陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

我甚至这样理解惯性力：
物体在惯性系里边进行非惯性运动产生的对其它相接物体的作用力。

也可以把惯性力“作用”到产生惯性力的物体上。
在惯性系里边，如果惯性力与外力的合力及合力矩为零，物体将维持其非惯性运动不变。规则进动的陀螺就是很好的例子。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-1 20:01 编辑 ]

科氏力与离心力的关系：
科氏力也是一种惯性力。但是它的方向不一定是法。因此，不一定是离心力。
当它是法向力的时候，经常可以看作是离心力的一部分。但是它的方向可正可负。

在赤道汽车离心力这个例子里边，可以看得很清楚：

`F = frac{mV^2}{R} = frac{m(V_0 + V_r)^2}{R} = frac{mV_0^2}{R} + frac{2mV_0V_r}{R} + frac{mV_r^2}{R}`

`F = frac{mV^2}{R} = frac{m(V_0 - V_r)^2}{R} = frac{mV_0^2}{R} - frac{2mV_0V_r}{R} + frac{mV_r^2}{R}`

从在这个例子可以清楚地看出，科氏力就是牵连速度与相对速度的交叉项。是总离心力的一部分。

科氏力还可与离心力的方向成任意夹角。两者的关系不是确定的。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-1 22:51 编辑 ]

不管怎么说在惯性系中没有离心力这个东西的，只有向心力！
如果分析的是做圆周运动的物体绝不能加离心力，因为它本身受力是不平衡的，合力必须是一个向心力。假如再加一个离心力，则合力为0，这显然是错误的。
如果分析的不是圆周运动的物体，而是与其相联系的物体，则其受到力应是向心力的反作用力，而不应理解为离心力。

原帖由 愚石 于 2008-4-1 17:59 发表

                               
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关于绳子抡小球，在惯性系里边，绳子也真的受到了离心力的作用。所以，计算出离心力才是正确的。

做圆周运动的物体是小球不是绳子，绳子受到的力是小球向心力的反作用力

原帖由 愚石 于 2008-4-1 17:59 发表

                               
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汽车的问题也是如此。在惯性系里，对地面来说，由于汽车运动产生的离心力是真实存在的，地面的支撑力也真的发生了变化。

汽车在做圆周运动，则汽车受到所有力的合力为一个指向地心的向心力F（=G-N）。重力G与运动无关，要想满足F>0只能是地面支撑力N减小。
实际上是G的一部分（F）做为向心力用了，剩下的作用于地面引起地面的支撑力。

离心力是非惯性系的产物：
在惯性系下一个做圆周运动的物体，其必然时刻受到一个指向圆心的力（向心力）；
那么在与物体一起做圆周运动的坐标系（这显然是非惯性系）里，物体是静止的。我们只是把坐标系变了，物体的受力不会改变——它还是时刻受一个指向圆心的力，这就与牛顿定律出现了矛盾——静止的物体合力不等于0，怎么办那？给它加上一个没有施力物体的惯性力——离心力。这样在这个非惯性系里物体的受力与观测到的运动状态就一致了。这就是离心力的来源。

科氏力也是一种假想力，和离心力一样没有施力物体。科氏力只有在转动的非惯性才存在。先看一个图

在t=0时刻一物体从A点以相对于圆盘的速度V（实际上它还有一个切向速度ω*OA）向B点前进，设AB长为L，则物体到达半径=OB处时间T=L/V。
在惯性看来，物体在做均速直线运动，在t=T时刻，原来的A、B点转到了A1、B2，物体运动到A2点（弧AA1=弧BA2）.
在以圆盘的非惯性系看来，物体出发时的速度是由A指向B，而T时间后，物体没有运动到B2点而在到了A2点！在这个坐标系看来，物体受到了一个与V垂直的向右的力，使物体没有到达B2而是到了A2。
那么在以圆盘的非惯性系看到的这个力就是科氏力，它实质上是由于转动的坐标系其各处的转动线速度不同造成的。那么这个力等于多少哪？
由图可看出：物体在时间T的位移是弧B2A2，弧B2A2=ω*L*T=1/2*a*T^2（a为科氏加速度），得a=2ω*L/T=2ω*V。

