物理定律是否在不同维度的情况下都适用？

其实这个以前都没仔细去想过，这次还是看了《死神永生》想到的。
所谓维度，就是互相独立的时空坐标的数量。当然啦，我们的空间是3维空间+1维时间的，那么在2维空间或者4维空间中，我们认可的物理定律还成立吗？

我以前也没想过，质量到底跟几维空间相关？像光子这样的玻色子，说是可以无限堆叠的，也没有体积之说；但是那些费米子呢？在严格的数学意义上的二维空间，质量这种说法还成立吗？
我说的严格的二维空间，就是说其他维度不存在；而不是像弦理论中所说，其他维度只是收缩到微观世界或者量子空间中去了，在宏观世界已经看不到这些维度。

好象不能，可以去看下“相对论”。先说明，我不懂的。

目前惯性和引力质量的定义并不依赖与维度~
但是基本粒子的话，因为质量是跟Higgs场的真空期待值、规范耦合常数以及Yukawa耦合常数（如果按照QFT的思路的话）有关的，这个表面看起来是有关系的，因为减一个维度的话，对称性群变了，或者说，场方程就变了。但是到底有没有关系，还是要具体看一下的……
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其他的依赖于统计的物理量会有很多变化，会有分数统计等等奇怪的现象。统计是明显跟背景流形有关的，也就是跟时空几何，微分结构和拓扑结构都有关。我想你说的
”严格的二维空间，就是说其他维度不存在；而不是像弦理论中所说，其他维度只是收缩到微观世界或者量子空间中去了，在宏观世界已经看不到这些维度。“
其实可以这样思考：还是在3维的欧氏空间或者3+1的闵氏空间，体系在另一个空间方向上没有自由度。这样的话，跟这个维度不存在是等价的，因为这种体系中没有物理过程可以探测到另一个维度的存在。这种情况最出名的例子是半导体里面的二维电子气啊，无穷无尽的不同的物理……

同样的道理，很多物理过程里面的等效质量是会变化的，因为大部分等效质量都是依赖于统计的。

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如果是说的分形维度的话，这个维度变化带来的影响就更大了……

还有，其实string所做的dimension reduction，在尺度足够大的时候，出于跟我上面说的同样的道理，就是可以看做是这些维度不存在的，因为还是认为物理定律是演生的，足够大尺度上的物理是没办法明显的体现string里面reduce去的那些维度（或者说Calabi-Yau空间）的。

关键问题是，你如何定义的“我们认可的物理定律”。

如果你所说的物理定律是那些诸如牛顿三定律、库仑定律、麦克斯韦方程组、牛顿引力定律什么的，它们在其他维度数的假想宇宙里一般是要变的。或者说，不同的维度数目会导致不同的“常识”。
这是因为，不同维度数目的世界会有明显不同的对称性，而所有物理理论的最基本元素就是对称性。所以，在具有奇怪对称性的世界里，所有的常识都有可能被颠覆。

但是，我们必须有些东西需要被假定永远成立，才能够研究不同寻常的假想世界。（否则我们以什么为基础去讨论那些很可能不存在的世界呢？）
那么，这些假定，比如以微分几何、群论等为基本数学工具的量子规范场论等，就必须是不变的。同时，那些关于观测量的统计假设等量子力学的基本假设，都必须是不变的。

总之，研究的对象可以是千变万化的，研究得到的现象也自然是千变万化的，但研究的数学方法和基本假设是暂时没法变的（除非有新的物理学框架）。

刚刚问了一下，看了下基本粒子质量求解的过程，不依赖于维度。
但是有个问题，二维的时候，真空态的涨落是无穷大，所以二维下来考虑基本粒子质量是没有意义的，很多的物理过程在二维下都有问题。

回复 7# EMPTYMALEI

我在想，像光子这样没有静止质量的，又是玻色子的，可以当做能量的量子化表现，它们也许在二维世界中还能有质量可言；但是像电子、质子这样的，貌似它们有“实体大小”的，我都无法理解二维世界中怎么存在？

好内容，围观学习了。。。。。。

我咋感觉这问题和   如果超光速旅行可以实现的话我们的宇宙会是什么样子   这样的问题都是一样的呢,,,,,,,
在一个前提假设都与我们已知的物理世界相矛盾的框架下我们是没有办法找到稳固的立足点来逻辑的分析问题的,,,,,,
我们已知的物理规律都是通过对我们的宇宙观察抽象得到的,,,你要问他是否能推广到另外的宇宙中,我感觉这就完全变成一个数学问题了,,,,数学上不同维度的空间之间能有多少种投影或嵌入的方法,我们就会得到多少种其他维度的物理学,,,但我们并没有实际观测到单纯的2维或者4维的空间,所以我们也不可能对这无穷多种的物理学进行任何筛选,,,,

回复 10# feng1734

也许吧，我没从这个角度去想过问题。超光速运动，按我们当前的理解，是不可能进行的。当然，我们也没有实际的非3维空间可以实验。

不过，我总认为这2点有所不同吧。另外，我没有筛选的意思啊，纯粹是联想起来的问题。

回复  feng1734

也许吧，我没从这个角度去想过问题。超光速运动，按我们当前的理解，是不可能进行的。当 ...
gohomeman1 发表于 2011-1-4 17:31

                               
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上面那个分析我不大懂,不过能看出来,没弄错的话,基本上就是根据我们已知的物理定律得到一个数学模型,,然后在数学上把他投影到一个维度更低的子空间中,观察物理定律形式以及意义上的变化,,,,,,,
这样的分析所得到的低维空间和其上的物理学其实是可以嵌入到我们真实的空间中的空间和物理学,,,,,,这与你的更高维度不存在的假设是不一致的,,,,
我是这么理解的,,,,,

