问个奇怪的问题：矩形的面积为什么是长×宽？

由36#的公式可得：S2=d/a×b/c×S1；

上式就是说S2平行四边形的面积是其两边相对等角平行四边形S1两边的值的积

定义S1两臂为1；某角是n·;S1是面积单位；

得S2=d×b；也就是两边之积。

是不是很明显了？

定义S1两臂为1；某角是n·;S1是面积单位；

这是你的定义，未必是欧几里得的定义……
当然，你非要这么定义也未尝不可，不过后面的很多证明都会变得有点麻烦。

到目前为止，我只找到了欧几里得的平行四边形面积比的定理，有了比的关系，就可以规定一个基形，或一个单位，任意图的面积就可以参照基本形求出

而且矩形或正方形的面积度量基于平行四边形的特例：四内角相等的平行四边形，这个是最简单的平行四边形，只用两个量就可描述

但这个基本形不一定只有矩形或正方形，欧几里得好像回避了这个问题，并未特意定义

我找寻的就是这个问题

[ 本帖最后由 银河负熵 于 2008-5-30 10:30 编辑 ]

原帖由 positron 于 2008-5-25 23:15 发表

                               
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可以用微积分的方法证明。

微积分的前提也是划分为许多小矩形。

这个问题其实应该从面积的定义来考虑。什么是面积？
把直线线想象成无穷可数个点，就是为什么面积等于长×宽了。平行四边形为什么不能直接相乘？因为那样你查的点就不对了。

这都是人为规定的啊~`````````````

原帖由 科普剪报网 于 2008-6-10 11:05 发表

                               
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微积分的前提也是划分为许多小矩形。

这个问题其实应该从面积的定义来考虑。什么是面积？
把直线线想象成无穷可数个点，就是为什么面积等于长×宽了。平行四边形为什么不能直接相乘？因为那样你查的点就不对了。 ...

不明白，请详解一下

因为欧几里德空间是均匀空间，由一维衍生为二维的过程必须是没有任何偏颇的，这一点只有在正交方向才能保证。
否则面积的定义会出现一个找不到任何理由的人为参数。

你太神奇了，为几千年之前的人找这种理由。

这个问题的答案很简单，就是说，假定你不知道平面几何，你会怎么定义面积？这就是模拟古人。如果你也选择长乘以宽，那么古人也会做这种选择。
当然少数人可能会选择圆，或者其他什么的。什么都有可能嘛！不过最终是少数服从多数。
如果以前定好了，现在的观点是什么，那已经没有用了，就好比键盘就是这样子，即使不合理现在的人也不会改了。

10进制的出现也许比面积的定义更偶然。如果今天星球上的人都是12个手指头的话，今天我们就在用12进制，也没什么好解释的。

为什么一维空间的大小（长度）是两点间的距离？而不是两点间距离的一半、三分之一、黄金分割？
因为欧氏空间结构决定了一维空间大小只由两个端点决定，没有任何理由引入第三个点。

二维空间是由两个正交的一维空间决定的，就好比一维空间是由两个端点决定的一样简洁明了。欧氏空间结构决定了这种定义。

[ 本帖最后由 creeperr 于 2008-6-16 15:21 编辑 ]

原帖由 creeperr 于 2008-6-16 15:19 发表

                               
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为什么一维空间的大小（长度）是两点间的距离？而不是两点间距离的一半、三分之一、黄金分割？
因为欧氏空间结构决定了一维空间大小只由两个端点决定，没有任何理由引入第三个点。

二维空间是由两个正交的一维空间决定的，就好 ...

楼上说的有道理，可就是原本中没找到这样的定义，所以倍感困惑

您弄错了。
逻辑弄反了。
依我对抽象代数的学习心得，
貌似，先定义了度量，而这种度量让欧氏空间中的一维空间大小只由两个端点决定，所以才没有引入第三个点。不过度量是随意的，我们也可以使用3个点来定义这种度量。

数学和现实无关。近年还有一派学者定义了新的乘法，在其中，比如2*2可以等于4以外的任何数。哥德尔不完全定理更深刻的指出了数学和现实无关的特性，任何东西，你总可以是对的也可以是错的，就看你怎么定义公理了。所以我们必须建立一些公理。即便欧式空间也一样，我们公理了“两点之间的直线段的长度为距离”。说“欧氏空间结构决定了这种定义。”是妄想消灭公理的徒劳。

当然，我们没有理由不接受“两点之间的直线段的长度为距离”的公理，原因不在于数学，而在于她非常符合现实世界。这就如同我们接受欧式几何还是其他几何，完全看我们空间是否弯曲一样，由客观决定，与数学无关。

建议各位再看看哥德尔不完全定理。

您在原本中自然看不到。您的老师creeperr讲的是抽象代数，您应该到抽象代数中寻找这种答案。可惜您的老师creeperr搞错了。她不知道在一个空间中，度量是作为公理出现的。既然是公理，就没有数学上论证为何选择度量的必要了，“一种空间结构决定了一种定义。”自然就是弄错了，应该是“一种定义决定了一种空间结构”，因为我们有任意种定义，所以也就有任意种空间结构了。

因为那是有角度之分的，两条边之间的夹角。。。

原帖由 hjfgcx 于 2008-6-17 10:29 发表

                               
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您在原本中自然看不到。您的老师creeperr讲的是抽象代数，您应该到抽象代数中寻找这种答案。可惜您的老师creeperr搞错了。她不知道在一个空间中，度量是作为公理出现的。既然是公理，就没有数学上论证为何选择度量的必要了 ...

