陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

写在前面的话：
认真研读了版规，似乎这个话题有违禁嫌疑。但是我不承认自己是“民科”，我一直在为捍卫牛顿第一定律而在各地征战，呵呵，对手既有科班出身的学者，也有目空一切的民科

本贴主要讨论陀螺运动的根源，多少与星球天体旋转有关，还望斑竹手下留情，初来乍到，请多关照，谢谢


书归正传，陀螺已经倾斜，严重失去平衡，为什么不倒下来而要做水平进动呢？


针对规则进动陀螺，我国著名学者、科学院院士陆元九先生有如下论述

“对于对称陀螺（图2a），它在重力对支点的力矩作用下便产生进动（图2b）”

                               
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但是陆元九院士没有继续说“力矩怎么让陀螺产生进动”
重力矩的作用必然是让陀螺倒下，但是自转的陀螺不但没倒反而持续水平进动，这是“为什么”？
（如有人愿意就经典力学教材上的知识切磋此问题，本人极为欢迎）


我从质点运动的角度，尝试解答此问题，能否成功，还请各位严查

=======================

我的论述从这个图开始

陀螺已经明显失去了平衡，却没有倒下来，而在水平面内进动

我试图追查这个现象的根源，在本要让它倒下的重力矩作用下，它为什么要这样运动

                               
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任选一时刻，进行观察

                               
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单看陀螺的转子，陀螺不倒等效于转子不出现以水平直径为轴的翻转

重力矩明显要以水平直径为轴翻转转子，但是规则进动时转子没有被翻转

我认为，只要说清楚在力矩作用下，自转的转子为什么不屈服于力矩沿水平直径翻转，就算说清楚了陀螺为什么不倒

为此，我建立了自由圆盘模型

                               
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受力偶矩M作用，根据刚体基本转动定律角加速度=力矩/转动惯量

α=M/I

α……圆盘绕3-9轴角加速度

M……图示两力组成的力矩

I……圆盘对3-9轴的转动惯量

圆盘获得绕3-9轴的角加速度α

圆盘边缘当有线加速度a(θ)=αRcos(θ)如下图

                               
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当圆盘以角速度ω自转时，质点在圆周运动过程中，在垂直于盘面方向的加速度在变化

其变化规律为a(t)=αRcos(ωt)=[MR/I]cos(ωt)

根据f=ma，质量为m的质点在垂直于盘面方向将受到f(t)=ma(t)=m[MR/I]cos(ωt)

这是一个周期形式的力（见图中表示加速度变化的箭头）

                               
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这个力将影响质点在垂直于盘面方向的运动，在适当的条件下，将会导致质点出现简谐形式的运动

v(t)=Vsin(ωt)如下图

一旦形成此形式的运动，质点运动到12-6连线上时，垂直于盘面方向的速度就为0，因此，12-6连线始终保持铅直

                               
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圆盘上每一个质点都有另一个质点与其对称，所有质点都在上述周期力的作用下步调一致地集体行动，表现出圆盘运动的整体性

这说明，自由圆盘在图示力矩的作用下，不但不屈服于力矩沿3-9轴翻转，反而会出现绕12-6轴的匀速翻转

这就是所谓的“规则进动”

回到这个图，转子在重力矩作用下，不但不屈服于重力矩倒下来，反而要水平进动
至此，补充了陆元九院士最初的那句话

                               
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中心思想：

因为：力矩→角加速度α→线加速度a(t)=αr(t)=[MR/I]cos(ωt)→线速度v(t)=Vsin(ωt)→圆盘规则进动

所以：陀螺在力矩的作用下便产生进动

因为水平进动出于转子自身水平翻转的“欲望”，所以如果不计底座质量以及与桌面的摩擦，转子将以自己的质心为圆心水平翻转，并带动底座绕其质心作圆周运动（见下面的冰上陀螺）

                               
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欢迎阅读，有意见交流，请在此留言或发邮件给我。

定性部分论述结束，欢迎朋友们指正

如果侥幸通过，下一步将进行定量分析

耳闻这里云集着许多高手，慕名前来，还望诸位朋友不吝赐教，谢谢

                               
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非常感谢天文论坛以及各位网友的热情参与，关于陀螺问题的讨论内容过于复杂，并且生出许多枝节，不做一个索引很难找到完整的讨论过程

