阿基米德始创：杠杆原理求抛物线弓形面积

　　本文转自：http://yisha7.info/2010/03/archimedes-parabola-area/
　　我搜索有关抛物线的资料时看到了这篇很精彩的文章，与大家一起分享：
　　近读《阿基米德羊皮书》，发现真是牛得一塌糊涂，书中写道了阿基米德用杠杆原理求抛物线形的面积。
　　

                               
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　　如上图所示，求△ACZ ①的内接抛物线形ABC的面积。
　　证明中用到的条件是对于任一割线MX有  MX:OX=AC:AX
　　这个前提似乎不是显然的，显然要用到CZ作为切线的性质 ②，我想不出不用切线方程如何得到这个前提，阿基米德的方法我是复现不了了，书中也没有说明。
　　即使接受了这个前提，阿基米德的方法依然是出奇的。
　　延长CK至T，使得KT=CK，平移OX至SH，T为SH中点，则MX:SH=MX:OX=AC:AC ③=KC:KN ④=TK:KN,
　　线段MX和SH关于点K满足杠杆原理。注意到MX，SH的重心分别为T，N ⑤，
　　由于MX的任意性，故△ACZ内部每根AZ的平行线与它在抛物线形ABC内部的对应线段（平移至T）关于点K满足杠杆原理，
　　即△ACZ的面积与抛物线形ABC的面积关于K满足杠杆原理，
　　△ACZ的重心在KC的1/3处 ⑥，故抛物线形的重心T到△ACZ的重心的距离之比为3:1,
　　故抛物线形ABC的面积为△ACZ的面积的1/3,或△ABC面积 ⑦的4/3。
　zhangyf1997注：
　　①应该是直角三角形
　　②我以开口朝下的抛物线的方程、x＞0，y=0时抛物线的切线的方程（用导数求得）为两个基本方程，得CX×OX=AX×MO，间接证明此前提成立
　　③这是原文的笔误，应该为AC:AX
　　④这里要用到相似三角形对应边成比例的原理
　　⑤此处系原文笔误，MX的重心为N，SH的重心为T。由AC=2AD以及前提可得EB=BD，可得CK为RtΔACZ的中线，可得MN=NX，可得MX的重心为N
　　⑥我用二重积分求得RtΔACZ的重心的X坐标为AC的1/3，而CK为RtΔACZ的中线，所以两者交点就是RtΔACZ的重心，用代数方法应该也可以求得重心的X坐标
　　⑦△ABC的高为BD，是ED的一半，而根据相似三角形原理，ED是RtΔACZ的高ZA的一半，所以S△ABC=1/4×SRtΔACZ，所以得出下文结论

　　似乎阿基米德这种由线段推广到面积的方法就已经有了积分论的思想了。

你的手绘图不是一般的歪扭

你的手绘图不是一般的歪扭
gohomeman1 发表于 2010-8-17 19:13

                               
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　　这是原文的附图～～～我一开始准备的图在这里哦：
　　

                               
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那些字母不是αβγδ或ΑΒΓΔ？

那些字母不是αβγδ或ΑΒΓΔ？
gohomeman1 发表于 2010-8-17 19:24

                               
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　　不负责任的发言：古希腊时期应该是用希腊字母，英文字母是被后人改成的。

膜拜楼主，初中就能看懂这些东西............

膜拜楼主，初中就能看懂这些东西............
sky4733 发表于 2010-8-17 19:55

                               
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　　您过奖了……