正方形轮子的自行车

bojone · 发表于 2012-6-25 10:28

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你见过正方形轮子的自行车吗？一般认为，只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动，但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的？只要铺好一条适当的道路，正方形车轮的自行车照样可以平稳前行！本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实，方轮自行车已经不是新鲜玩意了，它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到，它的特殊轨道是有许多段弧组成的，每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时，正方形会保持与弧形相切（确保不会打滑）。这样的路的形状是什么曲线呢？很幸运，它并不十分复杂，而且让人意外的是，它就是我们之前已经研究过的“悬链线”！原来，要设计这样的一个曲线的轨道，不需要多么高深的设计师，只需要我们手拿一条铁链，让它自由垂下......

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如图，这是方轮的两个特殊位置，设正方形的边长为2，由图不难得知，如果以x轴为地面的话，轮轴(R)与地面的距离为

$\color{blue}\displaystyle\sqrt{{{2}}}$

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，中间的顶点与地面的距离为

$\color{blue}\displaystyle\sqrt{{{2}}}-{1}$

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。
将各个点标记如下图

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$\color{blue}\displaystyle{y}={y}{\left({x}\right)}$

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为轨道方程，其中

$\color{blue}\displaystyle{I}{\left({x},{y}\right)}$

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是正方形车轮与“道路”的一个切点，根据道路与车轮的关系，线段AI的长度要等于弧KI的长，记该长为s，用微积分的符号表示为

$\color{blue}\displaystyle{s}={\int_{{{x}_{{0}}}}^{{x}}}\sqrt{{{{\left.{d}{x}\right.}}^{{2}}+{{\left.{d}{y}\right.}}^{{2}}}}={\int_{{{x}_{{0}}}}^{{x}}}\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{2}}}}{\left.{d}{x}\right.}$

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（

$\color{blue}\displaystyle{x}_{{0}}$

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是左端的一个零点）
同时，我们有以下关系：

$\color{blue}\displaystyle{A}{I}={s},{M}{I}={1}-{s},{R}{M}={1}$

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$\color{blue}\displaystyle{R}{M}{\cos{\theta}}+{M}{I}{\sin{\theta}}+{y}={O}{P}$

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即

$\color{blue}\displaystyle{\cos{\theta}}+{\left({1}-{s}\right)}{\sin{\theta}}+{y}=\sqrt{{{2}}}$

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从中解出s，并把

$\color{blue}\displaystyle{\tan{\theta}}={\dot{{{y}}}}$

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代入，得到

$\color{blue}\displaystyle{s}={1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{-{1}}}+{y}\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{-{2}}}}}-\sqrt{{{2}}}\cdot\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{-{2}}}}}$

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将两个s用等号联系起来，得到积分方程

$\color{blue}\displaystyle{\int_{{{x}_{{0}}}}^{{x}}}\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{2}}}}{\left.{d}{x}\right.}={1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{-{1}}}+{y}\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{-{2}}}}}-\sqrt{{{2}}}\cdot\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{-{2}}}}}$

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为了将其变成常见的微分方程，将两端取导数
等号左边取导数后变成

$\color{blue}\displaystyle\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{2}}}}$

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等号右边取导数后变成

$\color{blue}\displaystyle-{{\dot{{{y}}}}}^{{-{2}}}{\ddot{{{y}}}}+{\left({y}-\sqrt{{{2}}}\right)}\cdot{\frac{{-{{\dot{{{y}}}}}^{{-{2}}}{\ddot{{{y}}}}}}{{\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{2}}}}}}}+\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{2}}}}$

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对消后变成：

$\color{blue}\displaystyle\sqrt{{{2}}}-{y}=\sqrt{{{1}+{{\dot{{{y}}}}}^{{2}}}}$

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可以化为：

$\color{blue}\displaystyle{\frac{{{\left.{d}{x}\right.}}}{{{\left.{d}{y}\right.}}}}={\frac{{{1}}}{{\sqrt{{{{\left(\sqrt{{{2}}}-{y}\right)}}^{{2}}-{1}}}}}}$

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即

$\color{blue}\displaystyle-{x}=\int{\frac{{{1}}}{{\sqrt{{{{\left(\sqrt{{{2}}}-{y}\right)}}^{{2}}-{1}}}}}}{d}{\left(\sqrt{{{2}}}-{y}\right)}$

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$\color{blue}\displaystyle={\arccos{{h}}}{\left(\sqrt{{{2}}}-{y}\right)}+{C}$

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改写成

$\color{blue}\displaystyle{y}=-{\cosh{{\left(-{C}-{x}\right)}}}+\sqrt{{{2}}}=-{\cosh{{\left({C}+{x}\right)}}}+\sqrt{{{2}}}$

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（

$\color{blue}\displaystyle{\cosh{{x}}}$

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是双曲余弦函数，

$\color{blue}\displaystyle{\cosh{{x}}}={\frac{{{{e}}^{{x}}+{{e}}^{{-{x}}}}}{{{2}}}}$

