陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

首先，我要给你个奇怪的要求：忘记以前学的所有东西。
因为那些东西你没有嚼烂，容易误导。
所以我的方案是：只有明确定义了的概念才能拿来用，所以尽量少用特例体系中使用的特殊概念（比如定轴转动中引入的几个概念）。

第二，你得先接受一个事情：力矩是改变刚体角速度的原因。
这个的理由我还没有仔细讲过，只是类比了一下。书上写的也大部分浮皮蹭痒，实际上从逻辑上看，这句话是力矩和惯量的定义，而不是性质定理。因为只是定义，所以反对它是没有意义的。但具体它为什么是定义而不是定理，还得从牛二律讲起，说来话长。

第三，你还得接受一个数学事实：角速度的改变就是角加速度。
这个就是角加速度的定义，可以用数学手法完全确定的。这个具体的数学逻辑我就不多说了，估计你也不至于反对这个。

第四，物理量，在数学上看到底是什么，以及被允许是什么？
这个问题留到以后说，如果你要求我给你讲牛顿定律的意义的话。
不过你有可能会在这里出现点疑问，尤其是对于不规则陀螺的问题。

好了，做了很多铺垫（包括前面的一系列帖子，别小看那些帖子，我可是字斟句酌的），我开始真正进入陀螺问题了。

考虑这个陀螺，在质心系下隔离物体的看：


假设某时刻以及之前，陀螺一直绕A轴旋转。（把A轴方向定为X坐标方向，如左上坐标架，以利说明）
当然，这个时候它只有自转，自转轴和角速度都在A轴上。

现在，某一个时刻，它受到了一个力矩，比如一个短时间的、方向朝向纸内（即Y方向）的力矩。（和你画的带支点的那种情况差不多）
那么，下一个时刻整个系统将如何运动呢？

因为力矩方向是Y方向，那么角加速度方向也一样，在短时间内的积分也一样。
所以，新的角速度的方向朝向B方向。这个B方向和A方向都在XY平面上，B比A向Y方向偏了一点。
可是，这个只是瞬时角速度的方向，此时A处的那根杆还没有动。
那么这根杆下一时刻将如何运动呢？
显然，它应该围绕角速度的方向B运动，因为角速度是整个体系的角速度，杆也不例外。
用右手螺旋的规则看看这根杆的运动：它的右端先向下，再向Y方向，围绕B轴画了一个圆弧。
这是什么？章动+进动啊！
至于圆盘上的点，因为A和B偏差很小（因为考虑的是一段很短的时间），所以几乎还是原来的“自转”，只不过在“自转”的同时随着杆的轻微转动而偏离了原位置，轴从A变成了B。
这是什么？进动中的“自转”啊！

这个分析只考虑了进动产生的那一瞬间，所以自然的带了章动。
如果要考虑稳定的规则进动，那就更简单了：只要进动的“角速度”（我加括号了哈，你明白就行，不严密）合适，杆可以刚好跟上角速度的步伐，从A方向跑到B方向，它就只绕着自己转就好，就不会有章动了。只有在这种苛刻的要求下，规则进动才会发生。

因为上面的分析只考虑了一瞬间的事情，此时A方向和B方向都在XY平面内，所以不能完全代表杆偏离XY平面之后的情况。
所以实际上，杆绕着B转动的状态只有那么一瞬间。下一时刻，杆和角速度的方向都发生了变化，但仍然杆要绕着角速度的方向转动。
所以，章动+进动导致杆的右端画出的曲线不是正的圆弧，而是类似摆线的曲线。这个可以一点一点的计算出来。这里从略。

无论我是否同意你的论述，都必须向你表示敬意
当然，我对其他各位论友也很尊敬

另：我认为“质点运动”可以与“苹果掉下来”直接挂钩，“力”导致运动，所以他才是最本质的，才能透彻表达真实的物理内涵

原帖由 bearcat 于 2008-3-29 01:53 发表

                               
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因为力矩方向是Y方向，那么角加速度方向也一样，在短时间内的积分也一样。
所以，新的角速度的方向朝向B方向。这个B方向和A方向都在XY平面上，B比A向Y方向偏了一点。
可是，这个只是瞬时角速度的方向，此时A处的那根杆还没有动。
那么这根杆下一时刻将如何运动呢？
显然，它应该围绕角速度的方向B运动，因为角速度是整个体系的角速度，杆也不例外。
用右手螺旋的规则看看这根杆的运动：它的右端先向下，再向Y方向，围绕B轴画了一个圆弧。

可见你的新角速度方向，是需要自转轴方向与水平垂直的章动方向的两个角速度合成的，不管有多小，这个章动角速度≠0，都必须有

如果要考虑稳定的规则进动，那就更简单了：只要进动的“角速度”（我加括号了哈，你明白就行，不严密）合适，杆可以刚好跟上角速度的步伐，从A方向跑到B方向，它就只绕着自己转就好，就不会有章动了。只有在这种苛刻的要求下，规则进动才会发生。...

