陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

原帖由 雪鹰J 于 2008-8-11 10:11 发表

                               
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银河负熵仍然认为除了实验，单纯讲道理没有出路吗？

自己推的公式差一个比例系数2，不知道从哪能找回来。

经典!!!!!!!!!!!!!!!!!   呵呵

原帖由 银河负熵 于 2008-8-12 21:17 发表

                               
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自己推的公式差一个比例系数2，不知道从哪能找回来。

提供一个思路

                               
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dv=adt=(βrsinx)dt
你这里的x应该换成ωt

为了说明问题，请变换一下视角，跟着我的思路走，看看是否能帮你找到那个“2”

只考察速度与盘面垂直的分量，该质点的运动俯视图如下

速度大小时刻在变化v(t)=ΩRsin(ωt)
同位置同时刻同方向，必然有加速度存在a(t)=ΩωRcos(ωt)

但是由于速度方向也在时刻变化，所以此时速度和加速度不具有直接导数关系
因此以上所得出的不是真实的加速度

参照旋转系运动物体的科里奥利加速度的计算，可得a[sub]k[/sub]=-2ΩωRcos(ωt)
科氏加速度也是与质点的速度同位置同方向同时刻，时刻与盘面垂直
因此，真实的加速度应该是直接计算的2倍，即：只有一半加速度参与了速度大小的改变，换句话说，你根据dv的变化只得到了一半加速度（1/2），或者你根据加速度（βrsinx）直接计算的进动角速度大了一倍（2）

也许这就是你要找的“2”

于是你的dv=adt=(βrsinx)dt
应该改成2dv/dt=a=βrsinx

你再试下看



这也是困扰了我很久的问题，在一楼我说过“如果定性分析侥幸通过，接着将进行定量分析”就是指的这部分，可惜半年多的时间，1800余贴，一直没有机会展开
内容较多，我又是非专业叙述，没把握清晰准确，有什么问题可随时交流
（通过矢量分析，参照上图，根据加速度βrsinx直接推导速度，也会得出相差一倍的结论，只是过于繁琐）

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-8-14 08:22 编辑 ]

银河负熵网友卡住了？

所考察的“点”是运动的，经过dt 时间，不但位置有变化，运动的方向也变了，两方面都要考虑，因此，直接求导是不可取的
必须在考虑速度大小变化的同时，考虑速度方向的变化
方向的变化也需要外力参与，因此要消耗一半的“βrsinx”

能理解吗？

雪鹰能否用公式结合矢量图说明一下，不是太懂。

这帖子真长 看完了 虽然没怎么弄明白陀螺怎么动的 不过感觉 愚石还是挺有风度的

原帖由 银河负熵 于 2008-8-18 17:27 发表

                               
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雪鹰能否用公式结合矢量图说明一下，不是太懂。

这需要用反证法，根据质点在运动的过程中的速度变化，分析其加速度
俯视规则进动圆盘，可以看到如下情形
质点在红色直线上作往复运动，同时红色直线以匀角速度Ω绕O点旋转
（质点在随盘进动过程中的水平投影）

显然，该质点在垂直方向的速度是变化的（图中v1和v2），也就是你图中的dv
速度不可能无缘无故变化，加速度也不可能凭空产生，必须要与外力矩M联系起来
速度变化，必然具有加速度，只要建立加速度与力矩M的直接联系，就可以知道速度为什么如此变化，从而也就知道了在力矩作用下圆盘为什么进动

由于你已经建立了dv=adt=(βrsinx)dt=[(M/I)sinx]dt
也就是建立了速度变化与力矩的直接联系，所以我说你走在正确的道路上

现在的问题是，你只考虑了速度大小的变化，遗漏了速度方向的变化
根据上图，可以准确求出质点的加速度
其值为a=-2ΩωRcos(ωt)

用矢量法推导极为复杂，请参考以下链接
http://www.ddhw.com/blog/viewblog.aspx?msg_id=1&user_id=4673&category=4&type_name=%d6%ca%60%b5%e3%60%b1%e4%60%be%b6%60%d7%aa%60%b6%af

