zhangyf1997 发表于 2010-3-13 14:54

第一宇宙速度是这样算出来的吗?

  这个计算方法是我偶然产生了灵感想到的。
  如示意图,那个大圆代表地球,有一枚炮弹以极快的速度从A点贴着地面水平地飞了出去,因为地球是圆的,所以那炮弹要是不受地球引力影响的话就会以直线轨迹,离开地面沿大圆在A点的切线方向(即AC方向)飞出去。但是地球是有引力的,因此根据自由落体位移公式,炮弹发射一秒钟后就会落下4.9米,即BC的长度,但是由于这枚炮弹速度极快,快到即使1秒钟后降落了4.9米仍然与地球中心的距离相等,即仍然紧贴着地面运动,于是炮弹就永远不会坠落回地面,以地球半径为半径的圆形轨迹运动。
  于是我从图中发现,ΔACO是个直角三角形,AC为炮弹运行速度×1秒钟,也就是第一宇宙速度,AO为地球半径6371000米,OC为地球半径加上炮弹1秒钟坠落的距离4.9米。
  根据勾股定理就可以求出:AC=(6371004.92-63710002)^0.5,计算结果是AC≈7902米,也就是第一宇宙速度约为7.9公里/秒,叮铃铃!计算成功!
  我以前看百科介绍的时候那推导过程尽是一大堆向心力、引力公式,比这个几何法复杂多了,我想牛顿是否也是这样算出第一宇宙速度的呢?

wlbx 发表于 2010-3-13 15:05

你这样算法也是可以的,相对于地球的半径来说,4.9米和微分差不多了。

zhangyf1997 发表于 2010-3-13 15:22

哦,忘了提醒大家:“那示意图并非按严格比例大小绘制。”

EMPTYMALEI 发表于 2010-3-13 15:34

这个算法里面有个近似,对地球这样的可以,但是如果对于一个密度比地球大的多的星球,这样算的误差就会变得很大~
近似出现在“AC为炮弹运行速度×1秒钟”这个地方,其实应该是AB这段弧长是速度X1sec,但是因为地球密度还不是很大,它的第一宇宙速度并不是很大,所以AB弧长远小于地球半径AO,这样,AB弧长近似等于AC的长度,所以lz的计算是近似正确的。
虽然这种近似在物理中是及其常用的近似,但是在用任何近似之前都要讨论一下是不是合理,用完之后都一般要给出近似的影响,偏大偏小影响多大~

positron 发表于 2010-3-13 16:35

1# zhangyf1997

我发过详细的推导,包括三个宇宙速度的:
http://www.astronomy.com.cn/bbs/thread-106552-1-1.html

EMPTYMALEI 发表于 2010-3-13 16:50

哎,正电子兄这个没新意啊~还是那些老套的方法~

gohomeman1 发表于 2010-3-13 19:33

支持楼主的想法,近似正是物理、数学中常常采用的手法,而且能够开拓思路。不过,这里确实应该说明一下,近似的合理性。

zhangyf1997 发表于 2010-3-13 20:20

啊,原来速度不是AC的长度而是AB的弧长啊。那我这个算法可就真是近似的了。

zhangyf1997 发表于 2010-3-13 20:27

1# zhangyf1997

我发过详细的推导,包括三个宇宙速度的:
http://www.astronomy.com.cn/bbs/thread-106552-1-1.html
positron 发表于 2010-3-13 16:35 http://www.astronomy.com.cn/bbs/images/common/back.gif版主大人的计算公式很准确,不过我还见过另一个求第一、第二宇宙速度的版本,V1是(gR)^0.5,V2是(2gR)^0.5。

浪淘沙 发表于 2010-3-13 21:20

版主大人的计算公式很准确,不过我还见过另一个求第一、第二宇宙速度的版本,V1是(gR)^0.5,V2是(2gR)^0.5。
zhangyf1997 发表于 2010-3-13 20:27 http://www.astronomy.com.cn/bbs/images/common/back.gif
g是什么?重力加速度?
那么g是如何推导出来的?
总不能用9.8米/秒^2来回答吧?

实际上,推导g时,已经把地球的质量、半径都考虑进去了。且是假设地表附近,g是个常数。
而实际上,g是变化,既随高度而变,也随纬度而变。

大众天文 发表于 2010-3-13 21:23

路过~学习 要好好学数学::070821_09.jpg::

zhangyf1997 发表于 2010-3-13 21:49


g是什么?重力加速度?
那么g是如何推导出来的?
总不能用9.8米/秒^2来回答吧?