现在，你我都知道，理论上存在严格的规则进动（章动角速度=0），即再也没有章动角速度，可见再也不能合成出新的角速度，因此，开始分析的那一刻，那个“角速度”指向什么方向，它就永远锁定那个方向，不会再改变。

应该不能说，现角速度与一个没有的东西合成出新的角速度

所以，按你的推论，陀螺将不再进动。

我认为，你的解释与dL/dt=M异曲同工，只是将“角动量”换成了“角速度”，将“力矩”换成了同方向的“角加速度”

也许认识深度不够，或许该得到你的批评







实际上，你已经认为“在水平的角加速度作用下，产生了垂直方向的角速度（变化）”
水平的角加速度在圆盘上的真实分布情形如下，（化成边缘的线加速度）

正是他（角加速度），导致圆盘边缘出现这样的速度分布

并且这个速度分布就是你142的思想，它与上图简直是珠联璧合，中间几乎连一层纸都没有了

看一看，加速度最大的时候，速度为0；速度最大时，加速度为0；如此清晰的一幅简谐运动速度与加速度关系的图像，你怎么硬说乱呢？

就是在角加速度（力矩）的强迫下，圆盘出现“规则进动”，难道不是很生动吗？别人不能理解，你也不能？

难道你那“角速度矢量与垂直方向的0矢量合成出新的角速度”就不乱？

还有更严重的问题，也就是迫使kxjh说出“不能由力矩方向就导出陀螺如何运动”的非规则进动，理想系统，陀螺轴端不再水平运动，而是十分规则地向斜下方运动

首先确定一点，我们在追寻陀螺运动的“原因”，当然要用“因为……所以……”

你的“新角速度”方向无论如何都不会下倾，即使允许不断合成，永远也不会离开最初自转轴所在的锥面，与陀螺本体越来越远

比如下图，你的所有新角速度，与铅垂轴的夹角永远不变， 而陀螺却慢慢趴在地上，因此，我不认为你的角速度合成就能替代陀螺运动，就能充当“因为…… ”的角色，“所以陀螺如此运动”

能够这样说吗？因为角速度始终位于同一个锥面，所以陀螺将在这个锥面进动，或者不在这个锥面进动

                               
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果然是眉毛胡子一起抓

角速度是伪矢量 。怎么加？

角动量也一样，都是不能进行矢量合成的东西

除非它们在一条直线上

如果有谁用这样的公式：总角动量=自转角动量+公转角动量 ，那他脑袋肯定是进了不少水（当然我脑袋也进过这样的水，不过我看正规军也这样）

可别说要当别人老师（当然这话是为了泄气，某人曾经说过当我的老师绰绰有余，并说我无资格讨论陀螺）

请看有资格讨论陀螺的正规军的观点：1 ，应用“刚体定点角动量定理”（经查证属于自造）。2  不同方向的角速度可以合成，不同方向的角动量可以合成. 3 超级自我为中心，不听劝。闭关锁国类型。关键就是这个3 ，最起码我很少有3这种类型，别人说我观点有问题，我会仔细考虑一遍自己究竟有没有问题，但是对有些人来说，别人质疑他们的时候，他们连想都不去想

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-29 17:05 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-28 22:56 发表

                               
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简答一句，有加速度不见得有速度，希望你能认同，同时，在速度峰值时，也不见得有加速度

详细回答等我应付过kxjh，他的质疑更犀利，并且很快可能就涉及你的问题，敬请关注

看来你的数学知识还需要补习一下。

角度，角速度，角加速度，这三者的关系是：
角速度是角度的导数，
角加速度是角速度的导数，
这两个关系你承认吧？

你的结论是M不会让圆盘绕3-9轴反转，也就是角度θ恒等于0。这你也承认吧？
那么，你必须承认，对应的角速度和角加速度a必须恒等于零。因为这是起码的数学常识：
“只有速度和加速度恒为0，位移才能恒为0”。
“只有角速度和角加速度恒为0，角位移θ才能恒为0”。
在你确认0-6轴恒垂直以后，前边的角加速度的讨论已经毫无意义。

