一个有关求导的题目！

我上高三的时候，高三数学教材已经开始引入导数的知识了。
好像是第一次还是第二次月考最后一道大题考的这题目，跟求导有关。当时我没做出来。考完讲卷子时我旁边的同学说很容易，怎么怎么就出来了。老师似乎也觉得很容易，根本讲都没怎么讲，也可能是我开小差去了没认真听。
我越想越觉得怎么像是个高深莫测的研究生、博士生课程中才有的包络问题。


题目是这样的：一根刚性直棍要横着通过一个L形过道，过道宽度如图所示。问这根直棍的长度最大为多少？

[ 本帖最后由 Starling 于 2007-5-7 02:05 编辑 ]

包络问题？
请楼主详细说说

我不知道啊！
我就是想请大侠帮我解决这个问题。按当初的情形，这应当是可以用高中的导数知识就能做出来的。

设棍长为 L

题的最终结果是:
L^{2/3} <= a^(2/3) + b^(2/3)

高中生能逻辑清晰地做出该题目的, 水平不简单

[ 本帖最后由 smile123 于 2007-5-7 12:37 编辑 ]

是个用导数求极限问题。

原帖由 lzluyi 于 2007-5-7 16:31 发表
是个用导数求极限问题。

首先声明，对于大侠给出的方法，我并没有用其着手计算，所以说出来的话可能漏洞百出，还请指教。
不知大侠可否告知这样做的原理？
感觉上，就是将AB的长度表示成θ的函数，然后对θ求导，求出此时AB长度的极值。
但我感觉这个极值并非最大值啊！设想θ无穷趋近于0，则AB长度可以趋向无穷大！

就我个人而言，单纯用高中的导数知识，我想不出解决方法。我的想法是：让A、B均沿着（紧贴着）过道外壁移动，于是在各个时刻的AB就划出一个包络（但我不知道如何用数学语言描述它）；这个包络当然是AB长度的函数；当这个包络与过道内转角相切时，AB长度即取到最大。

[ 本帖最后由 Starling 于 2007-5-7 17:55 编辑 ]

原帖由 smile123 于 2007-5-7 12:29 发表
设棍长为 L

题的最终结果是:
L^{2/3} <= a^(2/3) + b^(2/3)

高中生能逻辑清晰地做出该题目的, 水平不简单

大侠可否告知求解思路？

我把课件发上来，你看看？ 哦！后面用到了偏导，不知高中学了吗？

[ 本帖最后由 lzluyi 于 2007-5-7 21:37 编辑 ]

我上高中时，只学了极限。。。现在的高中课程还真强

能把课件传上来供我下载吗？

一个有关求导的题目课件

我也来凑个热闹。
看下图：
  
假设有一个长度可变杆子伸到这个拐角通道中，要求杆子的两头和外壁接触，杆子中间必须和D点接触，当杆子从通道的一端到另一端时，考察杆子的长度变化，当杆子刚进入的时候，θ-〉0，这是杆子的长度
L->无穷大，随着杆子逐渐进入，L逐渐变小，考察杆子出来时情况θ-〉π/2，L->无穷大，说明L在变小倒一个定值时又变大了，不难证明杆子长度
L随θ的变化是连续的，杆子L变化的变小值就是所求得值。构造
L=f(θ)，在θ的定义域范围内L并不是单调的，这样 dL/dθ=g(θ)，当dL/dθ=g(θ)=0时f(θ)处于极值，这里就是极小值，求出θ后求出f(θ)就解出来了。
  
看图分析一下
`AD = sqrt{a^2 + b^2}`
$CD = L_1, DB = L_2, L = L1+L2$
$sini = \frac{a}{sqrt{a^2 + b^2}}$
$sinj = \frac{b}{sqrt{a^2 + b^2}}$
  
根据正弦定理有
$\frac{sini}{L2} = \frac{sin\theta}{ sqrt{a^2 + b^2}}$
$\frac{sinj}{L1} = \frac{sin{\frac{\pi}{2}-\theta}}{ sqrt{a^2 + b^2}}$
  
有
$L=\frac{a}{sin\theta} + \frac{b}{cos\theta}$
求导
求$frac{dL}{d\theta} = 0$ 解出$\theta$, L就出来了。
  

简单的想了一下，公式的源码是现想现编的，没有解，大家看看有没有什么差错

[ 本帖最后由 wenlianyi 于 2007-5-8 22:58 编辑 ]

超女时代，人心浮躁，天文论坛可喜可贺！我把一个大学数学系毕业论文放上来，供大家探讨。她的论文题目是《几何模型在现实生活中的应用》。论文最后一节讨论了这个问题，我担心牵扯到个人问题，以图片形式放上来，请大家原谅！

LS提供的拐角问题的方法和我的思路相同，不过建立$l(\theta)$的方法不同，最后的解是一样的。

仔细检查了一下我的推导，竟发现正弦定理解错了，改过来了，看来的要动笔写了，真的老了
::0023::

现在高中居然要教求导了？

从03年开始改用含有导数内容的新教材。