另外，几位高手就力学基础理论发表的见解意义深远（不夸张地说，闪耀着智慧的光芒），有的比教材更清晰，很有价值，具有极强的思想性和可读性，为方便寻找，也将给出链接

再次感谢各位参与讨论和进入本帖的朋友们，这个楼能盖得如此之高，多亏各位，同时也说明，陀螺问题也许不是毫无意义

一、正宗官方解释（719楼）

二、专业学者的专业论述（221楼）

三、第一次小结（230楼）、第10天小结（780楼）、周月纪念

四、bearcat（熊猫）网友的重点发言
       1、从质点运动角度论述陀螺运动（142楼、143楼、144楼）
       2、对陀螺问题的定性认识（50楼）
       3、对物理理论的深刻认识（434楼）
       4、牛顿力学与分析力学的区别（239楼、253楼、421楼 、434楼）
       5、祥解力矩、角加速度、角速度的关系（823楼、826楼、1082楼、1083、1099、1103、1104、1113、1117、1124、1132、1140、1153、1160、1186楼……雪鹰的发言1217楼、1305楼, 1396,1407,1434,1440、1460、1464、1488、1498）

五、kxjh网友的重点发言
       1、指出楼主关于圆周运动的错误认识（27楼）
       2、首次用“因为……所以……”解答陀螺问题（30楼）
       3、关于摩擦阻尼与陀螺运动的关系（150楼）
       4、就陀螺的运动是否由“力矩M的方向”决定的争论正式开始（280楼 、293楼 、396楼、448楼、459楼、476楼、492楼、590楼、623楼）
       5、专业科氏力矩解释（368楼、478楼、485楼）
       6、祥解规则进动（568楼）
       7、向1楼发起攻击（1059楼、1064楼、1070楼、1260楼、1295楼、1301楼、1303、1306、1308、1310、1334楼、1348、1353、1357、1360,1397,1401,1449、……）
       8、提出Z轴角动量分量守恒解释623楼
       9、阐述物理基础知识的：离心力与科氏力（1284楼）、

六、愚石网友的重点发言（分电梯间1411#）
       1、有关自转速度=进动速度问题（53楼）
       2、从质点绝对速度不同离心力也不同出发作出的推论（78楼、 938# 修订版、1361楼、1470）
       3、离心力解释的定量分析（249楼、941# 修订版）
       4、向1楼发动进攻（1066楼、1087楼、1382# ）
       5、第一次提出应用科氏力计算规则的纯科氏力解释（1170楼）
       6、1088# 讨论陀螺下趴问题
       7、1048#  给出了赤道汽车（质点）离心力计算

七、creeperr网友的几何解释（44楼）

八、511103023网友的几次转变
       1、初访本帖（496楼）
       2、看透了（1169楼）
       3、要求各方实战（1468、1471）

九、紫月霓裳提出陀螺重心转移（574楼）

十、jiangq007代表广大本科生作出解释（638楼）

十一、规则进动于机械能守恒问题1499楼

关于离心力的讨论：1221楼、1239楼、1261楼、1271楼、1284楼、1295楼、1327、1328、1329、1337、1339、1341-1346、1406,1444、1445、1447、1451

转：K12网友TonyDeng关于陀螺问题的部分对话（1290楼）

就先列出这么多吧，肯定有遗漏……

前面有些话也许说重了，但那是表示我对论友的尊重和崇敬，我认为有些精彩的论述的确闪耀着智慧的光辉

先到这，应熊猫网友的要求，建个电梯，省得大家到处翻，如有什么建议，我在修改

谢谢！

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-4-12 12:54 编辑 ]

这个，倒是不算特别MK....不过这个东西分析力学里不是都有解释吗？不知道这个和捍卫牛一律有什么关系，另外，你这个帖子还是和天文没什么关系，看看大家的反应决定移不移

