陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-16 10:55 发表

                               
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对此，本应不假思索地立即无条件接受，但是不行，因为陀螺现象不只这一种，理论上还存在陀螺运动方向不遵守M或dL方向的现象，谁也不能闭着眼不看事实。

原来你是为这个问题而疑惑不解！这就好办了
“陀螺运动方向不遵守M或dL方向”这很正常呀，就象速度不一定和加速度同向一样。M或dL方向是陀螺运动的角加速度方向而不是陀螺的运动方向，无章动如此有章动亦如此。

原帖由 kxjh 于 2008-3-16 16:04 发表

                               
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原来你是为这个问题而疑惑不解！这就好办了
“陀螺运动方向不遵守M或dL方向”这很正常呀，就象速度不一定和加速度同向一样。M或dL方向是陀螺运动的角加速度方向而不是陀螺的运动方向，无章动如此有章动亦如此。 ...

受教，“M或dL方向不是陀螺的运动方向”，好极了

这说明，M或dL的方向不能决定陀螺的实际运动，也就是说它们不是陀螺如此运动的理由，对吧？

那么，陀螺为什么不倒并进动？

因为：

这后面应该填什么？“因为力矩M（或dL）方向水平”显然不行了吧？

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-16 16:48 编辑 ]

原帖由 kxjh 于 2008-3-14 14:29 发表

                               
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当然不妥。因为在静系里看，陀螺受到的力矩有而只有一个——重力矩。就是这个力矩在维持陀螺规则进动，你把这个力矩去掉陀螺立刻就不进动了

施力物体是动系上相对于动系有线速度而且这个线速度与动系角速度方向不同的物 ...

怎么维持的？能描述一下吗？

哈哈，刚刚明白，原来这个帖子煞了这里的风景，罪过罪过

不过事情总要说清楚才好收场，关于“力矩如何维护陀螺进动”的问题，还是应该有个交待，说清楚了这个，自然就明白陀螺“为什么不倒却进动”了

前面kxjh已经明确表示，“M或dL的方向不能决定陀螺的实际运动”，也就是说不能再用dL/dt=M了

那么，陀螺的运动还是应该有个什么理由才好，要么就承认他“就是这样运动”或者实话实说？
（斗胆请各位耐心些，不愿意看这个帖子就当他不存在，等问题解决了，我自会消失~~~）

这几天一直在琢磨这件事，今天终于成功了！独乐乐不如众乐乐，赶快帖出来与大家分享！

一、科氏力矩$M_1$：

先看368楼已证明：在陀螺上的动系中，陀螺受到的科里奥利力产生的力矩（简称科氏力矩）`M_1=I\omega\Omega\sin\theta`

二、离心力力矩$M_2$：

      下面来计算离心力产生的力矩$M_2$，此力矩与重力矩方向相同，与科氏力矩方向相反。
如上图，取红色微块，它与圆盘垂直轴（即圆盘上最上方点与最下方点的连线）的夹角为`\psi`,
则$ab=l\sin\theta-r\cos\psi\cos\theta$，$ac=l\cos\theta+r\cos\psi\sin\theta$，$dF=dm\Omega^2 ab$

$dM_2=dF ac={m r d\psi dr}/{\pi R^2}\Omega^2(l\sin\theta-r\cos\psi\cos\theta)(l\cos\theta+r\cos\psi\sin\theta)$

$dM_2={m\Omega^2}/{\pi R^2}(l^2\sin\theta\cos\thetar+(\sin^2\theta-\cos^2\theta)r^2\cos\psi-\sin\theta\cos\thetar^3\cos^2\psi) d\psi dr$


$M_2={m\Omega^2}/{\pi R^2}\int_0^R\int_0^{2\pi}(l^2\sin\theta\cos\theta r+(\sin^2\theta-\cos^2\theta)r^2\cos\psi-\sin\theta\cos\theta r^3\cos^2\psi)d\psi dr$

$M_2={m\Omega^2}/{\pi R^2}\int_0^R(2\pi l^2\sin\theta\cos\theta r-\pi\sin\theta\cos\theta r^3) dr$

$M_2={m\Omega^2\sin\theta\cos\theta}/{R^2}\int_0^R(2 l^2r-r^3) dr=m(l^2-1/4 R^2)\Omega^2\sin\theta\cos\theta$

一点体会：大家可以计算一下合力$F=m\Omega^2 l\sin\theta$，则${M_2}/F=(l-{R^2}/{4l})\cos\theta$小于$l\cos\theta$，这说明F并没有作用在质心上而是要靠下。这其实也好理解，因为圆盘上的离心力是上小下大。所以雪鹰曾引一个教授的帖子说F作用在质心上是错误的。