用解析法比较简单，请参考以下博士家园拉普拉斯网友的论证

重新来一遍，根据题意：
位移矢量：
r=Rsin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j)
求导得速度：
v=ωRcos(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j) + ΩRsin(ωt)(-sin(Ωt)i+cos(Ωt)j)
再求导得加速度：
a=-ωωRsin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j) + 2ΩωRcos(ωt)(-sin(Ωt)i+cos(Ωt)j) - ΩΩRsin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j)
容易看出，第一，三项都是沿AB方向的，其实，第一项就是沿AB简谐振动的加速度，第三项就是向心加速度。
第二项是垂直于AB方向的，所以第二项的模即为所求：2ΩωRcos(ωt)
它和你算的答案的形式很接近，但差一个2，这是为什么呢？

是这样的，在垂直AB的方向上，你漏掉了一部分加速度。


呵呵，看到了吧，实际上你那相差了个系数2的困惑我也有过

这个2ΩωRcos(ωt)就是闻名遐迩的科里奥利加速度，应该就是你的dv/dt，只需要将你公式中的x变为ωt即可，注意我选的是与竖直轴的夹角，与你的x互补，因此你的公式变为dv/dt=βrsinx= (M/I)Rcos(ωt) =2ΩωRcos(ωt)
得：Ω=M/2Iω=M/Jω……这就是经典的规则进动角速度表达式，于是你的“系数2”的问题得以解决

能理解吗？

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-8-19 10:13 编辑 ]

科里奥利加速度是相对非惯性系的，我们观察者是惯性系的，这个会不会有偏差？

科里奥利加速度的“值”历经千锤百炼，这个“值”是不会错的，所以那个“系数2”一定存在

现在的问题归结为惯性系和非惯性系

严格地说，在惯性系，科里奥利加速度是不存在的，同时你的βrsinx也不存在，也就是不存在角加速度M/I

但是如果这样，就不能在进动和力矩之间建立直接联系，而退回到“根据运动反推力矩”的经典力学尴尬的分析方法，也就永远不能明白力矩怎么会让陀螺进动了

因此，要想真正揭开陀螺运动与力矩的关系，必须沿着你开始的思路，从力矩出发，一步步推导陀螺的运动，也就是必须体现“进动很自然的出现了”这条因果链

我始终认为，这条因果链是正确的，而且是唯一的，你现在只是需要解决系数问题，那就要参照科里奥利加速度了（请深入分析1853的俯视图），如果你理解了上述过程，“系数2”的问题自然得解，我们可以继续向纵深探查，还有很多内容值得一试~
（呵呵，看你是否有兴趣了~）

当然还有一个更加实际的鉴别方法，那就是进行实验，可惜我们都不具备条件



这或许需要有一个本质的飞跃，即：暂时抛开人为规定的“惯性系非惯性系”羁绊，轻装前进，直接从“外力作用导致运动变化”的牛顿最基本思想来认知世界
能抓住老鼠就是好猫，能解释陀螺运动因果关系的就是好思路，管他什么那么多规矩

猫再好看，不会抓老鼠也只能是摆设

哇，万年不沉帖哈~~
时隔好久，上来发现还在讨论中，而且直冲百页了，赞！

顺便插嘴说一句：

暂时抛开人为规定的“惯性系非惯性系”羁绊，轻装前进，直接从“外力作用导致运动变化”的牛顿最基本思想来认知世界
能抓住老鼠就是好猫，能解释陀螺运动因果关系的就是好思路，管他什么那么多规矩

千万别用这个“抓老鼠的猫”的思想处理问题，大部分民科都是基于此思想而走进死胡同的。
如果是你自己创造的理论，你可以定义你的规矩；但如果使用别人的理论，你就必须遵守它的规矩。不依规矩不成方圆。
“外力作用导致运动变化”，没错，但是这个是在惯性系下做出的结论。把它naive的推广到非惯性系下，就会带来错误：

