一个高中物理电磁感应的缪题！！

bojone · 发表于 2011-1-9 11:00

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本帖最后由 bojone 于 2011-1-9 11:03 编辑

相信高二理科的学生都会做过这样的一道题目：

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水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，磁感应强度为B，有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，求ab的最大速度。

对于高二学生来说，这样的题目是很好解决的。只要列出

$\color{blue}\displaystyle\blue{E}={B}{L}{v},{I}={\frac{{{E}}}{{{R}}}},{f}_{{1}}={B}{I}{L}$

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，并根据当匀速运动时速度最大，由受力平衡有

$\color{blue}\displaystyle\blue{f}_{{1}}={F}$

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，解得
（E：感应电动势；I：感应电流；f1：安培力）

$\color{blue}\displaystyle\blue{v}={\frac{{{F}{R}}}{{{{B}}^{{2}}{{L}}^{{2}}}}}$

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看似非常合理，可是BoJone在进一步分析这个问题时，却发现了很奇怪的现象：它根本不可能达到匀速运动状态！
我们从高等数学角度分析一下这个问题。设ab质量为m，其受力是

$\color{blue}\displaystyle\blue{F}-{f}_{{1}}={F}-{B}{I}{L}={F}-{\frac{{{{B}}^{{2}}{{L}}^{{2}}{v}}}{{{R}}}}$

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，有牛顿第二定律得到

$\color{blue}\displaystyle\blue{m}{a}={F}-{\frac{{{{B}}^{{2}}{{L}}^{{2}}{v}}}{{{R}}}}$

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，记

$\color{blue}\displaystyle\blue{p}={\frac{{{F}}}{{{m}}}},{q}={\frac{{{{B}}^{{2}}{{L}}^{{2}}}}{{{m}{R}}}}$

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，得到

$\color{blue}\displaystyle\blue{\ddot{{{s}}}}={p}-{q}{\dot{{{s}}}}$

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这是一个二阶微分方程，积分一次就得到

$\color{blue}\displaystyle\blue{\dot{{{s}}}}={p}{t}-{q}{s}+{C}_{{1}}$

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，并且开始时候位移和速度都为0，有

$\color{blue}\displaystyle\blue{C}_{{1}}={0}$

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解方程

$\color{blue}\displaystyle\blue{\dot{{{s}}}}={p}{t}-{q}{s}$

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得：

$\color{blue}\displaystyle\blue{s}={C}_{{2}}{{e}}^{{-{q}{t}}}+{\frac{{{p}}}{{{q}}}}{t}-{\frac{{{p}}}{{{{q}}^{{2}}}}}$

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同样根据开始时候位移为0得到

$\color{blue}\displaystyle\blue{C}_{{2}}={\frac{{{p}}}{{{{q}}^{{2}}}}}$

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，于是就有

$\color{blue}\displaystyle\blue{v}={\dot{{{s}}}}={\frac{{{p}}}{{{q}}}}{\left({1}-{{e}}^{{-{q}{t}}}\right)}$

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显然，最大速度为

$\color{blue}\displaystyle\blue{V}_{{\max}}={\frac{{{p}}}{{{q}}}}={\frac{{{F}{R}}}{{{{B}}^{{2}}{{L}}^{{2}}}}}$

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，结果和高中的经典做法一样，可是，这个结果的取值，需要

$\color{blue}\displaystyle\blue{t}\to\infty$

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。换句话说，根本就达不到这个状态！
思考
显然，这个例子说明了教材的命题者并没有经过进一步的思考，草率地出了这一道题目。BoJone不禁提出一个疑问：对于一个中国高中生来说，进行上述分析的确过于苛刻，但是对于一个教材命题者来说，上述过程显然是可以轻而易举地完成的（受力分析，解答二阶线性微分方程），但为什么这一道“谬题”一出再出？难道功利性足以掩盖科学的严谨性？还是高中物理不需要严谨？还是欺负高中生不懂数学分析而随便“蒙混过关”？
另一方面，这也告诉我们，不能盲目迷信权威。当我们拥有了更充足的科学知识时，不妨回头看看，对我们曾经“解决”过的问题进行再次分析，或许会有意外的惊喜！

