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你见过正方形轮子的自行车吗?一般认为,只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动,但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的?只要铺好一条适当的道路,正方形车轮的自行车照样可以平稳前行!本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实,方轮自行车已经不是新鲜玩意了,它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到,它的特殊轨道是有许多段弧组成的,每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时,正方形会保持与弧形相切(确保不会打滑)。这样的路的形状是什么曲线呢?很幸运,它并不十分复杂,而且让人意外的是,它就是我们之前已经研究过的“悬链线”!原来,要设计这样的一个曲线的轨道,不需要多么高深的设计师,只需要我们手拿一条铁链,让它自由垂下......
如图,这是方轮的两个特殊位置,设正方形的边长为2,由图不难得知,如果以x轴为地面的话,轮轴(R)与地面的距离为,中间的顶点与地面的距离为。
将各个点标记如下图
为轨道方程,其中是正方形车轮与“道路”的一个切点,根据道路与车轮的关系,线段AI的长度要等于弧KI的长,记该长为s,用微积分的符号表示为
(是左端的一个零点)
同时,我们有以下关系:
即
从中解出s,并把代入,得到
将两个s用等号联系起来,得到积分方程
为了将其变成常见的微分方程,将两端取导数
等号左边取导数后变成
等号右边取导数后变成
对消后变成:
可以化为:
即
改写成
(是双曲余弦函数,)
根据初始条件,可以得出C=0,于是最终的轨道方程为
(取x轴上方的部分)
这是一条悬链线。神奇的悬链线!
解答完这个问题后,读者很自然地会有延伸出一个问题:对于任意正n边形的车轮,满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢?
答案让人很惊喜,即并没有变得很繁,它依旧只是一条悬链线!如图,设正n边形的边长为2a,高为h,那么最终的答案将是:
如果以h=1为单位长度,根据,得到:
这只不过是正方形车轮的轨道向下平移了一点而已!
至此,我们为方轮自行车的铺路之旅完毕!这个结果让我再次惊叹大自然的神秘。那在重力场自然垂下的一条铁链的形状,竟然为方轮自行车铺好了道路。冥冥中似乎总有一种神秘的力量,将各个看似毫不相关的东西联系了起来,这也许就是数学最令人激动人心的地方。
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