原帖由 kxjh 于 2008-4-2 00:50 发表

                               
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离心力是非惯性系的产物：
在惯性系下一个做圆周运动的物体，其必然时刻受到一个指向圆心的力（向心力）；
那么在与物体一起做圆周运动的坐标系（这显然是非惯性系）里，物体是静止的。我们只是把坐标系变了，物体的受力不会改变——它还是时刻受一个指向圆心的力，这就与牛顿定律出现了矛盾——静止的物体合力不等于0，怎么办那？给它加上一个没有施力物体的惯性力——离心力。这样在这个非惯性系里物体的受力与观测到的运动状态就一致了。这就是离心力的来源。

在新近出版的《理论力学》（马尔契夫（俄）著 李俊峰译）中如此定义惯性力：
质点的质量乘以加速度再取负号称为惯性力，还特别指出，加速度是指质点在惯性系中的加速度。在他的关于惯性力的讨论中，根本就没有提到非惯性系这个名词，完全是在惯性系中讨论。

另外，清华大学出版社出版的郭应征的理论力学也作了完全相同的定义。讨论中也没有提及非惯性系。他还指出，引入惯性力，是为了能够把动力学问题用静力学方法求解。也就是说，是为了把惯性系中的非惯性运动进行平衡运算。

离心力不过是惯性力的法向分量而已，这一点你大概不会有任何异议。

在赵凯华的《力学》中，的确有类似于你那样的解释。但是，离心力的计算，仍然是F=-ma，其中的a是惯性系里边的加速度。

因此，你关于加速度的解释即使是对的（对一个虚拟的事物，从不同的角度进行解释是可行的），但是计算结果肯定是错误的，而我的解释和计算结果都是对的。

好厉害啊，一点点抠吧，只有这样才能理清概念，赞两位！

原帖由 kxjh 于 2008-4-1 17:55 发表

                               
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你想想你的a（t）在这里还能用吗？
早已过了下班时间，先886

哈哈，连下班都忘了~

首先要确定一个原则，一切与转动无关的加速度均排出，比如所有质点的重力加速度（都向下）、自转向心加速度（各向同性，圆盘内部抵消）、公转向心加速度（方向相同，相对圆盘中心对称，相互抵消）、刚体内部应力（不影响外在运动），科氏加速度虽貌似可至圆盘逆时针翻转，但是“时有时无”（虚拟力不影响整体运动，纯属多余），以上各项均不考虑，那么就只剩下左图（侧视图）中蓝色的、来自力矩的真实的a(t)=[M/I]Rcos(ωt)，它将影响圆盘转子的整体运动

所以，导致圆盘出现如下右图（俯视图）的速度分布v(t)=Vsin(ωt)，因此圆盘规则进动而不下垂


以上分析，主要在确定规则进动时，俯视图中必然的垂直盘面速度分量出现的原因，可以确定元凶就是左图的蓝色

这不过是将自由圆盘的概念变换坐标系后的再运用，当然在你强烈抵制自由圆盘分析的基础上，不应该、也不可能痛快接受，这我早就知道

再有承认你前面所说V(t)和a(t)没有直接导数关系，有就麻烦了

能将就着理解吗？

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-4-2 09:56 编辑 ]

俯视图中红色面积的存在是个错误（如果你指的是已经在规则进动的模型）

你的红色面积为导致进动加速的力矩，这个力矩只会让进动速度越来越快，就不是规则进动了

也就是说已经规则进动的东西无法再“受迫进动”了，受迫进动是从“不进动到进动这一过程”起作用，它的使命是“产生进动”而不是“维持进动”。已经进入稳态的陀螺不可能再受迫进动，否则将越转越疯狂

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-4-2 11:09 编辑 ]

呵呵，看样子你还是放不下啊

打个不太恰当的比喻，俯视图中的速度分布，相当于月球自转的线速度分布，离月心越远，线速度越大，月心处为0，在月球自转轴正上方俯视观察，整个自转线速度分布就如上面俯视图的红色区域，所以这个“红色面积（区域）不会导致进动加速的力矩”，否则月球自转就会加速，它就不能持之以恒地以一面笑看地球了