脸：哎呦，谁打了我一拳？
鼻子：我动了吗？
眼睛：你没动，还在我下面。
大脑：雪鹰说的道理在我这儿不对。

呵呵，可惜你这只猫用尽浑身解数，也没抓到老鼠~失礼失礼~

最后的结论不过是：
倾斜的陀螺，系统角动量就是要水平变化（dL/dt=M），陀螺就是要跟随或者不跟随系统角动量运动
严格地说，这是因果倒置
应该说：因为陀螺进动，所以系统角动量水平变化

再有就是：陀螺自转时不倒和不转时倒下一样正常，不需要问为什么

这当然不是你的过错，而是你所学的知识出了问题，精研并透彻理解托勒密天体理论的高手，面对“太阳为什么升起来”这只老鼠，也是束手无策

精通经典力学如你者，面对“陀螺为什么进动”这只老鼠，一样束手无策

不过你承认自己的142楼定性解释正确，说明在朦胧之中，你已经窥探到了真实的图像，只是不敢再深入了
我可以负责任地说，你的142楼是反传统的，走下去必然会与银河负熵同样结果，进动角速度与力矩作用下的角加速度直接相关
我认为这才是陀螺运动的真实写照，然而却与经典力学水火不容，因为经典力学不考虑角加速度
无奈啊，你不肯继续走下去了~


还有多说几句“民科”问题，人们已经达成共识，凡与教科书不符，立即认定为民科并鄙视之
所以，我们的讨论是不公平的，这种不公平不只体现在学识方面
不管我说什么，看客们先入为主地认定我错了
不管你说什么，基本上无人反对
你曾经狂赞愚石那漏洞百出“离心力”，没有人责难你
你我同样引入角加速度概念，被人尊为“很有风度”的愚石对我百般指责、极尽讽刺挖苦之能事，对你却不敢出一口气
呵呵，其原因盖因为你代表“官方”，而我代表“民间”
这都摆在前面，此贴不消失，证据永远存在

呵呵，再次告罪~失礼失礼，你是我几年来遇到的最好的论友，不但学识过人，而且始终态度谦和，我们说不到一起，不过是世界观不同罢了

我认为
是猫就要抓老鼠，不会抓老鼠的猫不是好猫
是理论就要解答问题，解答不了问题的理论不是好理论
而你认为
不能用能否抓老鼠来评价一只猫
不能用能否解答问题来评价一个理论

这或许就是我们的区别

我现在又重新和3年前的老对手开战了，这位对手是著名的反相民科，具有相当的数理水平，通过严密的数学论证并引经据典，他现在甚至连规则进动都不承认~唉，又要从头来了~
有兴趣请前往参观，就当是消闲

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-8-21 13:23 编辑 ]

142楼是反传统的？汗……
142楼是严重传统的，因为这种思考方式正是牛顿年代的思考方式。
我不打算继续142楼完全是因为这种方式过于过时了，我们有18世纪之后的思考方式，而不是17世纪的方式。
我不同意猫和老鼠的评价观点是指：这只猫不能在打破花瓶的前提下抓住老鼠。我们必须有一些基本前提去承认，包括对于参考系的认识必须明确。
其实，刚体力学抓老鼠的本领更强，而且不会打碎花瓶。只不过它抓老鼠的技巧比较复杂怪异，难以理解而已。我试图给你讲过它是怎么抓老鼠的，但是你显然连它的前提都不能接受，那就没办法了。
要不是我现在完全没有时间，我真想用质点力学把刚体力学的几个基本前提给你严格证明出来。由于时间的关系，我只能负责任的告诉你，这些证明是严格成立的。也就是说，这些理论都是殊途同归的，没有必要争论谁对谁错，只需争论谁更简单更清楚就够了。