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）
根据初始条件，可以得出C=0，于是最终的轨道方程为

$\color{blue}\displaystyle{y}=-{\cosh{{x}}}+\sqrt{{{2}}}$

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（取x轴上方的部分）
这是一条悬链线。神奇的悬链线！
解答完这个问题后，读者很自然地会有延伸出一个问题：对于任意正n边形的车轮，满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢？

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答案让人很惊喜，即并没有变得很繁，它依旧只是一条悬链线！如图，设正n边形的边长为2a，高为h，那么最终的答案将是：

$\color{blue}\displaystyle{y}=-{h}{\cosh{{\left({\frac{{{x}}}{{{h}}}}\right)}}}+\sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{h}}^{{2}}}}$

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如果以h=1为单位长度，根据

$\color{blue}\displaystyle{a}={h}\cdot{\tan{{\left({\frac{{\pi}}{{{n}}}}\right)}}}$

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，得到：

$\color{blue}\displaystyle{y}=-{\cosh{{x}}}+\sqrt{{{1}+{{\tan}}^{{2}}{\left({\frac{{\pi}}{{{n}}}}\right)}}}$

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这只不过是正方形车轮的轨道向下平移了一点而已！
至此，我们为方轮自行车的铺路之旅完毕！这个结果让我再次惊叹大自然的神秘。那在重力场自然垂下的一条铁链的形状，竟然为方轮自行车铺好了道路。冥冥中似乎总有一种神秘的力量，将各个看似毫不相关的东西联系了起来，这也许就是数学最令人激动人心的地方。

Zwnwilly · 发表于 2012-6-25 10:29

沙发，这车……

李灼 · 发表于 2012-6-25 10:38

“冥冥中似乎总有一种神秘的力量，将各个看似毫不相关的东西联系了起来，这也许就是数学最令人激动人心的地方。”——是呀，非常有道理，让人深思。

迷惘星空 · 发表于 2012-6-25 10:52

还是圆的实用

黑桃、Terminato · 发表于 2012-6-25 10:56

有角的会震..

萤石 · 发表于 2012-6-25 11:12

虽然可以但因惯性的存在真让人骑上恐怕还是不会舒服的。

扭扭羊 · 发表于 2012-6-25 11:42

为你这古怪的车子做一条专门的道路啊？估计可以在游乐园里试试，没准会有人来尝试，呵呵

wind0000 · 发表于 2012-6-25 12:07

怎么转弯？

slt2483 · 发表于 2012-6-25 12:17

没有凸字形的？

danming · 发表于 2012-6-25 12:35

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

yanghong94 · 发表于 2012-6-25 13:08

我刚一看到那些式子，就知道是bojone的贴帖子了。哈哈哈，你的科学空间不错！高考成绩知道了吗？

螃蟹大人的兔子 · 发表于 2012-6-25 13:31

我看到那一堆数学公式就吐血了。。

bojone · 发表于 2012-6-25 13:38

本帖最后由 bojone 于 2012-6-25 13:43 编辑

萤石发表于 2012-6-25 11:12

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虽然可以但因惯性的存在真让人骑上恐怕还是不会舒服的。

应该是的，时而加速时而减速，因此也不十分舒服。不过自行车属于慢速工具，这应该影响不大。

bojone · 发表于 2012-6-25 13:40

扭扭羊发表于 2012-6-25 11:42

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为你这古怪的车子做一条专门的道路啊？估计可以在游乐园里试试，没准会有人来尝试，呵呵 ...

这不是我的凭空想象，的确有人已经做出来了。
你看
http://news.xinhuanet.com/newscenter/2002-07/17/content_485051.htm
http://tech.sina.com.cn/d/2008-06-27/09242288130.shtml
http://www.tudou.com/programs/view/kUnuQ_bZSP4/

不过不是在游乐园中，在一些科技馆中

发表于 2012-6-25 13:41

有点想试试

bojone · 发表于 2012-6-25 13:41

yanghong94 发表于 2012-6-25 13:08

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我刚一看到那些式子，就知道是bojone的贴帖子了。哈哈哈，你的科学空间不错！高考成绩知道了吗？ ...

好像说明天下午
http://news.xinmin.cn/domestic/gnkb/2012/06/24/15264768.html

广东的很迟

bojone · 发表于 2012-6-25 13:42

螃蟹大人的兔子发表于 2012-6-25 13:31

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我看到那一堆数学公式就吐血了。。

有选择地阅读，呵呵，文字也不少呀，你可以纯欣赏结果

扭扭羊 · 发表于 2012-6-25 13:47

bojone 发表于 2012-6-25 13:40

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这不是我的凭空想象，的确有人已经做出来了。
你看
http://news.xinhuanet.com/newscenter/2002-07/17/con ...

嗯。就是适合在科技馆、游乐场使用的。

谢宜康 · 发表于 2012-6-25 14:17

有病

浪淘沙 · 发表于 2012-6-25 16:11

wind0000 发表于 2012-6-25 12:07

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怎么转弯？

这是个大问题。
我们无法保证直线行进。手把一偏，估计车子很容易翻倒的。

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