希望你能看明白

关于“受迫进动”，这是牛顿力学体系的必然结论，外力矩消失，进动立即停止，所以，是外力矩在迫使陀螺进动，也就是外力在改变陀螺的空间方位，在陀螺运动中，力矩发挥着主导作用，因此，陀螺运动不是惯性运动，这在教科书中也是定论，无须怀疑，也不能怀疑，因为事实如此

另：愚石兄和kxjh的离心力讨论，也在2楼设了电梯

熊猫如有时间，也请从电梯进入~

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-4-2 11:21 编辑 ]

我看错了，以为你的箭头是F呢，原来是V ，抱歉抱歉~~~

原帖由 愚石 于 2008-4-2 08:03 发表

                               
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在新近出版的《理论力学》（马尔契夫（俄）著 李俊峰译）中如此定义惯性力：
质点的质量乘以加速度再取负号称为惯性力，还特别指出，加速度是指质点在惯性系中的加速度。在他的关于惯性力的讨论中，根本就没有提到非惯性系这个名词，完全是在惯性系中讨论。

另外，清华大学出版社出版的郭应征的理论力学也作了完全相同的定义。讨论中也没有提及非惯性系。他还指出，引入惯性力，是为了能够把动力学问题用静力学方法求解。也就是说，是为了把惯性系中的非惯性运动进行平衡运算。

说实话这些书我都没看过，现在完全是吃老本。
他们的这些说法，归根到底都是“达伯朗原理”，也就是把动力学问题，转化为运动学问题；再说通俗点就是：把惯性系中的非惯性运动（物体有一个加速度a）转化为惯性运动（没有加速度a），转化的纽带就是加一个力-ma。这段话我想你一定是同意的吧？
好了，我们继续分析。
1、把一个非惯性运动转化为惯性运动（为方便下面都按静止考虑，因为这和匀速直线运动是一样的），这说明了什么或者说这隐含了什么？显然这是利用了运动的相对性而进行了坐标变换！只有在相对于惯性系A以和物体同样的a运动的坐标系B（显然是非惯性系）中，物体才是静止的。而在B系中，物体是静止的却受一个力ma，为了与B系中的“观测”相吻合，所以要加一个惯性力-ma，使其合力为0
2、物体在A系中有a必有力ma，只有这样物体的受力和运动才一致，如果在A系中加入一个-ma，则物体受力为0与其运动（有a）就不一致了，故在A系（惯性系中）是不能加-ma（即惯性力）。也就是在惯性系中不存在惯性力，离心力如此，科氏力亦如此。
3、这个转化过程的数学表现是加一个-ma，本质的物理内含是坐标系变换。

原帖由 愚石 于 2008-4-2 08:03 发表

                               
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离心力不过是惯性力的法向分量而已，这一点你大概不会有任何异议。

同意

原帖由 愚石 于 2008-4-2 08:03 发表

                               
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在赵凯华的《力学》中，的确有类似于你那样的解释。但是，离心力的计算，仍然是F=-ma，其中的a是惯性系里边的加速度。

很好！看来我的观点还是有官方认可的哈
离心力是-ma很对呀，我也是这样认为的，不过看语气可能在这一点上你对我有误解。

原帖由 愚石 于 2008-4-2 08:03 发表

                               
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因此，你关于加速度的解释即使是对的（对一个虚拟的事物，从不同的角度进行解释是可行的），但是计算结果肯定是错误的，而我的解释和计算结果都是对的。

我的计算没有错，我不知我那没表述清楚让你误解了。

                               
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你太想当然了吧！
看你的侧视图，力矩和角加速度ε的方向垂直向里的，R是从支点指向O点，则线加速度a=ε×R，方向统统地向下！
如果你反对矢量积的方法，你只要注意一点：R是从支点指向O点！因为这是绕支点转动了！
所以你这楼拆了重盖吧。

原帖由 kxjh 于 2008-4-2 14:38 发表

                               
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2、物体在A系中有a必有力ma，只有这样物体的受力和运动才一致，如果在A系中加入一个-ma，则物体受力为0与其运动（有a）就不一致了，故在A系（惯性系中）是不能加-ma（即惯性力）。也就是在惯性系中不存在惯性力，离心力如此，科氏力亦如此。

