请教一个平面几何学或平面三角学中最简单、最基本的问题

在一个三角形中已知一条边的长度和两只角的大小，如何求出另外两条边的长度？
通过视差测量一个物体的距离时会用到这种方法，我只会按比例作图，有没有更好的方法？

已知两个角的大小就等于三个角的大小都知道了，又知道一条边的长度，应该可以用简单的三角函数计算得到另两条边的长度。

以上图为例，假设已知AC边长，则sinA=CD/AC，则CD=sinA*AC;同时sinB=CD/BC，BC=CD/sinB=sinA*AC/sinB。

之后可以分别对角A和角B求正切或者余弦，可以分别得到AD和BD的长，这样就得到了AB边的长度。

1# zhangyf1997

正、余弦定理。

206107

以上图为例，假设已知AC边长，则sinA=CD/AC，则CD=sinA*AC;同时sinB=CD/BC，BC=CD/sinB=sinA*AC/sinB。

之后可以分别对角A和角B求正切或者余弦，可以分别得到AD和BD的长，这样就得到了AB边的长度。 ...
phenix 发表于 2009-10-8 14:49

                               
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正解，不过∠ACB不用画成直角的样子吧，会引起别人误会的。

正解，不过∠ACB不用画成直角的样子吧，会引起别人误会的。
wlbx 发表于 2009-10-8 15:05

                               
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图是在网上找的，没注意这个事......

哦，原来是三角函数呀，我懂了。

正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

知道两个角可以算出第三个角，三边的比例。知道一个边。自然就知道剩下的两个边的长度了。

::070821_17.jpg这是高中最简单的三角函数

通过视差测量一个物体的距离时，如果是恒星，那么视差通常会很小，这时三角函数可以简化为乘除运算，只需化成弧度就行了。

若为此边上的2个角，一个结果
若有一角为此边对角，可能有俩结果……

若有一角为此边对角，可能有俩结果……
荡无垠 发表于 2009-10-9 14:51

                               
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想了很久都没想出第二个结果。望高人指点。

想了很久都没想出第二个结果。望高人指点。
eventime 发表于 2009-10-10 12:29

                               
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那就不用想了，请出题者自己给出答案就是了。

一个三角形，知道其中二个角的数据，其实就是知道第三个角的数据了。
也就是说这个三角形的形状已经定下来。

如果再知道其中任一边长，那么这个三角形的大小也定下来了。

绝对不会再出现第二种解的。

以上讨论只适用平面三角。

如果是球面三角，我没仔细考虑更多的解。（球面三角，三角和可以大于180度）

楼主只是初二学生，正弦定理对他来说会不会有些难？我们是初三才学的简单三角函数，正余弦定理是高一下学期的内容了。
先驱者11号 发表于 2009-10-10 15:37

                               
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既然他要做超过自己能力的事，那么不得不请他硬着头皮去自学了。

除了使用现成的正弦定理，其它方法似乎更加难吧。

楼主说的作图法，其实在天体测量时，我觉得几乎没什么用。想想看，就算比较近的月亮，地球的直径相对地月距离，张角才2.03度左右。他要用多大的纸来画图才能保证误差足够小？

如果他想测量火星，地球直径相对地火距离的张角最大时才33角秒，若用作图法，根本无法“量”出地火距离的。

真正在两地进行联测，估计也很难把地球的直径用上。不容易找一个与自己正好处于地球另一面的朋友来联测的。
真正联测时，能在国内找个朋友就不错了吧。那样，二地之间的直线距离（弦长，不是大弧长）有二三千公里就算不错了。远小于地球的直径。这时测得到的张角更加小了。作图法可能更加派不上用场了。

如果楼主暂时不去考虑这些难事，等到高中毕业后再去考虑。或许那些难题，就是小菜一碟了。

1# zhangyf1997 如果你是初2其他办法。
你的做法是初3列题，用余弦定理做的。
初2，你可以再平面上用其他几何方法，比如，做直角三角形法。小学其实就可以做，文革的5年级课本上封面就是2个学生拿着标杠去测量。现在的教育走像了另一个极端。题海出来的学生严重脱离实践了。
带2个标杆，一个量角器去研究吧。

既然他要做超过自己能力的事，那么不得不请他硬着头皮去自学了。

除了使用现成的正弦定理，其它方法似乎更加难吧。

楼主说的作图法，其实在天体测量时，我觉得几乎没什么用。想想看，就算比较近的月亮，地球的直 ...
浪淘沙 发表于 2009-10-10 19:01

                               
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议论得好热烈啊，我想通过这种方法算一算小河对面的亭子有多远，基线50米，角度用三角尺加量角器测量。
像您所描述的天体测量我倒是进行过一次——学着2000多年前的学者埃拉托塞尼测量地球周长

17# zhangyf1997
既然用三角尺量角器，那么就用作图法也不会增加多大误差的。
毕竟量角器本身的精度只有半度。你按比例也可以量出距离了（最终的误差估计不会小于1米的）。

我以为你用经纬仪来测量角度，那个精度至少可达一分，那么你用画图法的误差就太大了。

若为此边上的2个角，一个结果
若有一角为此边对角，可能有俩结果……
荡无垠 发表于 2009-10-9 14:51

                               
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2楼一开始就怕出现这样的问题，专门用了一楼来说明，知道2角等于知道3角。然后才开新楼发证明过程的。

17# zhangyf1997
[像您所描述的天体测量我倒是进行过一次——学着2000多年前的学者埃拉托塞尼测量地球周长]

地球周长，那应该用圆周360度！比如算出差一纬度的距离[看北极星高度]，再乘360就可以了。用三角形不太好。
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[议论得好热烈啊，我想通过这种方法算一算小河对面的亭子有多远，基线50米，角度用三角尺加量角器测量。]
不知道，你们学过数学用表没有？若学过。查表就行。50米横的2点[你的基线横着放]---A，B2点的方向角度差，比如是5度，查它的正弦值。然后用50米除之，可得。
要是基线直着放。那就和课本上那一题一样了。测2点的仰角。解三角形。