太费神，漫漫思考思考

回复 8# gohomeman1


   这个……我说的是QFT……对于基本粒子，使用量子力学来思考是不怎么合适的，原因有下面的几点：
1. 量子力学只是给出了物质实体的波动性（因为Schrondinger Equation是个波动方程），并没有体系粒子的粒子性。这一点借助于后面的二次量子化甚至高次量子化来解决。
2. 量子力学不自洽。比如，Bohr和Rosenfeild有一个argue说，如果考虑经典场论，会破坏position-momentum uncertainty relation. 或许想问，为什么非要场论，这个可以很简单说明：因为我们想要一个因果律保证的物理体系。场可以保证体系的定域性、协变性，以及更容易理解的动量守恒。所以我们才想考虑场。
3. 量子力学没有粒子的产生湮灭。而这个是相对论所要求的。

基于以上3条甚至更多的未列出的原因，在考虑基本粒子和基本相互作用的时候，使用量子力学是不太好的。

那么如果可以接受上面的argue，那么我们就可以很自然的过渡到到QFT。然后有一个最重要的事实就必须首先写出来：QFT中的基本粒子和基本粒子系统都是场。我们用Klein-Gordon场描述表标量粒子（自旋为零），用Dirac场描述旋量粒子（spinor，自旋1/2的），用Maxwell方程描写矢量粒子（自旋1的，没有更高自旋的基本粒子）。而且，对于相互作用，我们也用场来描写，这个应该比较容易理解。每一种场都可以写出单粒子态，我们把这个态对应的成为单个粒子。
说了这么多，其实我就想说，讨论基本粒子的大小其实是没有意义的。

在标准模型里面，我们认为所有的基本粒子都没有大小，也就是说所有的基本粒子都是无质量的点粒子。（是的，没看错，不管什么粒子，Boson还是Fermion，都没质量，这个其实原因也很简单，是我们写出场方程和解场方程的时候，对称性的要求如此。现在比较流行的一种说法是：质量是通过Higgs机制产生的。）

不管怎么说，我们可以根据散射截面来定义一个粒子的大小，这个只是反映了粒子在相互作用中的行为特征，不能作为一个严格的粒子大小来理解。之所以这样说，是因为这个散射界面是一个依赖于粒子动量能量等等的量，而不是一个内禀量。

如果看到这里，大概就可以有一个概念上的理解了吧。

其实这些问题都还是标准模型里面的，如果一个人就是不相信标准模型，就是不相信QFT，那这个……诸位看着办吧~

其实string还是比较好理解的。
如果我们考虑string的话，所有的基本粒子都是string的独立振动膜，类似于基音。
事实上，string要比QFT（即量子场论，上面忘记说了，可能有一些不是物理专业的人不太了解）更容易接受，尤其对于不是做QFT这一行的人来说。

我咋感觉这问题和   如果超光速旅行可以实现的话我们的宇宙会是什么样子   这样的问题都是一样的呢,,,,,,,
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feng1734 发表于 2011-1-4 16:56

                               
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其实，说实话，大部分情况下这些思考都没有用。但是！！！！

这样的问题并不是没有物理意义！

可以举这样的例子：
有位牛人写了一篇文章，考虑了四维下的量子霍尔效应。大家可能都觉得这个没有什么意思。但是，他做了一件很重要的事情：dimension reduction！过渡到了三维来。这样他就成了拓扑凝聚态的大牛。

再比如说，我们考虑量子霍尔效应，还是把以前在三维下做的事情拿到二维（严格的说是准二维）下，发现了新的性质。
而且，我不太想提到（怕有人又开始瞎胡闹了）的是，超光速的物理确实有人做过，不过那个太复杂了，想要建立起一丁点的合理的物理，需要引入芬斯勒几何，这个极其复杂……
还有一点：光速其实只是个象征，我们并没有说一定不能超光速，只是我们现在发现的三种场以及其耦合最快的是光速。但是有一定必须明了，那就是，只要还承认因果律存在，就必须引入一个有限的速度。

回复 16# EMPTYMALEI

兄台到底是做宇宙学还是做场论的？

其实，说实话，大部分情况下这些思考都没有用。但是！！！！

这样的问题并不是没有物理意义！

可以举这 ...
EMPTYMALEI 发表于 2011-1-4 22:03

                               
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搜了一下,不知道有没有理解错,,,
把3维空间中经典霍尔效应的电子限制在平面里运动,结果发现了以往不知道的量子化现象,就叫做量子霍尔效应,当然,解释量子霍尔效应的相关理论也是可以解释经典霍尔效应的,,,所以这里的量子霍尔效应其实是3维空间中的理论,只是被以往的实验习惯掩盖了,,,,而后参考这个量子霍尔效应理论的数学形式,有人写出了他在4维空间中的推广,这时这个4维的数学模型已经和原来的量子霍尔效应没有任何实际的物理联系了,这只是一种纯粹数学上的类比,没有任何类似   4维空间中的这个"载流子"在3维空间的投影就是电子   的物理上的说法,,,,而后人们发现这个4维空间中的载流子在3维空间上的投影的行为与光子和引力子很像,,所以,有可能我们的3维空间只是一个4维空间的子空间,,光子与引力子是4维空间中的同一种粒子,,,,,,,,

你是说确实可以建立起包容相对论的允许超光速运动存在的数学模型,,,,,,?  这只是一套单纯的数学上的把戏,,还是说真的有可能会解决一些相对论无法解决的问题呢,,,,?

回复 17# positron

==，这个……场论可是理论物理的必修课……

回复 19# EMPTYMALEI

去年曾见过一个或几个北师做宇宙学或GR的，他们似乎就不学QFT。QFT好像不是理论物理专业国家规定的必修课吧？至少我们就不是放在必须课里的，虽然都得学。