对于达朗伯原理，可以用两种方法解释（以质点为例）：
1、如果在静系里边给质点加上一个惯性力，使所有的力达到计算上的平衡，那么，该质点将维持其加速度不变。

2、如果在动系里边给质点加上一个惯性力，使所有的力达到计算上的平衡，那么，该质点将维持其惯性运动不变。

在第一种解释中惯性力是不真实的，在第二种解释中，加速度是不真实的。

实际上，这两种解释是等价的。

你使用了第二种解释，而我使用了第一种解释。

我认为，用第一种解释进行运算要比第二种解释简明得多，并不需要任何坐标系的转换。还以用绳子抡铁球为例：
用第一种解释是：因为铁球受到的外力与惯性力正好平衡，所以，铁球维持其匀速圆周运动。这是非常简明的解释。
你用第二种解释看看，非常复杂。

我们引入达朗伯原理和惯性力的概念，并不是必须的，只是为了计算更方便，更条理。其原理就是把`F=ma`中的`ma`从等式右边移动到了左边，变成了`F-ma=0`。仅此而已，并没有进行坐标系变换的意思。因此，用坐标变换来解释惯性力，无助于问题的简化，反倒使问题更复杂。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-2 16:19 编辑 ]

原帖由 kxjh 于 2008-4-2 14:38 发表

                               
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我的计算没有错，我不知我那没表述清楚让你误解了。

因为按照你的计算，在静系中惯性力将永远是零。那么，“施力体（比如绳子）受到的力等于质点的惯性力”这么简单的关系在惯性系里边就不再成立。所以我无法接受你的计算方法。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-2 16:31 编辑 ]

原帖由 kxjh 于 2008-4-2 14:38 发表

                               
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他们的这些说法，归根到底都是“达伯朗原理”，也就是把动力学问题，转化为运动学问题；再说通俗点就是：把惯性系中的非惯性运动（物体有一个加速度a）转化为惯性运动（没有加速度a），转化的纽带就是加一个力-ma。这段话我想你一定是同意的吧？

我的看法是，达朗伯原理是把动力学问题转化成静力学问题，而不是把动力学问题转化成运动学问题。因为达朗伯原理很简单，就是把`F=ma`，变成了`F-ma=0`，在每一本教科书上都是这么说的，并没有坐标系转换的意思。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-2 16:44 编辑 ]

原帖由 kxjh 于 2008-4-2 15:17 发表

                               
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你太想当然了吧！
看你的侧视图，力矩和角加速度ε的方向垂直向里的，R是从支点指向O点，则线加速度a=ε×R，方向统统地向下！
如果你反对矢量积的方法，你只要注意一点：R是从支点指向O点！因为这是绕支点转动了！
所以你这楼拆了重盖吧。 ...

方向统统向下？何以见得？

1点的R是倾斜的，线加速度a如图所示，并且具有垂直盘面的水平分量a'
如果你相信，转子所有位置的a'仍然是过转子圆心的一条斜线
很难想象转子上所有质点的线加速度齐刷刷统统向下~~~反正我想象不出来，除非他立着掉下去，然而那是不可能，我认为除了位于轴上的转子质心那一点方向向下，其余所有的点都不是
如果转子上所有质点的线加速度真的统统向下，我就拆了这楼


我一直在说“定性”，也就是讲道理。支点的支持力与重力形成的力矩作用于圆盘，前面也说过圆盘转子是以自我为中心，应视为力偶矩试图顺时针翻转圆盘，当然这里还要费许多话。

即使如你所说，整体以支点为轴，转子质心加速度向下，也不能否认上下沿线加速度具有水平分量吧？
我一直在强调“与盘面垂直的分量”，就是这个意思
1点跑到了1'位置，3点跑到了3'位置，显然，像自由圆盘一样，转子本身（空间方位）具有顺时针旋转的趋势，而我所强调的，就是转子自身的这个运动趋势

如何？还继续吗？

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-4-2 17:17 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-4-2 17:00 发表

                               
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方向统统向下？何以见得？
1点的R是倾斜的，线加速度a如图所示，并且具有垂直盘面的水平分量a'

我说的统统向下是说线加速度a的垂直分量！在图示瞬间圆盘面上的每一点都垂直向下，而且大小都相等！你怎么只要水平分量不要垂直分量了！垂直分量不是由你规定的条件即仅保留重力矩（暂时不说这个条件是否正确）导致的吗？你把这个也加上让你的陀螺规则进动给我看看！