汗一下，我不是老师，更不是“她”。

我想，“空间结构”与“度量定义”间应是鸡与蛋的关系，这里二者都是纯粹抽象概念。只要两者自洽，无所谓因果。
我在这里指出“欧式空间结构决定了这种定义”完全是建立在楼主已经先行确立了“欧式空间结构”这个概念的基础上，在这一点上，他选择的是公理“欧式空间”，但他忽略了这个公理的重要信息，即均匀性在逻辑推演中的所处于的“因”的位置。注意这种“均匀性”是可以脱离“绝对空间大小”而独立存在的（它的建立只借助于空间大小的相对性），这就是为什么我认为“空间结构”与“度量定义”可以互为因果。

面对一个由诸多纯粹抽象概念构成的客体体系，如果有“绝对公理”，那就不该是其中任何一个概念，而仅仅是它们的自洽。

回到这个问题上，您也提到“就看你怎么定义公理了”这个观点，我想一方面是指量的定义，另一方面也完全可以是切入点的定夺。楼主在这里无视约俗选择了另外一个切入点，又未能充分了解这个切入点的自由度，于是有了疑惑。

原帖由 creeperr 于 2008-6-17 13:33 发表

                               
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我想，...。

您的回答很精妙，非常赞同，我们想到一块去了。长乘以宽等于面积，作为数学公理（定义），楼主想用数学定理（而不是生活经验）去解释数学公理，不是不可以，但就像您说的，人家用鸡来解释了蛋，她非要用蛋来解释鸡，我看她“科学精神”是过了头，回过头来看，我们都对楼主太认真负责了。给她讲了这么大一通。也好，免得她太迷信书本。

“但这个基本形不一定只有矩形或正方形，欧几里得好像回避了这个问题，并未特意定义”，这是楼主原话。老欧当然要回避，一定要特意定义，那我看首先要怀疑的不是这个而是直线的定义，谁给过直线的定义？没有！想让科学割断生活经验，是陷入了科学迷信了，当年科学迷信的老祖宗希尔伯特在集合论的基础上，花了100多页论证1是什么东西，又花了100多页论证1+1为何等于2，结果，哥德尔不完全定理出来以后，完全成了一堆废纸。

原帖由 银河负熵 于 2008-6-11 18:35 发表

                               
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信口胡诌

她的几何原本，好多东西也就是信口胡诌，您还花毕生的精力去揣摩，以为有什么大秘密？这个和中国人一辈子皓首穷经于4书中，我看也差不多了。

没有论证实数和直线上的点一一对应，那么，整个几何原本，就只能是证了白证，满纸荒唐言而已。可是这一点，看过《菲赫金的微积分原理》的都知道，实数和直线上点的对应是只有在19世纪才给于证明了的。

不过，说白了，戴的金实数分割理论，你也可以认为是信口胡诌，理论是为了适应现实的，戴的金凑理论的痕迹，太明显了。

论坛真是藏龙卧虎，感谢楼上各位的指教 ，我想有必要把这个问题再深入的分析一下，我数学学的不精，只好先从最最基础的地方阐述，请各位数学高手进一步指明：


欧式几何中面积被认为是占据的平面的大小
线长被认为是占据线的大小
体积认为是占据三维空间的大小

呵呵，个人认为当空间是平直空间条件下，这是绝对成立的。



先贴一个欧式一维几何与数的度量关系





当然我漏掉了无理数分割和扩倍，不过原理相同，不另画图说明




面积比定理





相似图形可以无限分为相似三角形，求和比值仍然不变，即相似图形的面积比是边长比的平方，比较麻烦偷个懒，这里不证明。


不相似图形面积比：











这里的l 是变换为相似后的值



可以看到任何图形可以分割为三角形（最基本图形），在分割后进行组合仍然保持一定性质只有平行四边形，扩倍后仍为∥四边形。


看来没有理由不选择∥四边形，因为实在方便，下面使用等角的平行四边形做比较（这样可以直接平贴）




这里并无矩形出现的必然性，内角60·，30·，n·都有可以方便的做面积比较。
前提是两图形至少有一个内角相等。

定义一个两臂相等长为1个单位的平行四边形为基本形，其它一内角相等的平行四边形面积是  长×宽




当然基本形最简单的情况定义会最方便。当平行四边形相邻两内角相等，且两边相等时是最为简单的平行四

边形基本形，它就是正方形，因为一个边长1个单位描述它就够了！


这时，其它任何矩形面积是  长×宽


这样再通过积分方法就可以求出任何图形的面积（基础是直角坐标系，也是为了方便省事， ）





另外告诉大家一个好消息，wmap卫星在02年已经证实，我们的宇宙空间是平直的，所以作为实用，

欧式几何在绝大部分情形是正确的（除了量子空间和大尺度引力弯曲）

所以使用微积分的同志大可放心，哈哈













[ 本帖最后由 银河负熵 于 2008-6-18 00:59 编辑 ]

在欧几里德那里，数被定义为两几何量之比。
但是显然不是。请问，复数是什么？超复数是什么？4元数，8元数，是什么？
从现代观点来看，根本就是漏洞百出。
如果不知道数是什么，欧几里德，以及我们，在那里奢谈面积，我看也不严谨。楼主不知道是做什么的。要真正严谨，钻研一辈子数学都不可能完成，不过好歹学数学比自己钻研来得快，还是先别想了，赶紧学基础数学吧。
不过，要是作为历史考据，那可就不是我所能知道了。