关于熵增

原来那个帖子太长了，，我都不想再翻第二遍，所以另开一贴，，为什么牛顿力学是时间对称的，而熵却是单向增加的这个问题我感觉已经有部分结果了，，
简单来说，熵增是假象，是人为的差别对待初末时刻引起的后果，，，熵增不能用来解释时间单向流逝，，，，

熵的定义采用这个，，某个给定宏观参数的系统的熵值等于它对应的所有可能的微观状态的个数，，，，
假设一孤立系统由一个状态经过固定时间（以下的运算中这个演化时间都是常数）进入另一个状态，，，，，
初始状态宏观参数用A表示，，末时刻宏观参数用B表示，，微观状态都用x表示，，
F（x）代表初始时刻由微观参数计算宏观参数的方法（是计算宏观参数，温度，体积什么的，不是计算熵），，G（x）代表末时刻由微观参数计算宏观参数的方法，，则初始时刻宏观参数A所对应的所有可能的微观状态构成集合{x|F（x）=A}，，末时刻宏观参数B所对应的所有可能的微观状态构成集合{x|G（x）=B}，，，，，这两个集合元素的个数与宏观参数的选择有关，，宏观参数更精细些的（系统自由度更少的）集合里的元素个数要更少一些，，所以目前还不能比较两个集合元素的多少，因为比较结果会与宏观参数的选取有关，，，，，
接下来引入时间演化算符H和他的逆H‘（逆算符的存在是因为牛顿力学里初末状态一一对应），，则H（初始时刻任意状态）=末时刻唯一对应状态，，H‘（末时刻任意状态）=初始时刻唯一状态，，并且HH’=1，，
接下来考察这两个集合，，
第一个，{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}，，他表示这样的一些初始状态的集合，他是宏观参数A所对应的微观状态，同时按照牛顿力学的演化，他给出的末状态是宏观参数B所对应的微观状态，，，
第二个，{x|G（x）=B，并且F（H’（x））=A}，，他表示这样一些末状态的集合，他是宏观参数B所对应的微观状态，同时按照牛顿力学反向演化，他给出的初始状态是宏观参数A所对应的微观状态，，，
然后我就要证明这样两个集合元素个数相等，，，
对任意的x属于{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}，，因为F（x）=A，所以F（H‘（H（x）））=A，，，又因为G（H（x））=B，，所以可得H（x）属于{x|G（x）=B，并且F（H’（x））=A}，，因为H是可逆的，所以{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}的元素个数不大于{x|G（x）=B，并且F（H’（x））=A}的元素个数，，，类似可证第二个集合元素个数不大于第一个集合元素个数，，综上，两个集合元素个数相等，，，，，，

结论，如果将{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}的元素个数作为初始状态的熵值，将{x|G（x）=B，并且F（H’（x））=A}的元素个数作为末状态的熵值，，则初末状态熵值相等，，，，，没有熵增一说，，，，
熊说一杯水自动变成两杯水的过程也是一个熵增过程，他说初状态所对应的可能的微观状态个数非常少，他要保证末状态是两杯水，，所以这里他允许的初状态对应的所有可能的微观状态构成的集合是{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}这种，，，，，至于末状态所允许的微观状态构成的集合他选择的则是这种{x|G（x）=B}，，所以熵是增加的，，，显然这里他不平等的对待了初末状态，，他把末状态作为约束来控制所有可能的初始的微观状态个数，，但却没有对称的把初始状态作为约束去控制所有可能的末时刻微观状态的个数，，，，，

feng兄，你的愿望凌驾了熵～

回复 2# 家猫战斗力

我想要个女仆，，，，，

回复 2# 家猫战斗力

偶的愿望是把这楼搞歪
果然实现了～

等我看到这个帖子的时候，又是后半夜了……
好吧，你们继续求女仆，我明天再来回复。

随手搜了一下，淘宝上果然有女仆卖，而且是召之即来挥之即去的，才十块钱啊：
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你们两个宅男，心动不如行动，赶快拨打电话12315吧，还有惊喜等着你！

