思维的体操——奇妙的曲面

在拓扑学中，这些边、面的具体形状不是主要的特性，但它们是否连通、如何连通是个很重要的概念。

大家还可以试验一下，把莫比乌斯带沿中线剪开，将是什么结果呢？

结果是什么我就不说了，眼光好的看图就明白了；否则自己动手实验一下，很有益的。

我们已经看过了一个二维纸带的奇特变化，由于我们是在三维空间的，天然的超然地位就使我们能够简单理解这个特点。下面，我们将看看如果这样的变化发生在三维的实体上，将会如何。

这是一个圆柱体，中间是穿孔的。很显然，它也有2条边、两个面，或者说，与圆环差不多，但我们的变换方向将不同。

让我们把圆柱体沿着径向延伸并扭曲回来，就像个尾巴一样

接着，我们要做一步很特别的操作。假如我们只是简单的把它盘回来，那不过是个圆环。


虽然它是无边的，不过还是有里外两个面，而且，这两个面现在就算在三维空间中，如果不在环上钻个孔，显然里外两面永远无法连通，比前面的普通纸带还不如（它们可以越过边而相通）。

是的！我们就是要钻孔进入自己的身体……

然后我们还要像前面扭曲带子一样，把里面翻到外面来……

最后得到的东西就是这个怪怪的东东——克莱因瓶！

这个瓶由德国数学家Felix Christian Klein首先提出的，以他的名字命名。我们注意到它的一个极为特殊的特性：
它不但无边，而且它的面是里外相通的！它没有普通瓶的瓶口（瓶边）。
其实按wikipedia的说法，原文应该是“Fläche”，它是面的意思，而且从数学来说，这确实是一个很特殊的面，尤其在100多年前提出时。不过，虽然误写为“Flasche”（瓶），这个词同样非常合适。下图是一个玻璃吹制的实例。

不过，我们仔细的看这个瓶，会发现它有个问题：在某些区域中，瓶发生了重叠，这与莫比乌斯带完全不重叠可不相同。

事实上，这是因为Klein Bottle是个四维的物体，我们把它硬挤入了三维空间，自然就只能如此了。

怎么来理解这个问题呢？我们先看看这个“扭结”。

上图貌似一条线断成了三截？我们都知道，这不过是一根扭着的线在二维平面的投影结果而已，事实上在三维空间中，这条线完全是正常的。


类似的图形，曾经是香港亚洲电视（ATV）的logo。

同样的，克莱因瓶的重叠部分，其实是通过我们看不见的第4维空间（注意，不是时间）来实现的，它们并不重叠。

数学上的四维空间，我们可以用（w，x，y，z）来表示，与三维的（x，y，z）比，第4维的w轴与x、y、z三个轴都垂直。这点貌似很难理解是吧？要画图出来是不可能了，就像二维的图总是不能与真实的三维物体等价一样。但是，我们不是都透过二维投影图来表示三维物体的吗？现在的三维软件，除了那些借助红蓝眼镜和高速显示器显示的“真”3D显示外，绝大部分不都是通过二维来显示三维吗？我们觉得它们的立体效果很好啊！

所以，我们也可通过这种手段间接了解4维空间。

这是一个四维的超立方体在三维空间的投影之一。
注意，与立方体的二维投影不同，它不止一个投影。

立方体有8个顶点，12条边，6个面。而四维的超立方体有16个顶点，32条棱，24个面，8个体。点、棱对应一维，面对应二维，体对应三维。
这是超立方体的顶点投影，表明所有的顶点距离相同。

这是超立方体的面投影

超立方体的立体投影之一。

不错的图, 还有吗?