至于你说的：“有加速度不见得有速度”，“在速度峰值时，也不见得有加速度”，这只在
讨论瞬时值的时候才有意义。你忘记了一个数学常识：“只要有加速度，必定在某些时刻有速度，在某些时刻有位移”。

如果你认清了这些数学常识，就结束你的争辩吧！






[ 本帖最后由 愚石 于 2008-3-29 17:55 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-29 10:48 发表

                               
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比如下图，你的所有新角速度，与铅垂轴的夹角永远不变， 而陀螺却慢慢趴在地上，因此，我不认为你的角速度合成就能替代陀螺运动，就能充当“因为…… ”的角色，“所以陀螺如此运动”

能够这样说吗？因为角速度始终位于同一个锥面，所以陀螺将在这个锥面进动，或者不在这个锥面进动

                               
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看来楼主非要推翻dL=Mdt。
那我就给你解释一下你说的慢慢趴下这个问题。
分两种情况论述如下：

第一种情况。
本来规则运转的陀螺，支点处出现了阻碍陀螺进动的摩擦力矩。这时候，因为增加了一个指向下方力矩，陀螺受到的总力矩不再是水平的，因此，进动方向就向下方倾斜，脱落开始下趴运动。也就是说，考虑上摩擦力矩以后，dL=Mdt 仍然是成立的。也可以说，向下的分量，是由摩擦力矩贡献的。

第二种情况。
刚刚撒手，陀螺下坠，并开始进动加速。在进动速度达到规则进动需要的转速之前，陀螺会边进动边下坠，同时进动速度在不断地提高。这时，自转速度的方向向下偏斜，好像是与M不同向了，但是，你不要忘记，总动量的改变包括两部分：自转速度方向和进动速度的大小。自转速度的动量向下方改变，可是进动动量的改变是垂直向上的。这两部分矢量相加以后，总动量仍然是沿着水平方向变化。所以，dL=Mdt 仍然是成立的。直到落地为止。

你有疑问，是因为：
在第一种情况下，你遗漏了摩擦力矩。
在第二种情况下，你遗漏了公转动量的变化。

在第二种情况下，我预料你会用顺时针转动和逆时针转动时的公转动量矩方向问题反驳我，如果真是那样，建议你仔细考虑以后再说话。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-3-29 19:51 编辑 ]

原帖由 愚石 于 2008-3-29 19:09 发表

                               
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看来楼主非要推翻dL=Mdt。
那我就给你解释一下你说的慢慢趴下这个问题。
分两种情况论述如下：

第一种情况。
本来规则运转的陀螺，支点处出现了阻碍陀螺进动的摩擦力矩。这时候，因为增加了一个指向下方力矩，陀螺受到的 ...

看来你是没有认真领会221楼，我都白贴了

我不反驳你，等熊猫吧，他比我们看的深

再有，提醒再检查一下你现在的F1公式，也许不像你声称的那样“没问题了”


验算一下，当陀螺自转速度无穷大，U=0的时候，看看还有什么可以托柱陀螺

请看有资格讨论陀螺的正规军的观点：1 ，应用“刚体定点角动量定理”（经查证属于自造）。
======================

不是自造，你引用的资料属于初等物理学内容，还没有涉及刚体定点转动，在我给你的书中，有相关内容，为了简洁，一般使用等效的赖柴尔定理M=u

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-29 20:04 发表

                               
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看来你是没有认真领会221楼，我都白贴了

我不反驳你，等熊猫吧，他比我们看的深

再有，提醒再检查一下你现在的F1公式，也许不像你声称的那样“没问题了”
123316

验算一下，当陀螺自转速度无穷大，U=0的时候，看看还有什么可以 ...