在歪楼的过程中，还是多看看书吧。
论坛里真的很难把问题说明白啊。

回复 6# bearcat


    D版周边，还没运费贵～

不过可以每种买一个 运费就有所值了

大概翻了一下热力学教材，，
虽然没有找到确切的说法，不过有一个等几率原理中提到，，一个宏观状态所对应的所有的可能的微观状态都是可以实现的，，没理解错的话，这里就蕴含着一种假设，，给定宏观参数的孤立系统，存在一种随机的扰动，他将系统从一个微观状态扰动到另一个微观状态，同时不改变宏观参数的值，，，
这样的话，  热力学中有熵增原理，而我1楼的分析里没有熵增原理  这个矛盾就有了解答了，，因为我们讨论的是不同的系统，，，，
我在1楼里讨论的系统是与外界没有相互作用的系统，那里没有任何随机扰动，，，而热力学里讨论的系统则是与外界没有能量和物质交换的系统（他叫孤立系统，此前我一直以为孤立系统和与外界没有任何相互作用的系统是一样的，现在发现其实不一样，密闭瓶子里的气体可看作是孤立系统，但因为他会与瓶壁碰撞，所以他是与外界有相互作用的系统），，，

所以，这里需要重新考察下这个孤立系统（带有随机扰动）的微观模型到底是怎样的，，，
熵的定义依然采用这个，，，
某个给定宏观参数的系统的熵值等于它对应的所有可能的微观状态的个数，，，，
然后一段文字照抄下来
假设一孤立系统由一个状态经过固定时间（以下的运算中这个演化时间都是常数）进入另一个状态，，，，，
初始状态宏观参数用A表示，，末时刻宏观参数用B表示，，微观状态都用x表示，，
F（x）代表初始时刻由微观参数计算宏观参数的方法（是计算宏观参数，温度，体积什么的，不是计算熵），，G（x）代表末时刻由微观参数计算宏观参数的方法，，则初始时刻宏观参数A所对应的所有可能的微观状态构成集合{x|F（x）=A}，，末时刻宏观参数B所对应的所有可能的微观状态构成集合 {x|G（x）=B}，，，，，这两个集合元素的个数与宏观参数的选择有关，，宏观参数更精细些的（系统自由度更少的）集合里的元素个数要更少一些，，所以目前还不能比较两个集合元素的多少，因为比较结果会与宏观参数的选取有关，，，，，
接下来的内容就开始与1楼中的不一样了，，，，
接下来我要引入包含扰动的时间演化算符M，，因为对于不同的初始状态，经历了包含扰动的演化后可能进入同样的末状态，所以这个包含扰动的时间演化算符不存在逆算符，就是说类似1楼里的H‘不存在，，，
M（初始时刻某一状态）=末时刻某一状态，，，，同时这个扰动不会改变宏观参数，也就是说，对任意初始状态x，有G（M（x））=G（H（x））成立（H就是1楼里的没有扰动，完全由牛顿运动定律确定的演化过程），，，，
接下来要寻找与1楼中的两个集合（{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}和{x|G（x）=B，并且F（H’（x））=A}）相对应的集合，，因为M不存在逆算符，，所以F（M逆算符（x））=A这样的约束无意义，，所以想要寻找的两个集合就是{x|F（x）=A，并且G（M（x））=B}和{x|G（x）=B}，，，到这一步，一切基本已经都清晰了，，，对于存在随机扰动的情况下，由于随机扰动不能时间反演，所以可以用末状态来约束初始状态，但却不能用初始状态来约束末状态，，，，，
于是距离证明熵增原理还差最后一步，，需要证明{x|F（x）=A，并且G（M（x））=B}的元素个数比{x|G（x）=B}少，，，，
证明简述如下，，，因为G（M（x））=G（H（x））对任意x都成立，，所以{x|F（x）=A，并且G（M（x））=B}与{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}是完全相同的两个集合，元素个数相等，，又1楼里已经证明{x|F（x）=A，并且G（H（x））=B}与{x|G（x）=B，并且F（H’（x））=A}元素个数相等，而后者元素个数又不大于{x|G（x）=B}的元素个数，，，所以综上{x|F（x）=A，并且G（M（x））=B}的元素个数不大于{x|G（x）=B}的元素个数，，，，，

总结，对于存在随机扰动的系统，因为随机扰动无法时间反演，所以熵就表现为不减，，，，，

回复 8# feng1734

看书不认真！难道需要我把某一页某一行都指出来么……
不过你的悟性实在不错。我在想，如果我过几天再回复，你是不是又能多探索出一些东西。反而我说的东西你是听不下去的……