实际上,推导g时,已经把地球的质量、半径都考虑进去了。且是假设地表附近,g是个常数。
而实际上,g是变化,既随高度而变,也随纬 ...
浪淘沙 发表于 2010-3-13 21:20 http://www.astronomy.com.cn/bbs/images/common/back.gif  可能是个近似值吧。具体推理过程我当然不知道,但它们的存在却是千真万确的:V1是数学书初一上册一个插画里的,V2是初二上册让我们计算开方时给出的。g的大小确实是与距离的平方成反比的,似乎这里的速度计算都是从地面算起的,并不需要考虑这个。

JoshuaShaw 发表于 2010-3-13 23:06

个人意见:
不知道LZ的年纪和学历。
如果楼主高二以下。恭喜楼主,你的智商不会比牛顿差多少。好好学习吧。
如果LZ高二以上,嗯,想法不错,不过以LZ的年龄,阅历,思考不成熟,要加强自身学习,拒绝向民科靠拢。

bearcat 发表于 2010-3-14 04:57

13# JoshuaShaw

楼主是个很聪明的初中生(现在上高中了吗?),这个推导非常好。

赞!

bearcat 发表于 2010-3-14 05:14

1# zhangyf1997

牛顿当年不是这样做的,因为他发展了强大的数学方法:微积分。

实际上,微积分的基本思想就是借助“自变量的一点点变化”来研究“函数随自变量的变化”。在楼主的计算当中,时间是自变量,速度和位置是函数,那么就已经有了这种思想的雏形:把时间变化一点点(一秒钟),看位置的变化(要让它回到地球表面),就知道了速度。这个方法一般叫做小量分析,在物理竞赛中常用,把它用数学语言严格地表达出来就是微积分。

实际上,楼主可以再进一步,用这个方法证明圆周运动的向心力的公式是正确的。这样,你就不必排斥那些“复杂”的公式了,因为在你证明了它们之后,你就可以心安理得的使用了。你会发现那些公式的简洁和通用。

zhangyf1997 发表于 2010-3-14 12:06

个人意见:
不知道LZ的年纪和学历。
如果楼主高二以下。恭喜楼主,你的智商不会比牛顿差多少。好好学习吧。
如果LZ高二以上,嗯,想法不错,不过以LZ的年龄,阅历,思考不成熟,要加强自身学习,拒绝向民科靠拢。 ...
JoshuaShaw 发表于 2010-3-13 23:06 http://www.astronomy.com.cn/bbs/images/common/back.gif  太高估我了……我只是个初二的学生。还有,我是坚决鄙视MK的哦。

jiangq007 发表于 2010-3-15 01:29

本帖最后由 jiangq007 于 2010-3-15 02:03 编辑

16# zhangyf1997
我想,最初人们应该是这样算出来的,现在课本上的几种解法是它的演化和简化形.[课本上用加速度解是因为它直观]
你找到运动学里最本质的的东西---位移,并用活了它.
位移,速度,加速度,位移是最根本的.
在你的思路上,变位移为角位移,通过3角公式,就可以化为高中的圆周运动方程了.[用半角公式可化为自由落体s=1/2gt^2.切向的角位移---化为法向的角位移带平方.sinx=x就有角速度的平方乘r了.当然还有许多中演化法了.
也就是2步.1.化为角位移,2化圆周运动为自由落体.
如果说在初2阶段的话,当年我是不如你了!他们虽然专业,但是只有你的解法是你自己的.
还有把你的物理量换成微小量,就是个精确解了.到了高中,在物理中就有了公式解,到时候你就可以用上代数这个咚咚.
[实际上,楼主可以再进一步,用这个方法证明圆周运动的向心力的公式是正确的。]历史上,向心力必然是这样推理来得.不过要用到高中的数学.这里也可以不用微分的.不知道牛大人先发明了那个.

zhangyf1997 发表于 2010-3-15 21:55

  在大家的点拨下,我似乎成功地证明了向心力公式的正确性,有点怀疑证明步骤是否如此简单,请各路专家们验证:
  向心力公式是:F=m×V2÷r,我对其中符号的理解是这样的:F是向心力,m是地球质量,V就是第一宇宙速度,r是地球半径。我猛然想起了牛顿第二定律:F=ma,其中“F”、“m”都正好跟向心力公式里的内容对应,于是剩下的“a”——加速度不就是V2÷r吗?于是我怀着好奇的心理用计算器计算着,计算结果出来了,是0.00979……竟然是重力加速度!这简直是完美的公式啊。

jiangq007 发表于 2010-3-15 23:24

本帖最后由 jiangq007 于 2010-3-15 23:35 编辑

17# jiangq007
我回去想了一下,初中数学可以做,用平面几何的园的一个定理,好些是圆的弦和直径正交定律.
--相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等....其中一条是直径一条是过B点的水平弦......
结果就等效半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 .

jiangq007 发表于 2010-3-15 23:32

18# zhangyf1997 我想,你的这样的证明不是熊猫先生想要的.
你没有理解他的本意,他应该是要你从你的一楼出发去证明之.
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