omega ^2(R+h)$

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$\\omega ^2L=\\frac{GM_s}{L^2}$

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，变换后代入上式得：

$\\frac{GM_s}{L^3}(R+h)$

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（4）

2、地球引力减少：地球引力为

$\\frac{GM}{R^2}$

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微分得（绝对值）：

$2\\frac{GM}{R^3}dR=\\frac{2GM}{R^3}h$

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（5）

3、太阳引力增加：原理同上直接写结果：

$2\\frac{GM_s}{L^3}dL=\\frac{2GM_s}{L^3}(R+h)$

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（6）

受力平衡(4)=(5)—（6）：

$\\frac{GM_s}{L^3}(R+h)=\\frac{2GM}{R^3}h-\\frac{2GM_s}{L^3}(R+h)$

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变化得：

$\\frac{2M}{R^3}h=\\frac{3M_s}{L^3}(R+h)$

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由于h<<R，R+h≈R，
太阳潮汐高度为：

$h_s=\\frac{3}{2}R\\cdot (\\frac{M_s}{L^3})/(\\frac{M}{R^3})=0.246$

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米

同理：月球潮汐高度为：

$h_m=\\frac{3}{2}R\\cdot (\\frac{m}{l^3})/(\\frac{M}{R^3})=0.536$

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米

另外：(根据14楼数据以下粗体为错误观点）
假设地球表面全部被水覆盖，则与连线垂直方向应下降x，变形后的地球平面大约为椭圆，则该椭圆应与原圆面积相等
即：
$\\pi R^2=\\pi (R+h)(R-x)=\\pi (R^2-R\\cdot x+R\\cdot h-h\\cdot x)$

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忽略二次微量h*x得：x=h，即垂直方向下降高度等于隆起高度。不知是否有观测证据？！

据14楼数据计算：
下降高度为隆起高度的8.5％左右，见1月19日数据-0.21/2.47＝8.5％
预测涨潮最小值为太阳月球成直角的太地连线处，2.47*（0.246/（0.246+0.536））-2.47*（0.536/（0.246+0.536））*8.5％＝0.63英尺
与14楼1月28日的0.6英尺基本相符。

gohomeman1 · 发表于 2011-1-14 09:05

各位是否同意kxjh兄在8楼的计算？
假如同意，这500分就给他了，浪淘沙兄可得50分，我会另外转过来的。

浪淘沙 · 发表于 2011-1-14 09:31

本帖最后由浪淘沙于 2011-1-14 09:34 编辑

各位是否同意kxjh兄在8楼的计算？
假如同意，这500分就给他了，浪淘沙兄可得50分，我会另外转过来的。 ...
gohomeman1 发表于 2011-1-14 09:05

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加分给他，我同意。

不过，请他继续讲解一下，引潮力增大16%，并不代表潮汐增大16%。
（我前面按3厘米每年计算，得到的引潮力增大12%）。

因为，引潮力是针对整个地球的作用。
而地球的大部分是固体。海洋的水体的质量占比很有限。所以古今的最大潮差（即高潮位与低潮位之间的差值）估计与引潮力不能简单成正比。

我举个例子来定性分析一下：
月亮近地点距离35.9万千米，远地点距离40.6万千米。
同样是天文大潮日（朔或望），若月亮处于近地点则比处于远地点的引潮力要大44%。
（距离缩小13%，引潮力与距离三次方成正比。则1.13^3 = 1.446，即增大44%）。
是否就可以说近地点时的潮汐要比远地点时的潮汐高44%呢？从有些天文台的实测潮位记录数据看，没有这么明显。

kxjh兄只是分析了引潮力的问题。计算是可信的。值得嘉奖。
如果能继续查一些资料，对于潮汐高度进行模拟计算一下，估计这个题目会得到更圆满的结论。

浪淘沙 · 发表于 2011-1-14 10:27

本帖最后由浪淘沙于 2011-1-14 10:38 编辑

续10楼

查了几个近地点、远地点的数据。
到时候我再与香港天文台的潮汐记录（好象国内其它网站不提供实时潮汐数据的。）对比一下，看看近地点的大潮与远地点的大潮日，潮汐的高度是否有明显的差别。

2011年3月20日03：08是近地点，地月距离35.66万千米。
望时刻：3月20日02：10。
二者非常接近，应当可以作为例子来定性分析了。

2011年10月26日20：25是近地点，地月距离35.70万千米。
朔时刻：10月27日03：55，在近地点时刻之后7小时。朔时刻地月距离35.71万千米。也可以当作天文大潮与近地点重合的日子来看待。