系统的微观状态当然是可以（其实“总是”）从一个状态转换到另外一个状态的，这是一个随时间演化的马尔科夫链。不过这个过程可以是随机的，也可以不是随机的。对于牛顿力学的演化来说，这个马尔科夫链的转移矩阵不是随机的（或可以因复杂而被理解为“伪随机的”？）。这个思路就是你前面的思路，是纯粹的微观动力学的方案。
早期在研究平衡系统的时候，是假设系统在长时间演化中，可以达到所有可能的微观状态，即各态历经假设。在这个前提下，系统的宏观状态可以理解为所有可能的微观状态的一种平均。这时，就可以把复杂的微观动力学演化扔掉了，只留下最重要的宏观表现的部分，所以才使这样的计算成为可能。
这个思路继续发展沿革下去，用严谨的数学语言构建出了系綜理论，就是那本书后半部分讲的主干内容。
这个系綜理论是在微观动力学之上独立出来的，它有它自己的前提和假设，研究对象是“系统”而不是微观对象。它用“宏观状态是微观状态的系綜平均”的假设来代替各态历经假设，这个假设一般还是认为可以站得住脚的。
在直观的理解上，把不知道的东西理解为随机（伪随机？）的东西，也许是一个办法。这个是在哲学上的讨论了。

回复 9# bearcat

扰动不随机的话，严格来说就是回到1楼里讨论的情况，，，，各态经历假说有些经不起推敲的，，，，
系综啥的以后再看看，，目前我满足于上面的理解，，，，

回复 9# bearcat


    话说，你还真有耐心把我写的这么多东西都看了，，，，，，

回复 11# feng1734

你也昼伏夜出？

话说我还在不断的编辑帖子呢，总会发现点需要补充修改的。
要把话说细了，还真得回头翻教材。以前学的东西都忘的差不多了，何况当年我这门课的成绩基本上是垫底的。

我又略微的翻了一下那本教材，在83节讲H定理的时候，谈到了宏观体系不可逆和微观体系可逆的问题。
作者的讨论有些粗糙，不过给出了王竹溪先生的文献参考。
以气体为例，在338页，1876年有人提出和你一样的问题，对此是以“系綜平均”的概念来解释的。这就是我在前面一直讲“宏观系统”包含很多（而不是一个）“微观系统”的意思。另外一个问题是彭加莱的回归问题，我记得你（？）前面的某个帖子也提到了这个，作者用时间来解释“数学上正确的东西物理上未必会实际发生”。其实这个问题我个人认为也可以用统计语言来回答，引入演化的时间作为参考，貌似不那么美观。

回复 12# bearcat

就等你呢，，，，，，，
当初我也选修过热学，，考了60多分，，，，，，，，

将近十年没重读这本书了。现在看来，貌似这本书毛病不少：思想不够深刻，计算倒是够繁琐。
当年北大的老师选这本书，大概是因为比较浅显，适合入门吧。

回复 13# bearcat


    83节真是好东西，，，，
H定理是统计性的，，熵增原理也是一样，，，，
用彭家勒循环周期夸张的长来解释彭家勒循环和H定理的矛盾  这和波尔兹曼确认H定理的统计性质应该都是一样的，，，，

回复 15# bearcat


    教材都这样，最核心的问题都是一笔带过的（往往放在绪论里），，，多看几本才能知道该重点关注什么

回复 14# feng1734

热学应该不讲统计的。
我的印象里，热学是普物的一部分，只能算是高中物理的补充，说是物理学入门也好。
热力学和统计物理应该算是两门正经的物理系专业课（四大力学之一），在北大被当成同一门课的两个阶段，所以（因为？）用那个教材。
不过我刚注意到，系綜理论和非平衡态统计都在那本教材很靠后的地方（非平衡当时好像是选修内容？），所以我有点糊涂了——我脑子里有好多已经根深蒂固了的东西，但是我却想不起来是在哪个课上学到的了——大概是因为我跷课太多的缘故吧。
后来又学了量子统计，然后在量子场论的后期也有等效的统计理论，这些都是以系綜理论为基础的。

回复 18# bearcat


    那本书讲得很粗糙的，，远没有你给的这本书细致，，，，

回复  bearcat
    教材都这样，最核心的问题都是一笔带过的（往往放在绪论里），，，多看几本才能知道 ...
feng1734 发表于 2011-6-9 03:55

                               
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按理说老师在课堂上应该讲很多核心的问题的。
唉，我好像当年就没怎么听过课，把书看一遍就去裸考的。
很多东西都是在以后科研时用到了，就理解了。

我当年《李群和李代数》险些挂掉，当时觉得太难了。
我后来问导师他当年怎么学的这门课，他故作惊讶的说：难道数学课还需要学？用的时候找本书看看不就行了么！
现在发现，好像真的是这么回事……