陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

建议LZ还是看看分析力学的东西，要不然这么讨论毫无意义

原帖由 smile123 于 2008-3-5 15:15 发表

                               
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看完17#,

关于这楼, 我预测有两种可能的结果:

1. 最好结果, 最终LZ搞明白了这个中学物理问题
2. 坏结果, 七嘴八舌, 混天黑地, 你说1我理解成2, 旁边看的帮助3, ... ..., 讨论了500楼没结果 ...

撤了 ...

哈哈，没关系，我是知错就改的

如果是指圆周运动的小球，我的确没有把握，就算我错了，我也不明白他和陀螺运动的联系

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 15:19 发表

                               
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.理想无摩擦、理想刚体同样存在“理想非规则进动”，即“非完美进动”

这很简单，对于一个自转刚体，并不是任何力矩都能使其“规则进动”，否则问题更大

力矩过大或者自转速度不足，都不能形成规则进动，或者在规则进动的陀螺上再施加额外与重力矩同方向的力矩，即可破坏其规则运动状态
...

我好象说得很清楚吧, 力矩必须时时刻刻垂直于角动量方向. 谁说任何力矩了?


"力矩过大或者自转速度不足，都不能形成规则进动"
这话是你朴素的想象. 如果力矩时时刻刻垂直于角动量方向, 理想系统(无耗散/严格刚体)就是完美进动. 这个你接受不了, 是因为现实生活中无法想象这样的理想系统. 一个转的很慢的东西, 被一个时时刻刻垂直于它角动量方向的大力矩作用, 它的进动角速度比它自转的角速度要大得多, 的确没法想象.

我希望你能仔细看我回复的内容.

而且你上面这些文字和你的题目中的问题相关吗? 你打算扩大你讨论的内容?

[ 本帖最后由 smile123 于 2008-3-5 15:32 编辑 ]

原帖由 clearskies 于 2008-3-5 15:24 发表

                               
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建议LZ还是看看分析力学的东西，要不然这么讨论毫无意义

手里有三本《陀螺力学》，但是实话实说，并不能完全明白

现在的问题其实很简单，就是陀螺为什么如此运动，用不着列那么多方程


回答这个问题，应该使用“因为……所以……”，这是因果律的要求

不能否认，方程已经很好地描述了陀螺的运动，但是方程是根据现象建立的，正如托勒密的均伦系统一样，根据天体运行现象总结出一套完整的规律，可以精确地预测某天体的位置，但是不能说明该天体怎么会去那里，能说它反映了客观的宇宙图像？

我认为，陀螺运动方程也是如此

当然我承认可能理解有偏差

原帖由 smile123 于 2008-3-5 15:30 发表

                               
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"力矩过大或者自转速度不足，都不能形成规则进动"
这话是你朴素的想象. 如果力矩时时刻刻垂直于角动量方向, 理想系统(无耗散/严格刚体)就是完美进动. 这个你接受不了, 是因为现实生活中无法想象这样的理想系统. 一个转的很慢的东西, 被一个时时刻刻垂直于它角动量方向的大力矩作用, 它的进动角速度比它自转的角速度要大得多, 的确没法想象.

惭愧，正如你所言，我的确难以想象，并且第一次听说，可见还有很多知识要学

进动角速度比自转角速度大得多，而且还是规则进动，呵呵，我只能再回《陀螺力学》啃书了

既然是争论，就难免有火花，而且现在是不对等地位的争论。我接受过高等教育，《理论力学》等是必修课，但是必须承认没有诸位学得扎实，而且荒废若干年，难免露怯

所以，现在不叫做争论，更像是普及讲解知识。好在还有和我一样不明白的人在，所以还是有些意义

等我找到理由再来

指正不敢当，讨论而已

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 15:03 发表

                               
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你所说的第二式是指这个吗？
v(t)=Vsin(ωt)

是

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 15:03 发表

                               
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进动角速度Ω=v(t)/Rsin(ωt)=Vsin(ωt)/Rsin(ωt)=V/R

应该是：进动角速度=v(t)/R=Vsin(ωt)/R，其角频率还是ω

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 15:03 发表

                               
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现在说第二个问题，比如同步卫星始终悬在固定位置，但是他也在与地球自转同步作绕地球质心的圆周运动。在他身上，有两个力，一个是地球引力F=G*M1M2/R*R，一个是圆周运动的向心力F=mv^2/r，这两个力是相等的。