原帖由 kxjh 于 2008-4-2 18:27 发表

                               
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我说的统统向下是说线加速度a的垂直分量！

楼主的最大错误在于他忽视了O点的a的垂直分量并不等于零。他在画图时，把O点的加速度画为零，以为圆盘就可以不倒了。实际上，只要a的垂直分量不是恒等于零，那么，积分以后，向下的角速度和角位移必然不是恒等于零，保持不倒只能是幻想了。拆楼就是必然的。

角位移恒等于零的一个必要条件是角速度和角加速度恒等于零。楼主不懂这个道理，所以闹了笑话。

愚石网友，顾你自己吧
====================
kxjh：“我说的统统向下是说线加速度a的垂直分量！”哈哈，垂直分量不向下，那就见鬼了

这说明，你至少承认有水平分量a'(t)=Acos(ωt)对吧？1353的蓝色区域就是它，有问题吗？

关于垂直分量，我前面说已经声明，1348“首先要确定一个原则，一切与转动无关的加速度均排出，比如所有质点的重力加速度（都向下）、自转向心加速度（各向同性，圆盘内部抵消）……”

一切与转动无关的加速度均排出=暂时不管导致圆盘平动的任何加速度，如果要考虑“垂直分量”，那么还有与他同方向的“重力加速度”要不要考虑？

现在的焦点，a'(t)=Acos(ωt)导致v(t)=Vsin(ωt)，是否承认？

============================
（唉……没办法，只好退而求其次了，你和愚石一个心思，无论如何，雪鹰的思想是错的，在这个前提下，很难理性对待我的言论，比如你言之凿凿“看你的侧视图，力矩和角加速度ε的方向垂直向里的，R是从支点指向O点，则线加速度a=ε×R，方向统统地向下！”这时何曾指明是“垂直分量”？而且对我确定的原则根本就不看，请问，如果a'(t)=Acos(ωt)导致v(t)=Vsin(ωt)成立，那么圆盘已经就不倒并规则进动了，那个“线加速度垂直分量”、“统统向下的重力加速度”当然也就不会再有什么“只要a的垂直分量不是恒等于零，那么，积分以后，向下的角速度和角位移必然不是恒等于零”，再有多说一句，愚石网友怎么不对重力加速度积分？

现在不求别的，只恳请kxjh看清楚我在说什么，认真看看我写的东西。至于拆不拆楼，愚石网友就不要操心了，该拆的时候我会拆的，顾好你自己就行了，你的离心力加来减去的，现在连高学历的kxjh都不能说服，怎么去给中学生讲？自己看看，你曾经多少次表示要去给中学生讲陀螺，不是我告诉你支点水平拉力会无穷大，万一让中学生指出来，那岂不是闹了大笑话？有损你的形象啊，所以你应该感谢我才对！先顾你自己吧）
===========================

好了，请kxjh继续

在下图中，有4个质量为M的质点分别沿着轨迹1，2，3和4 以相对速度u 运动。圆盘以Ω旋转，质点在O点或者A点的离心力使用下边的式子计算:

`F =frac{M(u-U)^2}{R}`    （1）

      `= frac{Mu^2}{R} - frac{2MuU}{R} + frac{MU^2}{R}`    （2）

计算离心力会得到四种特殊情况。参见下图。也就是说2式中某一或两项等于零。

`frac{Mu^2}{R} =0` , 或者`frac{MU^2}{R}`，或者 `frac{Mu^2}{R} = frac{MU^2}{R}=0`，

这四种情况分别对应于图中的四条轨迹路线，对应关系见图中的表格。

由此可以看出，在使用这个式1计算出的结果对应的是轨迹1，即赤道汽车的轨迹。而有支点
陀螺质点1对应的是轨迹3，因此需要从结果中减去`frac{Mu^2}{R}`这一项才能得到正确的结果。这就是我在陀螺质点离心力计算中减去`frac{Mu^2}{R}`这一项的道理。

在无支点陀螺中，质点的轨迹对应于图中的轨迹4，`frac{Mu^2}{R} = frac{MU^2}{R}=0`，两项都为零，只有交叉项科氏力不为零。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-2 20:10 编辑 ]