正方形轮子的自行车
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1630/http://spaces.ac.cn/usr/uploads/2012/06/2169762979.jpg你见过正方形轮子的自行车吗？一般认为，只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动，但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的？只要铺好一条适当的道路，正方形车轮的自行车照样可以平稳前行！本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实，方轮自行车已经不是新鲜玩意了，它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到，它的特殊轨道是有许多段弧组成的，每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时，正方形会保持与弧形相切（确保不会打滑）。这样的路的形状是什么曲线呢？很幸运，它并不十分复杂，而且让人意外的是，它就是我们之前已经研究过的“悬链线”！原来，要设计这样的一个曲线的轨道，不需要多么高深的设计师，只需要我们手拿一条铁链，让它自由垂下......
http://spaces.ac.cn/usr/uploads/2012/06/2600831811.png
如图，这是方轮的两个特殊位置，设正方形的边长为2，由图不难得知，如果以x轴为地面的话，轮轴(R)与地面的距离为http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D，中间的顶点与地面的距离为http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D-%7B1%7D。
将各个点标记如下图
http://spaces.ac.cn/usr/uploads/2012/06/663160450.png
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7By%7D%3D%7By%7D%7B%5Cleft%28%7Bx%7D%5Cright%29%7D为轨道方程，其中http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7BI%7D%7B%5Cleft%28%7Bx%7D%2C%7By%7D%5Cright%29%7D是正方形车轮与“道路”的一个切点，根据道路与车轮的关系，线段AI的长度要等于弧KI的长，记该长为s，用微积分的符号表示为
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7Bs%7D%3D%7B%5Cint_%7B%7B%7Bx%7D_%7B%7B0%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7Bx%7D%7D%7D%5Csqrt%7B%7B%7B%7B%5Cleft.%7Bd%7D%7Bx%7D%5Cright.%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft.%7Bd%7D%7By%7D%5Cright.%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D%3D%7B%5Cint_%7B%7B%7Bx%7D_%7B%7B0%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7Bx%7D%7D%7D%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D%7B%5Cleft.%7Bd%7D%7Bx%7D%5Cright.%7D
（http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7Bx%7D_%7B%7B0%7D%7D是左端的一个零点）
同时，我们有以下关系：
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7BA%7D%7BI%7D%3D%7Bs%7D%2C%7BM%7D%7BI%7D%3D%7B1%7D-%7Bs%7D%2C%7BR%7D%7BM%7D%3D%7B1%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7BR%7D%7BM%7D%7B%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%7D%2B%7BM%7D%7BI%7D%7B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%7D%2B%7By%7D%3D%7BO%7D%7BP%7D
即http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7B%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%7D%2B%7B%5Cleft%28%7B1%7D-%7Bs%7D%5Cright%29%7D%7B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%7D%2B%7By%7D%3D%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D
从中解出s，并把http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7B%5Ctan%7B%5Ctheta%7D%7D%3D%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D代入，得到
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7Bs%7D%3D%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B1%7D%7D%7D%2B%7By%7D%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B2%7D%7D%7D%7D%7D-%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B2%7D%7D%7D%7D%7D
将两个s用等号联系起来，得到积分方程
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7B%5Cint_%7B%7B%7Bx%7D_%7B%7B0%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7Bx%7D%7D%7D%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D%7B%5Cleft.%7Bd%7D%7Bx%7D%5Cright.%7D%3D%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B1%7D%7D%7D%2B%7By%7D%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B2%7D%7D%7D%7D%7D-%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B2%7D%7D%7D%7D%7D
为了将其变成常见的微分方程，将两端取导数
等号左边取导数后变成
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D
等号右边取导数后变成
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle-%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B2%7D%7D%7D%7B%5Cddot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%2B%7B%5Cleft%28%7By%7D-%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D%5Cright%29%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B-%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B-%7B2%7D%7D%7D%7B%5Cddot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D
对消后变成：
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D-%7By%7D%3D%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Cdot%7B%7B%7By%7D%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D