恕我直言，圆周运动你也没有完全搞清楚。
再说一遍：卫星只受一个力——地球引力，也就是你说的`F={GM_1m}/R^2`（为了和下式一致M2改为m）。
那么F=mv^2/r是怎么回事哪？这是说做圆周运动的物体其向心加速度a，如果用线速度和半径来表达则有：$a=v^2/R$（为了和上式一致r改为R）。这个a就是地球引力产生的，它（F=mv^2/r）本身不是一个另外的力，而是地球引力在数值上的另一种表达形式。还可以表达为F=mω^2*r，你能说又多出一个力吗？

顺便提一下，由牛二定律知$a=F/m={GM_1}/R^2$，那么这两个a显然应该是相等的即：$v^2/R={GM_1}/R^2$，整理得：$v=\sqrt{{GM_1}/R}$，把R用地球半径代入这就是第一宇宙速度。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 15:19 发表

                               
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在规则进动的陀螺上再施加额外与重力矩同方向的力矩，即可破坏其规则运动状态

这个不会的。陀螺很聪明的，它会调整进动周期来适应新的状态。

原帖由 kxjh 于 2008-3-5 15:54 发表

                               
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恕我直言，圆周运动你也没有完全搞清楚。
再说一遍：卫星只受一个力——地球引力，也就是你说的`F={GM_1m}/R^2`（为了和下式一致M2改为m）。
...

受教受教，呵呵，我总以为圆周运动的物体总是想逃走的，所以我认为随着圆周运动速率增加，向心力（离心作用）也增加（因为公式中v增加F必然增加），最终拉着小球的绳子会断开，小球逃走

哈哈哈，很久不考虑这个了，只是你说起卫星，我才想当然，惭愧

但是，说实话，我仍然不明白“卫星不掉下来，陀螺就不倒”有什么必然联系

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 15:36 发表

                               
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手里有三本《陀螺力学》，但是实话实说，并不能完全明白
现在的问题其实很简单，就是陀螺为什么如此运动，用不着列那么多方程
回答这个问题，应该使用“因为……所以……”，这是因果律的要求

因为：陀螺受到的力矩与其自转角速度相垂直，故这个力矩只会改变自转角速度的方向而不会改变其大小，而且其方向只能向与其垂直的方向改变；如果力矩大小不变，则方向的改变就是均匀的。可见陀螺的运动必须满足如下特征：自转角速度大小始终不变，自转角速度方向沿与其方向相垂直的方向均匀地改变。
所以：陀螺进动。
你能想出满足上述特征的其它方式吗？

原帖由 kxjh 于 2008-3-5 15:54 发表

                               
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应该是：进动角速度=v(t)/R=Vsin(ωt)/R，其角频率还是ω

这里有不同看法

看下图

                               
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v(t)=Vsin(ωt)是指红色箭头的长短变化，V是其最大值，出现在3点位置
此圆盘的进动角速度显然是Ω=v(t)/Rsin(ωt)=Vsin(ωt)/Rsin(ωt)=V/R
而不是进动角速度=v(t)/R=Vsin(ωt)/R

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 16:22 发表

                               
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说实话，我仍然不明白“卫星不掉下来，陀螺就不倒”有什么必然联系

请再认真看一下11楼

原帖由 smile123 于 2008-3-5 15:30 发表

                               
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我好象说得很清楚吧, 力矩必须时时刻刻垂直于角动量方向. 谁说任何力矩了?

"力矩过大或者自转速度不足，都不能形成规则进动"
这话是你朴素的想象. 如果力矩时时刻刻垂直于角动量方向, 理想系统(无耗散/严格刚体)就是完美进动. 这个你接受不了, 是因为现实生活中无法想象这样的理想系统. 一个转的很慢的东西, 被一个时时刻刻垂直于它角动量方向的大力矩作用, 它的进动角速度比它自转的角速度要大得多, 的确没法想象.

这不是较劲，而是请教

下面教材的说法似乎不支持你的结论，是我理解有什么问题吗？


外力矩作用下的规则进动称为“强迫规则进动”，重力时刻向下力矩方向也必然水平，符合“力矩必须时时刻刻垂直于角动量方向”

根据你的论述，力矩一定时，很小自转角速度的陀螺都可能出现规则进动，只是进动速度要比自转速度大得多



以下均取自刘延柱《陀螺力学》，可以看出，这就是在考虑理想状态，不计摩擦及变形



针对这个陀螺，显然是理想状态

                               
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刘延柱《陀螺力学》第56页指出，力矩一定时，要形成规则进动，自转角速度必须超过临界值
低于此临界值，将不会出现规则进动
好像并不是“如果力矩时时刻刻垂直于角动量方向, 理想系统(无耗散/严格刚体)就是完美进动”
（为与图分开，加红）

原帖由 kxjh 于 2008-3-5 12:52 发表

                               
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陀螺进动和上面说的卫星在原理上类似的。陀螺受到的力矩（类似于卫星的引力）永远与其自转的角动量（类似于卫星的初速度）是垂直的，故角动量的大小不会变而其方向总是在变化，其表现形式就是陀螺的进动（类似于卫星的圆周运动）。