式子展开后化简为：
`F_1=frac{m(U^2-2uU)}{R}`

当`u`趋于无穷大时，`U`趋于0，只要陀螺仍然平衡，这时的`2m uU`项保持不变。`U^2`项趋于零。

`F_1 \approx -2m u\Omega`
`F_3 \approx 2m u\Omega`
`F_2 \approx 0`
`F_4 \approx 0`
`F_o = F_1 + F_2 + F_3 + F_4 \approx 0`


总之，陀螺支座的水平力趋于零。

这个结果不是挺合理吗？你不相信这样的结果吗？

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-3-29 20:34 编辑 ]

原帖由 愚石 于 2008-3-29 20:23 发表

                               
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式子展开后化简为：
`F_1=frac{m(U^2-2uU)}{R}`

当`u`趋于无穷大时，`U`趋于0，只要陀螺仍然平衡，这时的`2m uU`项保持不变。`U^2`项趋于零。陀螺支座的水平力趋于零（因为`F_3`与`F_1`趋于大小相等，但方向相反）。

这个结果 ...

仔细想了一下你的说法，你说得有道理。

是我在计算

                               
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的时候遗漏了一项瞬心的加速度，计算出来的是对瞬心的加速度。应该在F1和F3里边各减去一项

                               
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。因为瞬心的加速度是

                               
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你说加就加，说减就减

谁让你展开了？

既然你要减掉u的什么瞬心加速度，消除它的影响，为什么不在开始就减？

在这里减！

                               
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[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-29 20:34 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-29 20:32 发表

                               
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你说加就加，说减就减

谁让你展开了？

既然你要减掉u的什么瞬心加速度，消除它的影响，为什么不在开始就减？

在这里减！
http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7BV%7D_%7B%7B1%7D%7D%3D%7Bu%7D-%7BU ...

你仔细看看1048楼的例子，也许就明白为什么不能在一开始就减掉U，因为用绝对速度（u-U）或（u+U）计算离心力的时候，可以躲开科氏加速度的概念而得到正确的结果。在计算结果中就自动包含了科氏力，也就是那个交叉项2muU。如果一开始就去掉u，得到的只是牵连加速度那一项。

只有仔细琢磨，反复思考，你才能体会到物理规律的真谛和奇妙。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-3-29 20:49 编辑 ]

呵呵，早跟你说过，正规的科氏力解释，在我眼里都是垃圾，早已被我驳得哑口无言，更不用说你这画蛇添足地掺杂了U的解释

不过谁也要找个寄托，你认为自己的解释天衣无缝，你就自己举着好了，何况还有5111等在我指出你致命的计算错误之前就拥护你，他们也找到了寄托，尽管这个寄托在我眼里漏洞百出，但是不影响他们信任你，因为我的话无效，丝毫也不影响你的解释

所以你尽可不参考我的意见，如果不是你要求，我甚至都不想过问你那曾经强劲的水平拉力，因为我前面指出过多次，你都视而不见

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-29 20:49 发表

                               
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呵呵，早跟你说过，正规的科氏力解释，在我眼里都是垃圾，早已被我驳得哑口无言，更不用说你这画蛇添足地掺杂了U的解释

不过谁也要找个寄托，你认为自己的解释天衣无缝，你就自己举着好了，何况还有5111等在我指出你致命的计算错误 ...

在你眼里是垃圾的东西未必真的是垃圾，也许你的想法是垃圾。这需要你来证明别人的是垃圾。

在1087楼，我指出了你在1楼的数学错误，你要是有信心，不妨辩解一下。
要是你连那么简单的数学常识都不能弄清楚就来研究陀螺运动，不制造垃圾才是奇怪的事情了。

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-29 20:49 发表

                               
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所以你尽可不参考我的意见，如果不是你要求，我甚至都不想过问你那曾经强劲的水平拉力，因为我前面指出过多次，你都视而不见

我视而不见？那也是我自己找到了问题所在，并且修订正确了。不信你继续挑毛病。

在1087楼我指出了你一楼的致命错误，恐怕你连修正错误的机会也没有了。

原帖由 愚石 于 2008-3-29 20:47 发表

                               
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你仔细看看1048楼的例子，也许就明白为什么不能在一开始就减掉U，因为用绝对速度（u-U）或（u+U）计算离心力的时候，可以躲开科氏加速度的概念而得到正确的结果。在计算结果中就自动包含了科氏力，也就是那个交叉项2muU。如果一开 ...