问题的关键在我们对142楼后续讨论的185、191楼

你的反传统体现在下面这句话

原帖由 bearcat 于 2008-3-7 21:56 发表

                               
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难道我说的还不够清楚吗？
把那个力偶分配到圆环的各处，每处都有一个加速度，这个加速度维持了速度的变化。
我前面分析里说过了啊。

将力偶分配到圆环各处，每处都有一个加速度
这个线加速度必然是a(θ)=αRcos(θ)如下图

                               
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这就不可避免地引入角加速度=力矩/转动惯量，注意这个转动惯量是对3-9轴的赤道惯量





速度变化如下图v(θ)=ΩRsin(θ)，直接与进动角速度Ω相关

这个速度变化不会无缘无故出现，必然是受力的结果，这个力你找到了，就是“来自力偶的圆环各处的加速度”

无论从形式上还是内容上看，两者都存在着深刻的内在联系，正如你所言“这个加速度维持了速度的变化”，也就是银河负熵所说：进动自然出现了

a(θ)=αRcos(θ)→v(θ)=ΩRsin(θ)

很早我就表示赞同这个思路，认为这才是陀螺进动直观的、简洁的、唯一的理由
但是你也必须看到，这是反传统的，不信你就抽时间从加速度直接推导速度，看你能否推出经典进动角速度公式

为什么说你反传统，我当然有根据
经典力学直接从v(t)=ΩRsin(ωt)出发反推加速度，推出了科氏加速度ak=-2ΩωRcos(ωt)，但是总不能说v(t)的变化起源于它自身引起的科氏加速度，那显然是逻辑混乱

事实表明，他们从不管v(t)为什么变化，因此他们从来也不认为v(t)与a(θ)=αRcos(θ)有关，他们不抓老鼠
而你认为两者有关，并试图追查v(t)为什么变化，你真的要去抓老鼠

所以我断定你在反传统
我认为你现在只有两条路，1、放弃自己正确的思路，不再抓老鼠；2、坚持真理，同时不可避免地与传统观念发生冲突

或者还有第3条路，协调两个水火不容的矛盾，使其共存~不过我看根本就是死路一条

何去何从，希望你有时间的时候自行做一个了断

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-8-23 11:34 编辑 ]

sigh，你犯了一个和我所见到的民科们一样的错误：先开枪，后画靶子。

谁说经典力学就是从现象反推原理了？反正我没这么说过，教科书上也没见到这么写过。如果你看到的某些推导是这样的思路，那完全是因为数学上的简便而已。把这个当作靶子实在是现代版的唐吉柯德战风车。

在牛顿时期，也就是十七世纪，那个时候的风潮就是你现在的思路或者是我142楼的思路：一切从力和加速度出发，从上帝的第一推动出发。后来当人们发现有更快捷的办法来解决刚体力学问题之后，就不再继续纠缠在繁琐的积分中了。当然，这些快捷的方法是被事先用数学手段严格证明了与原来的方法等价的。

所以，你的思路不是反传统，而是返古。

我觉得不是返古，而是打破沙锅问到底，追查其跟本原因，这原因用简单的角动量原理很难说清发生了什么过程，整个过程被掩盖起来了，难于理解到底是怎么回事。运动方程又要有一定的基础才可以掌握，用简单的牛顿定律推出基本的进动公式，应该是完全可行，而且直观理解的。不用运动方程或角动量定律，因为一个过于简单，一个过于复杂。牛顿定律应该恰到好处。