midnk · 发表于 2011-1-9 11:12

不要用大学知识解决高中问题,这样问题是永远解决不了的

gohomeman1 · 发表于 2011-1-9 11:36

顶楼主的钻研精神，貌似如此深入钻研的精神，我现在已经很少了。

高中时代，曾经以驳倒物理、数学、化学等老师为荣（记忆中有好多次），而当年的老师也鼓励我们这么做。

现在年齿已长，既使知道师、长错了，也不会在大庭广众之下这么做了。

bearcat · 发表于 2011-1-9 11:39

对于做题的中学生来说，那个“最大速度”的含义就是一个极限而已，不必深究。

你的分析没错，看得出你对数学的感觉非常好，但对物理基本没啥感觉。

初中物理第一课讲道：任何物理量都包含误差。这意味着，在物理学和数学里，对“精确”的定义不同。
毕竟，物理学是用来解决现实问题的。“无法观测的就不是物理的”。

指数衰减，在物理学里，是个非常急速的衰减，在常数时间里就可以衰减到无可测量的地步。所以，这个小量可以安全的忽略。

对于高中生来说，我记得竞赛大纲里还有“小量分析”这个知识点，那里面有很多非常“物理”的思想，而不是“数学”的思想。

mljsuo · 发表于 2011-1-9 11:43

哲学上所谓的“否定之否定”定律。
貌似小学一年级时数学课老师问：“最小的数是多少？”我们异口同声：“零……”
上了初中才知道还有负数，显然那时的答案是错的。

bearcat · 发表于 2011-1-9 11:52

本帖最后由 bearcat 于 2011-1-9 11:56 编辑

物理学是把客观世界抽象为数学模型并进行研究的学科。
在这个“抽象”的过程中，一定损失了一些东西。但只要那些东西不可观测（即没有物理意义），就可以（甚至应该）忽略掉。
就像你在做抛体运动的题目，明明方程解出来有两个根，你必须要扔掉一个，否则就会被扣分。
同样的，那个指数衰减的项，如果不扔掉，在题目所暗示的精度意义上，也是错误的。

补充一下那个“暗示”：这个题目中的“光滑”假设造成的偏差远大于那个指数衰减项，既然这样假设了，就意味着观测的精度不足以看到这样的偏差。所以指数衰减造成的影响必须忽略，否则就是丢了西瓜捡芝麻，反而是错的。

愚石 · 发表于 2011-1-9 12:36

其实，这道题的“缺省条件”是“忽略惯性的影响”。这在很多物理题中是合适的，算不上谬题。
这种省略条件的情况是很多的，经常省略“不计空气阻力”“不计摩擦力”等类似条件。
原题中没有提及滑动体的质量，就意味着忽略惯性的影响。而你后面加入了质量m，意味着惯性不可忽视，这是不一样的两道题，所以结论不同。很正常。

愚石 · 发表于 2011-1-9 12:44

如果我再加上一项空气阻力的影响，还能证明楼主的计算结果仍然是“不正确的”。这样追究下去下去，就没办法研究物理问题了。

wlbx · 发表于 2011-1-9 13:02

　　学不学物理不重要，重要的是学会分析问题的方法。我们的学习不是为了把问题复杂化，而是把复杂的问题分开来学习，进而得到规律。大量的规律综合起来才能得到现实的、实用的结论。
　　通常有一种方法叫控制变量法，就是这一原理的最简单运用。如果一开始我们就考虑太多的变量，结果将是学生们学不到任何知识。

