求证一个关于2的n次幂的数学问题

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-8 20:41

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为什么当n为正整数的时候，2[sup]n[/sup]-1=2[sup]n-1[/sup]+2[sup]n-2[/sup]+…+2[sup]0[/sup]呢？我在想二进制数的时候发现了这个规律。

家猫战斗力 · 发表于 2011-7-8 21:00

用数学归纳法易证　　　　　　　　　　　　　　　　　　

jkkaven · 发表于 2011-7-8 21:12

后一个是等比数列，用等比数列求和工式可得

苦难 · 发表于 2011-7-8 21:14

你这个规律实际上是个数制规律，实际上因为你这个是二进制，所以隐藏一点东西，那就是等式右边的各项系数为“进制数-1”，2进制就是“2-1”，得1，所以你的式子全整表示应为：

(2^n)-1 = 1x2^(n-1) + 1x2^(n-2) + … + 1x2^(0)

换10进制：
(10^n)-1 = 9x10^(n-1) + 9x10^(n-2) + … + 9x10^(0)

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-8 22:13

本帖最后由 zhangyf1997 于 2011-7-9 19:56 编辑

你这个规律实际上是个数制规律，实际上因为你这个是二进制，所以隐藏一点东西，那就是等式右边的各项系数为 ...
苦难发表于 2011-7-8 21:14

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感谢补充！原来这个式子进一步推广，可以变为：若C、n为正整数，则C[sup]n[/sup]-1=(C-1)(C[sup]n-1[/sup]+C[sup]n-2[/sup]+…+C[sup]0[/sup])。

Abrah · 发表于 2011-7-9 12:34

设S=2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)+…+2^0
则2S=2^（n）+2^(n-1)+2^(n-2)+…+2
2S-S=S=2^n-1

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-9 19:30

本帖最后由 zhangyf1997 于 2011-7-9 20:06 编辑

设S=2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)+…+2^0
则2S=2^（n）+2^(n-1)+2^(n-2)+…+2
2S-S=S=2^n-1
Abrah 发表于 2011-7-9 12:34

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好方法啊！！！用这个方法，5L的式子也得证了。。。

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-9 19:47

用数学归纳法易证　　　　　　　　　　　　　　　　　　
家猫战斗力发表于 2011-7-8 21:00

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学习了！我查了一下维基百科，才发现原来归纳法是一种很严密的证明方法。只要先证明了n=1时原式成立，再证明一下“若n=m时原式成立，则n=m+1时也成立”这一命题，就能证明出来了。。。

家猫战斗力 · 发表于 2011-7-9 19:58

回复 8# zhangyf1997

这类问题数学归纳法永远是第一感觉~

linkage · 发表于 2011-7-9 20:10

数学全部忘光的飘过。。。。。。

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-9 20:16

本帖最后由 zhangyf1997 于 2011-7-9 20:19 编辑

回复 zhangyf1997

这类问题数学归纳法永远是第一感觉~
家猫战斗力发表于 2011-7-9 19:58

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不过要是换成5L的式子我就不知道该怎么用了……C=1，n=m+1以及C=k+1，n=1时是成立的，接下来该怎么办？

gohomeman1 · 发表于 2011-7-9 20:21

回复 8# zhangyf1997

天啊，你是没学过数学归纳法吧。

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-9 20:25

后一个是等比数列，用等比数列求和工式可得
jkkaven 发表于 2011-7-8 21:12

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学习了！在维基百科上查到了此公式及推导方法。

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-9 20:33

回复 zhangyf1997

天啊，你是没学过数学归纳法吧。
gohomeman1 发表于 2011-7-9 20:21

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虽然我要升初三了，但是数学书确实没讲过数学归纳法，只讲到了不太严密的归纳推理，其他证明法也没说过名称。。。大概我做的几何题中，综合法频率最高，偶尔会用到分析法和归谬法。

家猫战斗力 · 发表于 2011-7-9 20:43

回复 11# zhangyf1997

C不要变，n增加即可~

当n = 1时, C^n - 1 = (C - 1)C^0
然后如果 C^m - 1 = (C - 1)(C^(m-1) +  C^(m-2) + …… + C^0) 成立
C^(m + 1) - 1 =  C[(C - 1)(C^(m-1) +  C^(m-2) + …… + C^0) + 1] - 1
                  = (C - 1)(C^(m) +  C^(m-1) + …… + C^0)
证毕

zhangyf1997 · 发表于 2011-7-9 22:22

回复 zhangyf1997

C不要变，n增加即可~

当n = 1时, C^n - 1 = (C - 1)C^0
然后如果 C^m - 1 = (C ...
家猫战斗力发表于 2011-7-9 20:43

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ah-oh，原来到这里就已经证完了～～～我却以为还要归纳C为其他正整数的情形。再次学习了。

胡杨武 · 发表于 2011-7-9 22:26

没读过大学的飘过

先驱者11号 · 发表于 2011-7-10 15:36

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