可以化为：http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cleft.%7Bd%7D%7Bx%7D%5Cright.%7D%7D%7D%7B%7B%7B%5Cleft.%7Bd%7D%7By%7D%5Cright.%7D%7D%7D%7D%3D%7B%5Cfrac%7B%7B%7B1%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7B%7B%7B%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D-%7By%7D%5Cright%29%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D-%7B1%7D%7D%7D%7D%7D%7D
即
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle-%7Bx%7D%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7B%7B%7B1%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7B%7B%7B%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D-%7By%7D%5Cright%29%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D-%7B1%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7Bd%7D%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D-%7By%7D%5Cright%29%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%3D%7B%5Carccos%7B%7Bh%7D%7D%7D%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D-%7By%7D%5Cright%29%7D%2B%7BC%7D
改写成
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7By%7D%3D-%7B%5Ccosh%7B%7B%5Cleft%28-%7BC%7D-%7Bx%7D%5Cright%29%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D%3D-%7B%5Ccosh%7B%7B%5Cleft%28%7BC%7D%2B%7Bx%7D%5Cright%29%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D
（http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7B%5Ccosh%7B%7Bx%7D%7D%7D是双曲余弦函数，http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7B%5Ccosh%7B%7Bx%7D%7D%7D%3D%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%7Be%7D%7D%5E%7B%7Bx%7D%7D%2B%7B%7Be%7D%7D%5E%7B%7B-%7Bx%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%7B2%7D%7D%7D%7D）
根据初始条件，可以得出C=0，于是最终的轨道方程为
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7By%7D%3D-%7B%5Ccosh%7B%7Bx%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B2%7D%7D%7D
（取x轴上方的部分）
这是一条悬链线。神奇的悬链线！
解答完这个问题后，读者很自然地会有延伸出一个问题：对于任意正n边形的车轮，满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢？
http://spaces.ac.cn/usr/uploads/2012/06/665359506.png
答案让人很惊喜，即并没有变得很繁，它依旧只是一条悬链线！如图，设正n边形的边长为2a，高为h，那么最终的答案将是：
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7By%7D%3D-%7Bh%7D%7B%5Ccosh%7B%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%7Bx%7D%7D%7D%7B%7B%7Bh%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B%7Ba%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bh%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7D%7D
如果以h=1为单位长度，根据http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7Ba%7D%3D%7Bh%7D%5Ccdot%7B%5Ctan%7B%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpi%7D%7D%7B%7B%7Bn%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D%7D%7D，得到：
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccolor%7Bblue%7D%5Cdisplaystyle%7By%7D%3D-%7B%5Ccosh%7B%7Bx%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B1%7D%2B%7B%7B%5Ctan%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpi%7D%7D%7B%7B%7Bn%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D%7D%7D
这只不过是正方形车轮的轨道向下平移了一点而已！
至此，我们为方轮自行车的铺路之旅完毕！这个结果让我再次惊叹大自然的神秘。那在重力场自然垂下的一条铁链的形状，竟然为方轮自行车铺好了道路。冥冥中似乎总有一种神秘的力量，将各个看似毫不相关的东西联系了起来，这也许就是数学最令人激动人心的地方。
沙发，这车…… “冥冥中似乎总有一种神秘的力量，将各个看似毫不相关的东西联系了起来，这也许就是数学最令人激动人心的地方。”——是呀，非常有道理，让人深思。 还是圆的实用 有角的会震..:lol 虽然可以但因惯性的存在真让人骑上恐怕还是不会舒服的。 为你这古怪的车子做一条专门的道路啊？估计可以在游乐园里试试，没准会有人来尝试，呵呵 怎么转弯？ 没有凸字形的 ？ 我刚一看到那些式子，就知道是bojone的贴帖子了。哈哈哈，你的科学空间不错！高考成绩知道了吗？ 我看到那一堆数学公式就吐血了。。 本帖最后由 bojone 于 2012-6-25 13:43 编辑
萤石 发表于 2012-6-25 11:12 static/image/common/back.gif
虽然可以但因惯性的存在真让人骑上恐怕还是不会舒服的。
应该是的，时而加速时而减速，因此也不十分舒服。不过自行车属于慢速工具，这应该影响不大。
扭扭羊 发表于 2012-6-25 11:42 static/image/common/back.gif
为你这古怪的车子做一条专门的道路啊？估计可以在游乐园里试试，没准会有人来尝试，呵呵 ...
这不是我的凭空想象，的确有人已经做出来了。
你看
http://news.xinhuanet.com/newscenter/2002-07/17/content_485051.htm
http://tech.sina.com.cn/d/2008-06-27/09242288130.shtml
http://www.tudou.com/programs/view/kUnuQ_bZSP4/
不过不是在游乐园中，在一些科技馆中
:lol有点想试试 yanghong94 发表于 2012-6-25 13:08 static/image/common/back.gif
我刚一看到那些式子，就知道是bojone的贴帖子了。哈哈哈，你的科学空间不错！高考成绩知道了吗？ ...
好像说明天下午
http://news.xinmin.cn/domestic/gnkb/2012/06/24/15264768.html
广东的很迟
螃蟹大人的兔子 发表于 2012-6-25 13:31 static/image/common/back.gif
我看到那一堆数学公式就吐血了。。
有选择地阅读，呵呵，文字也不少呀，你可以纯欣赏结果
bojone 发表于 2012-6-25 13:40 static/image/common/back.gif
这不是我的凭空想象，的确有人已经做出来了。
你看
http://news.xinhuanet.com/newscenter/2002-07/17/con ...
嗯。就是适合在科技馆、游乐场使用的。
有病 wind0000 发表于 2012-6-25 12:07 static/image/common/back.gif
怎么转弯？
这是个大问题。
我们无法保证直线行进。手把一偏，估计车子很容易翻倒的。
页:
[1]
2