bearcat · 发表于 2011-1-9 13:06

回复 7# 愚石

没有提到质量并非代表可以忽略质量，因为实际问题极少有可以忽略动体质量的情形。
如果这个“忽略”意味着质量可以作为零处理的话，那就没法处理了：零在分母上。

bojone · 发表于 2011-1-9 13:40

本帖最后由 bojone 于 2011-1-9 13:46 编辑

回复 4# bearcat

指数衰减，在物理学里，是个非常急速的衰减，在常数时间里就可以衰减到无可测量的地步。所以，这个小量可以安全的忽略。

同样的，那个指数衰减的项，如果不扔掉，在题目所暗示的精度意义上，也是错误的。

指数衰减项只有在相当长的一段时间内可以忽略，在短时间内显然不可以忽略的

你的分析没错，看得出你对数学的感觉非常好，但对物理基本没啥感觉。
......
那里面有很多非常“物理”的思想，而不是“数学”的思想。

事实上，我在和其他同学讨论的时候，一直都很强调数学在物理应用的实在性，所以本贴的提出有一定程度的数学分析倾向，但是并非缺乏“物理性”。

从做题的角度讲，这个问题早已经把很多东西理想化了：摩擦力为0，理想质点等。既然这是一个理想问题，就不必深究现实效应，只要考虑它要求我考虑的情况即可。但是纵使再如此理想的情况下，还是出现了不可能的情况，个人感觉，这是出题者的不应该。

从实际物理的角度讲，物体运动要考虑许许多多的因素，在计算能力允许的情况下，我们可以把尽可能多的因素考虑进去。但是，这是另外一个话题，考虑的是不理想的状态，与题目中一开始旧假设的理想作态不同。实际中有很多因素让它减速甚至停止运动，但是决不是题目所示的电磁因素。而题目中显然有点“蒙骗”学生的感觉，他不是等价于告诉学生：在有限的时间内，凭借安培力可以达到平衡...当然，在有限的精度里，当t达到一定程度时，v的误差可以忽略，这是显然的。

hekp · 发表于 2011-1-9 13:42

现在普遍功利心太强了~~~

ysan147 · 发表于 2011-1-9 13:48

基本上就是一个定性分析，高中生没必要都搞懂这个，知识都是渐进的，我以前也驳倒过老师，可是我当时事后就明白，老师不想跟我辩，因为给我说了我也不会明白。我现在家教带一个小学三年级的，有些东西我都很为难，三年级的水平，那个知识点就是对的，大学的，那个知识点就是错的，其实就是知识点少了一个限定情况。

feng1734 · 发表于 2011-1-9 14:03

这个短时间的瞬态过程一般在直流电路的分析中是被无视掉的,,,,但在交流电路中确实是非常重要的,因为交流电路实际上没有稳定的状态, 瞬态贯穿始终,,,,,,
另外交流电路的分析中会引入复数表示----也就是lz非常喜欢的矢量------来简化运算的,,,,,,,,

bearcat · 发表于 2011-1-9 14:23

本帖最后由 bearcat 于 2011-1-9 14:24 编辑

回复 bearcat
指数衰减项只有在相当长的一段时间内可以忽略，在短时间内显然不可以忽略的
bojone 发表于 2011-1-9 13:40

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题目要求的是“最大速度”，在短时间内的速度都不是最大速度。
所以，在短时间内不必忽略，在长时间近似下应该忽略。

事实上，我在和其他同学讨论的时候，一直都很强调数学在物理应用的实在性，所以本贴的提出有一定程度的数学分析倾向，但是并非缺乏“物理性”。

如果基于这个倾向来讨论的话，那是另外一个问题。
仅就一道“物理应用题”来说，是没有问题的。

从做题的角度讲，这个问题早已经把很多东西理想化了：摩擦力为0，理想质点等。既然这是一个理想问题，就不必深究现实效应，只要考虑它要求我考虑的情况即可。但是纵使再如此理想的情况下，还是出现了不可能的情况，个人感觉，这是出题者的不应该。