我说的也是这段话

这是事实，无可置疑，力矩的确只改变了角动量的方向，造成了陀螺进动

问题是力矩是如何改变角动量方向的，希望知道细节

                               
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原帖由 kxjh 于 2008-3-5 16:26 发表

                               
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因为：陀螺受到的力矩与其自转角速度相垂直，故这个力矩只会改变自转角速度的方向而不会改变其大小，而且其方向只能向与其垂直的方向改变；如果力矩大小不变，则方向的改变就是均匀的。可见陀螺的运动必须满足如下特征：自转角速度大小始终不变，自转角速度方向沿与其方向相垂直的方向均匀地改变。
所以：陀螺进动。

这个解释，可提炼为

因为：重力矩M方向水平
所以：陀螺不倒并进动

对此，我举出“理想非规则进动”，并正在向smile123网友请教

似乎，陀螺的稳定进动只是近似解，当力矩M很大时，不能使用通常的陀螺公式了。我对此没有很大把握，只是看到理论力学上讨论陀螺时，都要强调自转速度远大于进动速度，否则理论不能成立。

另外，对smile123说进动速度可以大于自转速度，对此我感到困惑。如果进动速度越来越大，要超过自转速度，必然有一个时刻两者相等，而进动速度=自转速度的话，分两种情况：
1、如果支点在球心，就是曾经讨论过的极移。
2、如果支点不在球心，就是最普通的定轴转动了。

这两种情况显然不能再称之为陀螺，不在讨论范围了。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-5 17:06 发表

                               
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这是事实，无可置疑，力矩的确只改变了角动量的方向，造成了陀螺进动
问题是力矩是如何改变角动量方向的，希望知道细节

简单地说：重力产生的力矩*时间（微分）=新增角动量，这个新增的角动量与原角动量进行矢量合成（注意右手定则），因合成后的角动量大小不变，故其矢量图为一个倒等腰三角形，原角动量和合成角动量是腰，由力矩新增的角动量为底（实际为顶哈）。

[ 本帖最后由 kxjh 于 2008-3-6 10:14 编辑 ]

原帖由 愚石 于 2008-3-5 17:14 发表

                               
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似乎，陀螺的稳定进动只是近似解，当力矩M很大时，不能使用通常的陀螺公式了。我对此没有很大把握，只是看到理论力学上讨论陀螺时，都要强调自转速度远大于进动速度，否则理论不能成立。

另外，对smile123说进动速度可以大于自转 ...

愚石网友好

因为只有在ω远大于Ω时，才能近似认为自转轴与总角动量矢量重合，略去了进动角动量
此时才能应用Ω=M/Jω计算进动角速度

smile123网友说的是“一个转的很慢的东西, 被一个时时刻刻垂直于它角动量方向的大力矩作用, 它的进动角速度比它自转的角速度要大得多”，此时不是定轴转动，仍然是在进动

就像下图，可以认为陀螺自转很慢，但是进动很快，比自转快得多

                               
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但是，现实中的确没见过， 33楼的教材似乎也不支持这个说法

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-5 17:36 编辑 ]

我尚不清楚问题的答案，似乎，楼主的问题实际上涉及到了陀螺运动的一般解，而书上通常讨论的是特殊解（特殊情况下的近似解）。

另外，楼主想避开动量矩定理来解释之个问题，可能有困难，但是并非不可能。

与此类似的是前两天刚刚讨论过的球壳对内部质点的引力为零。这个问题用三重积分确实可以证明，但是，前两天不是给出了不使用积分的证明方法？该方法简单明了，比积分的方法清楚多了。

因此，楼主的讨论或许真的能够找到好的解释方法，就算得不到好的结果，也没有什么。因此我支持这样的讨论。

原帖由 愚石 于 2008-3-5 17:14 发表

                               
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似乎，陀螺的稳定进动只是近似解，当力矩M很大时，不能使用通常的陀螺公式了。我对此没有很大把握，只是看到理论力学上讨论陀螺时，都要强调自转速度远大于进动速度，否则理论不能成立。

另外，对smile123说进动速度可以大于自转 ...

怎么回事？写了半天突然一下没了~~~~


因为只有自转角速度远大于进动角速度，才能认为自转轴与总角动量矢量重合，也就是略掉了进动角动量
这时才能应用Ω=M/Jω计算进动角速度

精确计算方法在《陀螺力学》里有介绍，但是真正的分析陀螺仪的漂移率，都是经验方程或技术方程，没有用纯理论公式的

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-5 17:35 编辑 ]