我想陀螺进动的问题好久了，没有什么进步，看楼主的帖子有点启发，但也没有进步，哈哈，我只是说实话了，还是请楼主把后边的定量计算铁上来看看吧。
还有初始章动怎么解释呢？等待楼主说

我看得一些物理书总是从矢量方面分析，看是正确，实在不好说，我感觉是两分析只是一种表达简化，应该更深入的应用质点系的受力分析，有时间的话我要找更多书学习这个问题。

在 1141楼 有我的电梯间，可以直达我的主要发言。


我在别处看过楼主的讨论，虽然不能弄得很清楚，但是很支持楼主的钻研精神和谦虚的态度。

我还曾经把这楼主的讨论介绍给我儿子。他看过以后，认为是可以讨论清楚的，只是文字表达起来很麻烦，他没有时间参与讨论。

绝大多数天体都是旋转的，岁差和章动也是来源于楼主讨论的东西。所以我认为该帖子不应该算是违禁。前面我们不是曾经讨论过我们提出的极移问题吗（http://www.astronomy.com.cn/bbs/thread-52910-1-1.html）？这应该属于类似问题。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-4 15:29 编辑 ]

我估计，如果 smile123 和kxjh能够参与讨论，楼主的问题就能够弄清楚。

感谢愚石、willcao网友关注，感谢clearskies斑竹点拨

clearskies斑竹认为分析力学已经解决了“陀螺为什么如此运动”的问题，果真如此，我的分析就是多余的，理应剃除

既然分析力学已经解决了陀螺问题，能请clearskies版主简答一下吗？

当年托勒密用了80多个本轮，也没说清楚太阳为什么东升西落，哥白尼(?)只用了一句话就说明白了，地球在自转，因此针对陀螺运动，应该也有个简单的、根本的解答

根据分析力学或任何教材中的知识，针对1楼的陀螺运动示意图

因为：？
所以：陀螺如此运动

如果陀螺无自转，倾斜到如此程度，必然是应该倒下了，但是有自转的陀螺正如我们亲眼所见，他并没有倒，而是在水平进动，这是“为什么”，针对“为什么”的疑问，必然要用“因为……所以……”来解释的。

关于天体星球的自转以及章动，可以引入自由陀螺运动性质加以分析，所以我说此话题与天文多少还是有些关系

谢谢关注，此话题纯粹为探讨切磋，目的是弄清真相，明白些事理，别无他意

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-5 10:39 编辑 ]

哈，原来愚石网友就是一年前追到我网易博客的人，谢谢你啊，遇到个同好真的很不容易，谢谢

希望积极参与本话题讨论，大家一起努力，争取弄明白它

力矩不是角动量的变化率吗?  总是垂直于角动量的力矩只能导致角动量的方向变化. 这就是进动. 楼主非要从牛顿三定律来理解运动, 有时候是非常费脑子的.

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 10:27 发表

                               
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哈，原来愚石网友就是一年前追到我网易博客的人，谢谢你啊，遇到个同好真的很不容易，谢谢

希望积极参与本话题讨论，大家一起努力，争取弄明白它 ...

人老了，不中用了。这要是读书那会儿，非得跟你摆活一番。现在的脑子不够用了。
要讨论，还得看年轻人的。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 00:23 发表

                               
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... 当圆盘以角速度ω自转时，质点在圆周运动过程中，在垂直于盘面方向的加速度在变化
其变化规律为a(t)=αRcos(ωt)=[MR/I]cos(ωt) ...

... 这个力将影响质点在垂直于盘面方向的运动，在适当的条件下，将会导致质点出现简谐形式的运动v(t)=Vsin(ωt)...

第一式中的ω是自转角速度，第二式中的ω是进动角速度，这两个角速度是不等的（一>>二）。

手里的物体一松手就会自由下落，落到地球上；而人造卫星（为了简单化假设都做圆周运动）也同样受到地球的引力，却能绕地球转动而不落到地球上，为什么？因为卫星有初速度而且这个初速度与引力互相垂直。这一垂直就造成引力只改变卫星速度的方向不改变其大小，结果卫星就不落到地球上而是做起了圆周运动。
陀螺进动和上面说的卫星在原理上类似的。陀螺受到的力矩（类似于卫星的引力）永远与其自转的角动量（类似于卫星的初速度）是垂直的，故角动量的大小不会变而其方向总是在变化，其表现形式就是陀螺的进动（类似于卫星的圆周运动）。

原帖由 smile123 于 2008-3-5 11:29 发表

                               
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力矩不是角动量的变化率吗?  总是垂直于角动量的力矩只能导致角动量的方向变化. 这就是进动. 楼主非要从牛顿三定律来理解运动, 有时候是非常费脑子的. ...