从实际物理的角度讲，物体运动要考虑许许多多的因素，在计算能力允许的情况下，我们可以把尽可能多的因素考虑进去。但是，这是另外一个话题，考虑的是不理想的状态，与题目中一开始旧假设的理想作态不同。实际中有很多因素让它减速甚至停止运动，但是决不是题目所示的电磁因素。而题目中显然有点“蒙骗”学生的感觉，他不是等价于告诉学生：在有限的时间内，凭借安培力可以达到平衡...当然，在有限的精度里，当t达到一定程度时，v的误差可以忽略，这是显然的。

不知道你是否仔细看我前面的回复了，我觉得我把这个问题说清楚了啊。

“理想化”（或叫抽象）是有一个程度的，这个程度由出题人（或实际情况）规定。超出这个程度的影响，必须考虑；小于这个程度的影响，不应该考虑。
即使计算能力允许，也不应该什么都考虑，并不是越“精确”越好，有时候“精确”反而是错误。
举个例子：一个正方形，用刻度尺量出它的边长是1.00cm，那么如果测量对角线会得到什么结果？正确的答案是1.41cm，错误的答案是\sqrt(2)cm、1.4cm、1.4142……cm等。
这就是数学和物理的区别。

bojone · 发表于 2011-1-9 14:34

回复 15# bearcat

OK,I have seen.
Thanks !
^_^

bearcat · 发表于 2011-1-9 14:37

我在6楼给了一个定义，虽然不权威，但我觉得能说明白事情：

物理学是把客观世界抽象为数学模型并进行研究的学科。

也就是说，物理要做的事情分两部分：1、抽象；2、数学。
如果一道题号称是物理题，那么它要考察的是两者皆有，而不是（因题目的限定而）仅有数学的部分。
它要考察你是否明白题目的理想化条件，而不是让你把这个条件拿来就用——虽然老师往往这么告诉学生。
题目的理想化条件会告诉你很多信息，包括是应该如何对待另外还没有被明确理想化的隐藏条件或中间结果。
我6楼所说的“暗示”，就是这个意思。

bearcat · 发表于 2011-1-9 14:39

回复 16# bojone

(这不是表情贴)

feng1734 · 发表于 2011-1-9 14:42

本帖最后由 feng1734 于 2011-1-9 14:43 编辑

我在6楼给了一个定义，虽然不权威，但我觉得能说明白事情：

也就是说，物理要做的事情分两部分：1、抽象 ...
bearcat 发表于 2011-1-9 14:37

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我觉得物理学是把抽象的数学与可观测量相联系的学科,,,,,,
物理学所要做的工作就是,,测量许多许多量,然后寻找一个合适的数学模型把他们对应起来,,,,

愚石 · 发表于 2011-1-9 15:26

本帖最后由愚石于 2011-1-9 15:38 编辑

回复愚石

没有提到质量并非代表可以忽略质量，因为实际问题极少有可以忽略动体质量的情形。
如果这个“忽略”意味着质量可以作为零处理的话，那就没法处理了：零在分母上。
bearcat 发表于 2011-1-9 13:06

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在研究电磁问题时，经常可以忽略导体的质量，除非你是要求解一个过渡过程问题不是求解一个稳定状态的参数问题。
在这个问题中，忽略质量的结果是楼主的中间变量q趋于无穷大，而衰减指数-qt趋于无穷小（因为是负数），滑动体达到最大速度的时间趋于无穷小。因为该题需要求的是速度的最大值，而这个最大值与m根本无关。m只影响过度的快慢，而不影响最大值的大小，所以，忽略质量的影响才是明智的。出题老师应该是知道这种关系的，所以他不需要提及质量。

计算中，虽然m曾经出现在分母上，但是当m趋向于0的时候，衰减项趋于零，而不是无穷大。这才是我们可以忽视m原因。

求解稳定状态与求解过渡过程，有很大的不同，影响过度的参数（如本题中的m），不一定影响到最后的稳定状态。因此才有了一些简便算法，而该题的出题老师正是要让学生掌握这种简便算法。

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