思维的体操——奇妙的曲面

这个投影表明，超立方体是两个立方体连接起来的。

今天以这个超立方体的投影动画结束，我们明天继续。

大家可以好好回味一个这个动画。

我没学过这些  不过看起来很生硬  图像描述的都是一节一节的    这些是什么  我们科学家现在研究的怪东西吗  我觉得那个 纸圈圈  剪开 又转一圈连起来  这个动作有点截断   就像  拿冰水浇进油锅的感觉   为什么非要那样呢

62 楼的东西不是和16楼的一样吗   只不过一个是没有棱角的  一个有   干嘛搞那么复杂啊   这样的话无数个棱角都可以造出来啊

结果是什么我就不说了，眼光好的看图就明白了；否则自己动手实验一下，很有益的。
gohomeman1 发表于 2009-9-24 20:53

                               
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然后再沿中线裁开一次，会有更令人惊喜的结果！！

我咋感觉在上高等数学的课程呢？

我没学过这些  不过看起来很生硬  图像描述的都是一节一节的    这些是什么  我们科学家现在研究的怪东西吗  我觉得那个 纸圈圈  剪开 又转一圈连起来  这个动作有点截断   就像  拿冰水浇进油锅的感觉   为什么非要 ...
夏歌长弓 发表于 2009-9-24 23:49

                               
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那可不是怪东西。但数学并不适合每个人，科学家搞的许多东西还要怪得多。你不喜欢完全没关系的，是否知道这些对我们日常生活毫无影响。

62楼的东西如果没有一定的数学基础，肯定看不懂的，它与16楼的可以说几乎完全不一样。我已经尽量简化的说了，其实数学中许多东西我自己完全看不懂，现在的科学知识太多了，每个人都知道一点点而已。

我咋感觉在上高等数学的课程呢？
星之芒果 发表于 2009-9-25 00:37

                               
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确实需要高等数学的一些知识，但我尽量避免这样做。所以我把所有的方程式都省略了，其中某些表述事实上是不准确的，甚至严格追究可能是错误的。用图说话比用公式说话，总容易理解吧。

很小的时候就知道莫比乌斯环，很奇妙。
不过那个克莱因瓶还是第一次知道，图片很形象，尤其最后那个四维的动画，
虽然还是不能理解四维空间。
记得高数老师说过，因为我们在三维空间里，所以比较容易三维以下维度的图像。
期待后续。

貌似第2部分比第1部分难多了吧。
我们身处三维空间，要理解四维空间是很有难度。如果只是从函数角度看，区别并不大，不过是多了一个项，问题是函数这东西很枯燥不是？
其实如同平面上的那些公式可以外推到立体一样，我们还可以继续外推到n维空间去。比如四维空间的距离公式与三维空间是一样的形式，不过根号里面是四项平方和罢了。
只是这些空间，要画出来实在不可能；要有实例，一时也很难找到。但是，我们可以想象有多个进程的系统，如果这些系统互相无关，就可以把每个系统进程看做1维空间。又比如数据库，一个人的姓名、性别、年龄、收入、住所、电话等等的项，它们都是基本无关的，我们也可各自抽象为一维空间来看。再比如，一个工业过程的主要控制参数有4个，这时也可考虑为一个四维空间。
纯数学的许多研究，看上去实在不知道在做什么，但未来会有用。我尽量避免使用函数什么的来说这些，否则这文章只怕没几个人要看了。

关于62楼的动画，我们这么理解吧：这时超立方体在旋转中，投影到立体世界的投影的变化；如同一个立方体旋转时，它的影子会变化一样。
gif动画中的超立方体只朝一个方向旋转。

有了前2天的积累，我们今天将看看许多奇异的曲面。

先看这个交叉帽（Cross-cap）曲面

我们换个角度看看，这个曲面就看得懂了。

为什么这些曲面与我们平时常见的曲面不同呢？这是因为它们的描述方程式有明显不同。一般的立体曲面，我们的参数都是固定常数，比如前面看过的单叶双曲面的方程式是：
，其中的a，b，c都是常数。

大家可以发现，这个方程式与椭球面方程式很相似——



但是，我们这个交叉帽曲面，其方程式为：

这个方程式是否很复杂呢？其实也不算复杂，因为我们细看的话，假如指定v是个常数，（x，y）不就对应着一个类似圆一样图形吗？加上z轴的变化，就会显得比较复杂。

不好意思，此处我不得不引用方程式来说事。

再看一下这个面的另1个图

现在，我们要再回来看看前面的那个克莱因瓶。其实，它还有一个变体，就是这个图：

这个图形是怎么回事呢？其实很简单，就是一个8扭了一个莫比乌斯带，注意本身就是个“8”而不是“1”

这样完成的曲面一样是无边而且只有一个面的，但这个面现在存在一个问题：它有一条公共线，此处2个面是相交的。
具体理解，请各位自己去探索。

这个曲面叫做Morin Surface，我不知道准确的翻译是什么，姑且称为Morin面吧。

上图是Morin Surface的顶视图，本图是其侧视图。大家可以看出，它好像是4个克莱因瓶组合在一起形成的。这个曲面实在是奇妙的很、既矛盾又统一得很啊！