思维的体操——奇妙的曲面

这两种双曲面，其一个特殊情形就是圆锥面。

圆锥曲面很实用，这是另一个例子。喇叭什么的，看上去就在这样东东哦。

想知道绘图软件是什么？

双曲面是典型的负曲率曲面，这是另一个典型——双曲抛物面

从这张图可以看到，在双曲面（马鞍面）上，仍旧存在标准的直线（与球面上的经线完全不同，它们是无限延伸的，而且本身完全符合欧氏几何的直线定义）。

佩服说得真形象简单但深刻

我们再看2张双曲面的图，这些图的样子也许大家更常见到。

说了这么多，大家一定奇怪我怎么没有定义过曲率到底是什么？其实不是我不想说，而是严格从数学上去定义，我都怀疑我能否说清楚这个曲率。
但是，大家可以简单的理解，它就表示了曲面的不平坦度。平面的曲率当然=0，曲率为正的曲面上，一个三角形的内角和大于180°（比如球面及其变形）；而双曲面上，内角和小于180°，所以属于负曲率曲面。
这里要注意，在球面上的“直线”与我们平面的直线是不相同的。另外，椭球抛物面的曲率是大于0的。

附图是双曲面的形成gif，应该能够加深大家对双曲面的了解。双曲面虽然常见，但离我们日常生活有点远。而椭圆抛物面，大家见得太多了。

好了，今天先说到这里，请大家准备剪刀、胶水和纸带，我们明天将去看看著名的“莫比乌斯”带——Mobius Strip

怎么感觉有的像虫洞啊"

你最好扣个体积为0表面积无穷大的海绵

0，1 / 1，∞  之间的实数数量都和实数集一样大,这个数量大于可数集,我记得数学上用一个读做阿列夫的符号表示，具体忘记了~希望没记错

以前读过一本《数学：新的黄金时代》，我觉得我们国家就缺少这么少的科普书籍～里面关于拓扑学、群论、分形几何、集合等等都涉及到而且说的很有趣，从一个个世界级难题的解决来观察数学的发展，在这里向大家推荐一下。

31# shomo


是这样的

引我们的高数老师经常说的一句话：数学是非常美妙的东西，是一种艺术。

请问4维空间体现在什么地方?

楼上不要急，今天就会有4维空间的内容了。我们先看这个非常普通的圆环，一张纸形成的圆环。
很显然，这个圆环有2条边——上边与下边，有2个面——红面和绿面。很显然，在不离开环面的情形下，如果不越过上下两条边，是无法从一面到另一面的。

现在，我们把这个剪开，或者直接拿条纸带，把其中一头转180°再粘接起来，我们就得到了著名的“莫比乌斯”带。

其实，我们还可以转个360°、540°、720°，获得不同的环。这些环的性质也很特殊，大家在看了后面的段落后可以自己去研究。我很小的时候就做过许多这样的环，现在倒是不太动手了。
这是转360°的环


转了540°的环


转了720°的环

Möbius 带的一个明显的特点就是：它只有一条边、一个面，就是说，简单的操作以后，原先不通的两条边、两个面联通在一起了，蚂蚁无需离开曲面就能走遍整个曲面。