2011年3月6日15:49是远地点，地月距离40.66万千米。
朔时刻3月5日04:45，与远地点时刻相距1天半。朔时刻地月距离40.57万千米。勉强可以作为定性分析的例子。

2011年10月12日19:42是远地点，地月距离40.64万千米。
望时刻10月12日10：05，相距离9小时多。望时刻地月距离40.64万千米。
这一次的天文大潮应当比较有说服力。

上述数据从《寿星天文历》计算所得。
要验证潮汐高度与地月距离的关系，需要一年的时间来完成。
其他朋友有兴趣时，请到时候一块查验。（比如直接在海边观测。或者用某些天文台、水文站的实测记录数据来说明。预测的潮位数据意义不大。）

香港天文台网址(潮汐实录）：
http://gb.weather.gov.hk/tide/marine/chko.htm

gohomeman1 · 发表于 2011-1-14 11:30

回复 8# kxjh

kxjh兄能否就浪兄的建议做进一步计算？

kxjh · 发表于 2011-1-14 16:27

回复 12# gohomeman1

为了帖子的完整，已补充到8楼。

浪淘沙 · 发表于 2011-1-14 19:55

本帖最后由浪淘沙于 2011-1-14 20:07 编辑

回复 8# kxjh

提供一个潮位数据，供参考。
http://www.hawaiitides.com/Waikiki/MonthTides.asp
是夏威夷的潮汐资料（估计是预测为主，不是实测数据。）
帖子字数限制，只复制了部分数据。
详细数据请自行上网查询。
所用时区应当是-10区。即比北京时间晚18个小时。