欢迎欢迎，雪鹰初来，希望和大家都成为朋友。我的个性喜欢较真，有时可能偏激一些，但绝不是吵架，只是想明白事理，请朋友们理解

smile123网友显然是指dL/dt=M了

因为：力矩M方向水平
所以：陀螺水平进动（不倒）

是这样吧？很简洁，这也是部分教科书的解释

那么，更为常见的边进动边倒下的陀螺怎么办？
此时陀螺运动方向显然不遵从M方向，上述理由还成立吗？

                               
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[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-5 13:20 编辑 ]

原帖由 kxjh 于 2008-3-5 12:52 发表

                               
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第一式中的ω是自转角速度，第二式中的ω是进动角速度，这两个角速度是不等的（一>>二）。

手里的物体一松手就会自由下落，落到地球上；而人造卫星（为了简单化假设都做圆周运动）也同样受到地球的引力，却能绕地球转动而不落到地球 ...

欢迎欢迎，欢迎kxjh网友，愚石网友推荐的两位高手都来了，谢谢

第二式中的ω也是自转角速度。

用圆周运动来类比陀螺运动，有一个问题。

圆周运动的向心力抵消地球引力，因此卫星即不跑掉也不掉下来

陀螺的质心虽然也在绕支点作圆周运动，但是却在水平方向，垂直方向还是受到地心引力的，这个力谁来抵消？

原帖由 愚石 于 2008-3-5 11:39 发表

                               
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人老了，不中用了。这要是读书那会儿，非得跟你摆活一番。现在的脑子不够用了。
要讨论，还得看年轻人的。

呵呵，愚石网友不必过谦，对这里我不了解，但是我简单看过你们以前的“极移”讨论，老哥你也不是等闲之辈

事实就在眼前，为什么会这样，总要有一番道理

不过就是讲道理，或者说定性分析

其实没什么高深的

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-5 13:32 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 13:13 发表

                               
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第二式中的ω也是自转角速度。

如果是这样的话，那按你的推导就会得出如下结论：进动和自转的角速度是相等的。这显然是错误的。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 13:13 发表

                               
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用圆周运动来类比陀螺运动，有一个问题。
圆周运动的向心力抵消地球引力，因此卫星即不跑掉也不掉下来。

这你在概念上就有问题了，所谓向心力是指一切做圆周运动的物体必然受到一个指向圆心的力，这个力统称为向心力。如系在绳子上的小球做圆周运动，其向心力就是绳子的拉力。如果不考虑月亮太阳等其它天体的扰动，在卫星的绕地球的圆周运动中，卫星只受一个力——地球引力！也可以叫做向心力，你说的这两个力其实是一个力，就好象一个人有大名有小名其实还是一个人一样。这怎么能互相抵消哪？！

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 13:04 发表

                               
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欢迎欢迎，雪鹰初来，希望和大家都成为朋友。我的个性喜欢较真，有时可能偏激一些，但绝不是吵架，只是想明白事理，请朋友们理解

smile123网友显然是指dL/dt=M了

因为：力矩M方向水平
所以：陀螺水平进动（不倒）

是这样吧？很简洁，这也是部分教科书的解释

那么，更为常见的边进动边倒下的陀螺怎么办？
此时陀螺运动方向显然不遵从M方向，上述理由还成立吗？

只要你不是随便评价你看不懂的东西, 我是不会和你吵架的(和我吵架的, 基本都有肆意评价他看不懂的东西的毛病)

这不是简洁, 这是清晰. 你所做的分析, 实际是试图仅用牛顿三定律(最基本的定律)去理解这个具体系统, 其实大可以不必这样, 因为推导(针对普遍系统的)dL/dt=M时, 这些详细的考虑已经包含了. 你的思路只不过想把这些详细的考虑原始地再现出来, 把那些其实不必要的相互抵消的内力作用也引入进来