呵呵

你还可以在这里，再增加些什么，然后单独再减掉，也许还会出现更加奇妙的结果

                               
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+x -u -x

另外好像看到你前面说

雪鹰对我用离心力计算却得到了科氏力感到不解，我就给你个明显的例子：

假设有一个铁球，质量为m，沿着赤道以线速度V向东运动，求其离心力（或者向心力）F，赤道的自转线速度V0,赤道半径R。

                               
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这样，算出的离心力里边就包含了

                               
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这一项科氏力。

这一项是科氏力吗？闻所未闻，也许我是孤陋寡闻
http://baike.baidu.com/view/500807.html
“在北半球上由南向北的河流东岸冲刷较多”

我认为你还是复习一下科氏力为好

可见你的新角速度方向，是需要自转轴方向与水平垂直的章动方向的两个角速度合成的，不管有多小，这个章动角速度≠0，都必须有
现在，你我都知道，理论上存在严格的规则进动（章动角速度=0），即再也没有章动角速度，可见再也不能合成出新的角速度，因此，开始分析的那一刻，那个“角速度”指向什么方向，它就永远锁定那个方向，不会再改变。
应该不能说，现角速度与一个没有的东西合成出新的角速度
所以，按你的推论，陀螺将不再进动。

也许是我说的不够详细，那个帖子主要讲一般的自转、进动和章动。
在规则进动的时候，考虑的不是“怎样产生进动”，而是“进动是怎样维持的”。因为规则进动必须要有一个恰好合适的初始状态，所以不能从稳定转动开始，而应从某个“刚好”的“进动状态”上开始才行。
那么，在我那个帖子中说到的“那个瞬间”之前：
角速度的方向在杆的方向的正上方（拿那个图中的杆的右端点来说），偏离了一点。这个是那个苛刻的初条件决定的。
这刚好很像是，一个带有章动的进动过程中，杆的右侧走到最低点的时候的瞬间状态。除了具体的角速度不同之外。
然后，在这个瞬间：
角速度方向因受力矩而改变了，向水平方向挪了一步。
杆的方向因为它的原有的（绕刚才的角速度方向的）速度，也向水平方向挪了一步。
如果条件刚刚好（就是那个苛刻的规则进动的初条件），那么它们的下一瞬间，还是一上一下的位置状态，在竖直方向上保持偏离那么一小点！
这就是规则进动的图景。

[ 本帖最后由 bearcat 于 2008-3-29 21:36 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-29 21:08 发表
这一项是科氏力吗？闻所未闻，也许我是孤陋寡闻
“在北半球上由南向北的河流东岸冲刷较多”
我认为你还是复习一下科氏力为好。

看来你对科氏力只是理解了皮毛。

科氏加速度的定义是牵连角速度叉乘相对线速度的2倍。

所以，当“河流”在圆盘上沿径向流动的时候，科氏力是切向力（就是你说的冲刷东岸的原因），当“河流”在圆盘上沿周向运动时，科氏力表现为径向力，也就是背离转轴或指向转轴（躺卧的陀螺和1048楼的物体沿赤道运动都是这种情况），就是“离心力”或“向心力”。你要是不能理解这些道理，建议你重学理论力学1000遍。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-3-29 21:55 编辑 ]

我认为，你的解释与dL/dt=M异曲同工，只是将“角动量”换成了“角速度”，将“力矩”换成了同方向的“角加速度”
实际上，你已经认为“在水平的角加速度作用下，产生了垂直方向的角速度（变化）”

我没看懂你的意思，我想，你肯定是误解了。
对第一句涉及的概念，我打算在讲明白这些问题之后再引入，因为很不容易讲清楚这些概念之间的关系。一个很麻烦的数学对象会摆在你面前：张量。如果不说清楚矢量和张量的计算，就很难说清楚角动量和角速度、力矩和角加速度的关系。这就是我前面某个帖子里说的说来话长的内容之一。
还好，比较幸运的是，在重陀螺定点转动中，一般就把转动惯量当标量看就可以了。一旦考虑非对称的刚体，就要做一点头部扩张运动了。
至于第二句，我就彻底不懂了。
我的叙述中从来没有出现垂直方向的角加速度啊。角速度有可能有垂直方向的分量，但那个是初条件带来的，不是力矩产生的。力矩垂直于重力，方向当然是水平的。
也许你后来说的这句我看不太懂的话是这个意思：

能够这样说吗？因为角速度始终位于同一个锥面，所以陀螺将在这个锥面进动，或者不在这个锥面进动

如果你说的就是我理解的，那么就是这样的。