三、进动角动量力矩$M_3$

      角动量端点的速度等于外力矩，这就是赖柴定理的精确表达（也就是动量矩定理的几何形式），具体到规则进动的陀螺上应用时只取角动量的水平分量就可以了。我们在规则进动中，用Iωsinθ*Ω=M是其近似表达（注意：Iωsinθ就是自转角动量的水平分量），近似在哪？就是忽略了进动角动量那一部分。有人说了进动角速度与水平面垂直，怎么会有分量？错！因为如上图中转动惯量I3不一定等于转动惯量I1，所以进动角速度与水平垂直而进动角动量不一定与水平垂直。
所以，进动角动量的水平分量为：
首先，把进动角速度分解到转动惯量为I3的自转轴和转动惯量为I1的平面上，分别为$\Omega\cos\theta$、$\Omega\sin\theta$
然后，把它们的角动量分别投影到水平面上，分别为$I_3\Omega\cos\theta\sin\theta$、$I_1\Omega\sin\theta\cos\theta$
最后，得水平面角动量为$I_3\Omega\cos\theta\sin\theta-I_1\Omega\sin\theta\cos\theta=(I_3-I_1)\Omega\sin\theta\cos\theta$
这就分角动量也在以角速度Ω绕进动轴转动，则其力矩$M_3$为：$(I_3-I_1)\Omega\sin\theta\cos\theta\Omega=(I_3-I_1)\Omega^2\sin\theta\cos\theta$

对于薄圆盘来说，$I_1=1/4mR^2+ml^2$（平移轴定理），$I_3=1/2mR^2$，则有$I_3-I_1=m(1/4R^2-l^2)$

得：$M_3=m(1/4R^2-l^2)\Omega^2\sin\theta\cos\theta$
显然，$M_3=-M_2$

四、结论：

      在静系中，$M_1+M_3=mgl\sin\theta$
      在动系中，$M_1=mgl\sin\theta+M_2=mgl\sin\theta-M_3$，此式与上式等价，故得证！
      一点说明：以上的证明虽然全部是用薄圆盘导出的，但如果将陀螺沿自转轴微分，则每个微分都是一个薄圆盘，所以上述结论均适用，那么积分后也就是适用的，因此此结论可用于任何拉哥朗日陀螺。

[ 本帖最后由 kxjh 于 2008-3-17 08:33 编辑 ]

恭喜！终于通关了

仍然要收藏起来

顺便问一句，482、483还继续吗？

kxjh 推出了薄盘的情况。
何不把薄盘再进一步简化收缩到四个质点。看看会得到啥样的结果。

愚石兄回单位了吗？

kxjh的整盘分析更具代表性，这是几年来我所见到的最为透彻的分析，我接触过陀螺专业人员，不客气地说，比kxjh的水平差很多。当然，也许我还是接触得少

还是要问kxjh是否还继续482、483，如果放弃，我将就485提出问题

时间不短了，我们几个应该对网友们有个交代了

再有，他的分析不能收缩为4个质点，因为他要用圆盘的转动惯量，这也是他的分析的科学之处

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-17 09:12 编辑 ]

愚石兄回来了！那我们继续。

原帖由 愚石 于 2008-3-12 07:33 发表

                               
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你可能忽略了这一点，对任意质点来说，相互正交的作用力是没有相互影响的。所以，陀螺在躺着的位置，自转与进动是正交的，两者产生的力是可以单独计算的。

正确！支持！

原帖由 愚石 于 2008-3-12 07:33 发表

                               
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因此，质点1、3产生的水平惯性力F1=V1^2/R,
V1=质点1的实际线速度=自转线速度+进动线速度
你和楼主可能都认为F1=进动线速度的平方除R，这是不对的，必须以它的实际速度V1计算。
V1 既绕Z轴转动，又绕自转轴转动。但是两个加速度相互垂直，因此可以单独计算。

这就不正确了。v1显然是静系的速度（也就是相对于惯性系的速度），相对于惯性系就没有离心力，离心力是相对于非惯性系才存在的。相对于固定在陀螺上与陀螺一起进动的非惯性系来说，只有自转速度而无进动速度，不管是线速度还是角速度。

原帖由 愚石 于 2008-3-12 07:33 发表

                               
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另外，绕Z周的水平加速度曲率中心就是Z轴，而不是附近。绕自转轴的加速度曲率中心才是“附近”，因为自转轴是运动的，所以瞬心总是偏于上方一点。

我是说其总体的曲率中心，因为规则进动ω>>Ω，故其曲率中心应在自转轴附近。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-17 09:03 发表

                               
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kxjh的整盘分析更具代表性，这是几年来我所见到的最为透彻的分析，我接触过陀螺专业人员，不客气地说，比kxjh的水平差很多。当然，也许我还是接触得少

这让我有些诚惶诚恐！！但我也可以自信地说我不比他们差，只是工作的分工不同走了不同的路。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-17 09:03 发表

                               
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还是要问kxjh是否还继续482、483，如果放弃，我将就485提出问题