用牛顿定律肯定是可以推出陀螺的一切运动的，而且与刚体力学的计算结果会完全一致，这个毋庸置疑，因为在几百年前就被用数学严格证明了的。
显然，这个牛顿定律版本的推导很麻烦，有好多细节要注意，是个不错的大作业题，但我懒得推也没时间推。
如果能够换一个角度去定义“根本原因”，事情会变得非常顺利。但显然，雪鹰不接受这种方式。
那么，你们可以试着用牛顿定律推一下，完成这个大作业。
我给几个小tip以避免你们走弯路：
1、建议针对一个圆环模型进行推导，不要用带着轴的圆盘，以尽可能的把对象搞得简洁些。前面愚石曾经用过（是吧？突然找不到那个帖子了）四个点来代替圆环，是个好思路。如果对微积分的运用比较纯熟，圆环的复杂度也可以接受。
2、千万要从头至尾采用同样的参照系和坐标架！可以采用外部的静止参照系，坏处是每个点都会有很复杂的运动（会有好多sin、cos之类的东西搀和在一起）；也可以采用固定在圆环上的参照系，坏处是必须引入惯性力（包括科氏力）；如果坐标架选取直角坐标架，坏处是每个点都有三维的位置、速度、加速度；如果选取球坐标架可以把运动简化为两维，但是表达式会变得异常复杂；也可以用随动的柱坐标架，也是两维的问题，但是表达式会因惯性力等原因变得同样复杂。
3、在推导的过程中，一定要把每个时间瞬间的每个点的位置、速度、加速度的表达式都写清楚，列成表格，不要混乱。
4、“进动角速度”是刚体力学中的概念，牛顿定律中没有这个概念，所以必须重新定义。在一个严格定义的基础上才能写出它的表达式。类似的，任何没有经过牛顿定律定义的量都必须出现在它的定义之后，不能假设读者“已知”这些概念。
5、圆环模型并不能解释所有现实中的现象，更为基本的形状是三轴椭球体。关于三轴椭球体的大作业原则上可以解决所有转动的问题，但显然，试图完成这个作业等同于自虐。

[ 本帖最后由 bearcat 于 2008-8-24 14:36 编辑 ]

转动定律没你说的出现那么晚吧？牛顿时代应该就有了，（微积分发明以后），另外转动定律已然包括各种形状了，表观进动量只需要分析最端部的点就可以得到，不需考虑形状。另外坐标系个人觉得不用那么复杂，参考系选用静止系，在微分情况下，，盘的转动也是比较简单的。

你和雪鹰不是想仅用牛顿定律来解释陀螺运动吗？可是牛顿定律是质点动力学的定律，所以必须先给一个形状，然后才能逐点分析啊。这个模型当然越简单越好，否则逐点分析岂不是累死了。
牛顿定律还有一个问题是不能直接给出刚体的特点：组成刚体的各点相对位置不变。所以必须采用合理的受力分布来保证这一点，这就是我很早说的把力偶分散到圆环上，这样来保证圆环不会在运动过程中变成弯曲的面条。
所以不要小看这些基础，否则会在后面的计算中遇到麻烦的。

回复LS

用到的公式是牛顿运动定律和转动定律，可见1831＃

原帖由 银河负熵 于 2008-8-24 14:07 发表

                               
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我觉得不是返古，而是打破沙锅问到底，追查其跟本原因，这原因用简单的角动量原理很难说清发生了什么过程，整个过程被掩盖起来了，难于理解到底是怎么回事。运动方程又要有一定的基础才可以掌握，用简单的牛顿定律推出基本的进动 ...

强烈同意！
角动量定理以及分析力学（陀螺不倒就和苹果掉下来一样正常）都不能说明白到底是怎么回事，只是干巴巴地说：这太正常了！
实际上这不用谁说，大家都看到了，的确正常，就像天天太阳升起、苹果要掉到地上而不是飞上天一样，正常得都可以视而不见了，但是为什么会如此“正常”呢？
谁说清楚了吗？



to熊猫：

事实胜于雄辩，我等着你继续142楼，呵呵，你也看到了，我有的是时间，你什么时候继续都可以

并且我断定你必然得到银河负熵的结果，因为残酷的因果律规定，真正的原因只有一个、两点间最短连线只有一条，陀螺不倒的道理只有一个，你的142、银河的1831、我的1楼，都在这条线上，因此，按正常逻辑，最终会走到一起

所以我仍然断定，你只要坚持真理、走正确的道路，就必然会与传统观念发生不可调和的冲突

其他的话不多说，请尽快实战