天文大潮时，潮位高2.47英尺（约0.75米），与你的计算大致相等。

夏威夷是太平洋中的小岛，潮位的数据比较有代表性。

如果使用大陆海岸边的潮位数据，一般是远大于理论计算值的。

比如香港天文台的几个观潮站的实测数据显示，潮差最大可达2.5米。远高于你的理论计算（约0.78米（=0.236+0.546））。

Waikiki Tides for January 2011 - Return to Tide Search

Date	Time	Height	Type	Sunrise	Sunset
1/2/2011	2:45 PM	0.67 ft.	High	7:11 AM	6:02 PM
1/2/2011	8:08 PM	-0.12 ft.	Low	7:11 AM	6:02 PM
1/3/2011	3:43 AM	2.42 ft.	High	7:11 AM	6:03 PM
1/3/2011	11:03 AM	0.21 ft.	Low	7:11 AM	6:03 PM
1/3/2011	3:31 PM	0.70 ft.	High	7:11 AM	6:03 PM
1/3/2011	8:49 PM	-0.09 ft.	Low	7:11 AM	6:03 PM
1/4/2011	4:17 AM	2.38 ft.	High	7:11 AM	6:04 PM
1/4/2011	11:34 AM	0.18 ft.	Low	7:11 AM	6:04 PM
1/4/2011	4:15 PM	0.75 ft.	High	7:11 AM	6:04 PM
1/4/2011	9:29 PM	-0.02 ft.	Low	7:11 AM	6:04 PM
1/5/2011	4:51 AM	2.30 ft.	High	7:11 AM	6:04 PM
1/5/2011	12:04 PM	0.17 ft.	Low	7:11 AM	6:04 PM
1/5/2011	4:57 PM	0.80 ft.	High	7:11 AM	6:04 PM
1/5/2011	10:08 PM	0.07 ft.	Low	7:11 AM	6:04 PM
1/6/2011	5:23 AM	2.18 ft.	High	7:12 AM	6:05 PM
1/6/2011	12:33 PM	0.17 ft.	Low	7:12 AM	6:05 PM
1/6/2011	5:42 PM	0.86 ft.	High	7:12 AM	6:05 PM
1/6/2011	10:48 PM	0.20 ft.	Low	7:12 AM	6:05 PM
1/7/2011	5:55 AM	2.03 ft.	High	7:12 AM	6:06 PM
1/7/2011	1:03 PM	0.17 ft.	Low	7:12 AM	6:06 PM
1/7/2011	6:30 PM	0.92 ft.	High	7:12 AM	6:06 PM
1/7/2011	11:31 PM	0.35 ft.	Low	7:12 AM	6:06 PM
1/8/2011	6:25 AM	1.84 ft.	High	7:12 AM	6:06 PM
1/8/2011	1:33 PM	0.18 ft.	Low	7:12 AM	6:06 PM
1/8/2011	7:25 PM	0.99 ft.	High	7:12 AM	6:06 PM
1/9/2011	12:19 AM	0.53 ft.	Low	7:12 AM	6:06 PM
1/9/2011	6:56 AM	1.63 ft.	High	7:12 AM	6:07 PM
1/9/2011	2:04 PM	0.19 ft.	Low	7:12 AM	6:07 PM
1/9/2011	8:27 PM	1.08 ft.	High	7:12 AM	6:07 PM
1/10/2011	1:20 AM	0.70 ft.	Low	7:12 AM	6:07 PM
1/10/2011	7:26 AM	1.41 ft.	High	7:12 AM	6:08 PM
1/10/2011	2:36 PM	0.19 ft.	Low	7:12 AM	6:08 PM
1/10/2011	9:39 PM	1.21 ft.	High	7:12 AM	6:08 PM
1/11/2011	2:49 AM	0.85 ft.	Low	7:12 AM	6:08 PM
1/11/2011	7:57 AM	1.20 ft.	High	7:12 AM	6:08 PM
1/11/2011	3:12 PM	0.18 ft.	Low	7:12 AM	6:08 PM
1/11/2011	10:51 PM	1.37 ft.	High	7:12 AM	6:08 PM
1/12/2011	5:01 AM	0.90 ft.	Low	7:13 AM	6:09 PM
1/12/2011	8:34 AM	1.00 ft.	High	7:13 AM	6:09 PM
1/12/2011	3:52 PM	0.15 ft.	Low	7:13 AM	6:09 PM
1/12/2011	11:53 PM	1.57 ft.	High	7:13 AM	6:09 PM
1/13/2011	7:14 AM	0.80 ft.	Low	7:13 AM	6:10 PM
1/13/2011	9:35 AM	0.83 ft.	High	7:13 AM	6:10 PM
1/13/2011	4:38 PM	0.11 ft.	Low	7:13 AM	6:10 PM
1/14/2011	12:43 AM	1.77 ft.	High	7:13 AM	6:10 PM
1/14/2011	8:22 AM	0.65 ft.	Low	7:13 AM	6:10 PM
1/14/2011	11:06 AM	0.71 ft.	High	7:13 AM	6:10 PM
1/14/2011	5:27 PM	0.04 ft.	Low	7:13 AM	6:10 PM
1/15/2011	1:26 AM	1.97 ft.	High	7:13 AM	6:10 PM
1/15/2011	8:59 AM	0.51 ft.	Low	7:13 AM	6:11 PM
1/15/2011	12:25 PM	0.66 ft.	High	7:13 AM	6:11 PM
1/15/2011	6:16 PM	-0.04 ft.	Low	7:13 AM	6:11 PM
1/16/2011	2:05 AM	2.16 ft.	High	7:13 AM	6:12 PM
1/16/2011	9:29 AM	0.38 ft.	Low	7:13 AM	6:12 PM
1/16/2011	1:27 PM	0.67 ft.	High	7:13 AM	6:12 PM
1/16/2011	7:04 PM	-0.12 ft.	Low	7:13 AM	6:12 PM
1/17/2011	2:43 AM	2.32 ft.	High	7:13 AM	6:12 PM
1/17/2011	9:59 AM	0.26 ft.	Low	7:13 AM	6:12 PM
1/17/2011	2:20 PM	0.72 ft.	High	7:13 AM	6:12 PM
1/17/2011	7:51 PM	-0.19 ft.	Low	7:13 AM	6:12 PM
1/18/2011	3:20 AM	2.43 ft.	High	7:13 AM	6:13 PM
1/18/2011	10:30 AM	0.16 ft.	Low	7:13 AM	6:13 PM
1/18/2011	3:09 PM	0.79 ft.	High	7:13 AM	6:13 PM
1/18/2011	8:38 PM	-0.21 ft.	Low	7:13 AM	6:13 PM
1/19/2011	3:58 AM	2.47 ft.	High	7:13 AM	6:14 PM
1/19/2011	11:02 AM	0.07 ft.	Low	7:13 AM	6:14 PM
1/19/2011	3:58 PM	0.88 ft.	High	7:13 AM	6:14 PM
1/19/2011	9:26 PM	-0.19 ft.	Low	7:13 AM	6:14 PM
1/20/2011	4:35 AM	2.43 ft.	High	7:13 AM	6:14 PM
1/20/2011	11:34 AM	0.00 ft.	Low	7:13 AM	6:14 PM
1/20/2011	4:49 PM	0.99 ft.	High	7:13 AM	6:14 PM
1/20/2011	10:15 PM	-0.09 ft.	Low	7:13 AM	6:14 PM

kxjh · 发表于 2011-1-15 19:03

回复 14# 浪淘沙

谢谢浪淘沙兄提供的数据！说实话，本来对这个计算信心不太大，看来还差不多

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麻烦哪位帮忙计算一下寒武纪时代的潮汐高度，有分赚

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