482、483我不会放弃，这是我一贯的主张，问题是我觉得我说的很清楚了，目前确实不清楚你哪不清楚，你不要这么笼统，可以提具体问题。对于规则进动我还是建议你透彻地分析一下匀速圆周运动，这对你理解规则进动是非常必要和重要的！如果你能说清楚匀速圆周运动的物体受一个向心力而不掉到圆心去，那你理解规则进动就是轻而易举的了。否则别人说的再多也无济于事！
说句实在话，对于非规则进动，还是等你理解了（不是了解了！）规则进动再说吧。

至于485楼，你可以随时提问！我可以狂妄地说，这就是真理经得起任何推敲。

也许我们真的不能说到一起~~

在陀螺的运动中，重力矩M（或角动量增量dL）的方向是由数学叉积规则严格确定的，无论陀螺怎么运动，他们的方向都是水平的

当然，即使在高度理想状态下（无摩擦变形等），理论上也存在陀螺不水平运动，前面你也确认过边进动边下垂

如下图，陀螺轴端也许会水平进动，也许会向B、C等方向运动



现在需要说出陀螺运动的理由

你的理由是：因为力矩M方向水平，所以陀螺不倒并进动

如果陀螺在规则进动，的确如此，它的运动方向与M相同

但是，如果陀螺向B、C等方向运动，显然不在水平方向，你找到的理由还成立吗？

也就是说：因为力矩M方向水平，所以陀螺边进动边下垂

这句话是不是有问题？！就回答“是或否”即可

我说的不清楚吗？

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-17 16:49 发表

                               
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在陀螺的运动中，重力矩M（或角动量增量dL）的方向是由数学叉积规则严格确定的

这是由右手定则确定的，和数学矢量叉积没有关系。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-17 16:49 发表

                               
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当然，即使在高度理想状态下（无摩擦变形等），理论上也存在陀螺不水平运动，前面你也确认过边进动边下垂
如下图，陀螺轴端也许会水平进动，也许会向B、C等方向运动

不用高度理想状态，非高度不理想状态一样存在陀螺不水平进动，如陀螺在其一端被释放的瞬间。
你那个图我没看懂，如果是水平投影图M的方向就不对了。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-17 16:49 发表

                               
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因为力矩M方向水平，所以陀螺边进动边下垂

这话显然没有因果关系！而且这话也不是我说的是你说的！力矩方向水平只能说明一个问题——不管陀螺如何运动其角动量的增量永远是水平的！

不错，是右手螺旋

陀螺规则进动也是运动，非规则进动（下垂）也是运动，他们遵循的必然是一个“道理”

既然“因为力矩M方向水平，所以陀螺边进动边下垂”不具备因果关系，那M的方向就不是陀螺如此运动的“理由”，不是吗？

既然“不管陀螺如何运动其角动量的增量永远是水平的！”，也就是说dL不能决定“陀螺”如何运动，不能成为陀螺运动的理由

那么，“因为力矩M方向（dL）水平，所以陀螺不倒并进动”，这个理由还成立吗？

原帖由 kxjh 于 2008-3-17 17:38 发表

                               
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引用:

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-17 16:49 发表

                               
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因为力矩M方向水平，所以陀螺边进动边下垂

这话显然没有因果关系！而且这话也不是我说的是你说的！力矩方向水平只能说明一个问题——不管陀螺如何运动其角动量的增量永远是水平的！

难道“因为力矩M方向水平，所以陀螺不倒并进动”就有因果关系？

原帖由 kxjh 于 2008-3-17 15:48 发表

                               
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愚石兄回来了！那我们继续。

刚刚到家。这两天在在北京，每天抽时间到网吧玩一会儿。

不过，下来的几天没有时间在这个物理问题上讨论。因为我们给ApJ稿件遇到了麻烦，审稿人不同意我们的观点。好在编辑来信，要求我们对审稿人的质疑给出回答，然后他会把我们的文章和辩解意见再转给另外的审稿人审查。我们需要认真准备辩解意见。

无须微积分，也不用列大堆式子，我用高中物理知识就能说明陀螺为什么能水平进动~~嘿嘿，让我给高中生去讲这个，都没问题

不好意思，上面的各位大哥大姐，我就看了这一页，看了楼主和kxjh的大堆高难公式，实在是汗！！！
其实这是个简单的物理问题，高中知识就能准确解答，明明一条很近的路，同志们非要绕大圈。
如果有个陀螺，咱们面对面，都不用笔，我用手指再加嘴说3分钟，就圆满解决

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-17 22:16 编辑 ]

这就是个惯性定律，单用惯性就能解释通

原帖由 511103023 于 2008-3-17 21:00 发表

                               
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无须微积分，也不用列大堆式子，我用高中物理知识就能说明陀螺为什么能水平进动~~嘿嘿，让我给高中生去讲这个，都没问题

的确如此，除了那些钻进了牛角尖的

[ 本帖最后由 fslhb 于 2008-3-17 22:22 编辑 ]

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-18 00:42 编辑 ]