对于你说的"更为常见的边进动边倒下的陀螺"的理解, 其实很简单, 这个系统在实际中是有机械能耗散的(摩擦/陀螺非刚体), 系统并非完美进动

先说第一个问题

你所说的第二式是指这个吗？
v(t)=Vsin(ωt)

这是质点任意时刻垂直于盘面方向的线速度

进动角速度Ω=v(t)/Rsin(ωt)=Vsin(ωt)/Rsin(ωt)=V/R

V……质点在3、9点位置时垂直于盘面方向的线速度

由于还没有定量分析，所以还没涉及它

=================================

现在说第二个问题，比如同步卫星始终悬在固定位置，但是他也在与地球自转同步作绕地球质心的圆周运动。在他身上，有两个力，一个是地球引力F=G*M1M2/R*R，一个是圆周运动的向心力F=mv^2/r，这两个力是相等的。

我所说的向心力，是圆周运动导致的卫星逃离的“离心作用”，是随着圆周运动的速度变化的。正如绳拴小球一样，如果越转越快，终归小球会挣断绳索跑掉

而在同样的距离，不管卫星圆周速度多快，地球的引力是不变的

只有两者相等，卫星才看上去挂在天上不动，否则不是远离就是拉近

尽管也许比不上愚石网友的年纪，但是我也荒废多时了，理解错误之处，还请指正
再说，我仍然看不出因为“卫星不掉下来”所以“陀螺就不倒”之间的必然联系，还请明示，能结合1楼的图具体说说吗？

看完17#,

关于这楼, 我预测有两种可能的结果:

1. 最好结果, 最终LZ搞明白了这个中学物理问题
2. 坏结果, 七嘴八舌, 混天黑地, 你说1我理解成2, 旁边看的帮助3, ... ..., 讨论了500楼没结果 ...

撤了

原帖由 smile123 于 2008-3-5 14:57 发表

                               
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对于你说的"更为常见的边进动边倒下的陀螺"的理解, 其实很简单, 这个系统在实际中是有机械能耗散的(摩擦/陀螺非刚体), 系统并非完美进动

理想无摩擦、理想刚体同样存在“理想非规则进动”，即“非完美进动”

这很简单，对于一个自转刚体，并不是任何力矩都能使其“规则进动”，否则问题更大

力矩过大或者自转速度不足，都不能形成规则进动，或者在规则进动的陀螺上再施加额外与重力矩同方向的力矩，即可破坏其规则运动状态

这与摩擦等条件无关

纯粹还是力矩与自转刚体运动之间的关系

因此，即使在理想条件下，必然存在陀螺运动方向不遵从力矩M方向的现象

这是，不能再说，“因为力矩M水平，所以陀螺如此运动”了吧？

（我会注意自己的语气，然而积习难改，如有何不妥之处，请及时指出来，以利改正，谢谢）

学过理论力学好几年了，一直也没摸....

不过LZ没学过分析力学吗？就是拉格朗日和哈密顿的力学体系？

陀螺问题好像是刚体动力学里面的重刚体定点运动吧，应该是用欧拉动力学方程描述的，如果这个运动的惯量椭球是旋转椭球的运动就是陀螺运动，好像可以分成拉格朗日脱落，欧拉陀螺，还有一个什么什么(一个俄罗斯女数学家的名字)陀螺，情况不尽相同，好像在拉格朗日陀螺里是只有规则进动的，而在欧拉陀螺情况下才出现章动........

还有一个"陀螺力"概念吧，意思就是这个力是非有势力，但是做工为零，就是陀螺力(希望没说错)，对地球而言，科里奥利力就是陀螺力

其实LZ讨论的陀螺情况很普通，还有转着转着自己会跳起来倒过来接着转的陀螺呢，当时理论力学老师讲了不少这个东西，总之这些现象都可以用分析力学很好的解释了，如果是想锻炼下思维大可继续，如果要是想证明什么或是推翻什么大可不必费心了