陀螺现象探源……质点的圆周运动+简谐运动

不要拿自己学问高来压人，

咱们是在讨论问题，不是在闭口听你诉说

也不要以为自己对陀螺完全明白

要是你完全明白，高楼不至于盖到1000多，
我对有些人的轻狂态度真是看不过眼

质点圆周运动和简谐运动一窍不通……这帖子也看了很久，只想留下这两句话：

1、每个人心里都有一座城，别人进不去，自己出不来。

2、如果一个人以自心为圆心画圆，在他眼里，这是一个正圆。在别人眼里或许那根本不是一个圆。

[ 本帖最后由 zhangyundong 于 2008-3-28 15:11 编辑 ]

二、能量问题：

1楼的模型中，显然力矩M没有做功，自转角速度也没有变化，却多出了进动角速度所具有的能量。也就是说没有能量输入却有了能量输出。对于这样一个连重力也忽略了的简单保守系统，能量不守恒！这肯定是什么地方出了问题，就凭这一条就可以否定1楼。

三、变为有支点的拉哥朗日陀螺：

我实在是想不出，用1楼的模型如何来解释。因为不管你把圆盘自转轴的那边变为支点，且不论a的具体函数形式是什么，但有一点是肯定的，圆盘的a都指向一个方向——垂直向下（无论圆盘的上部还是下部），这就无法用1楼的模型来解释进动了。

下面有请雪鹰答辩吧

[ 本帖最后由 kxjh 于 2008-4-1 08:18 编辑 ]

原帖由 zhangyundong 于 2008-3-28 15:10 发表

                               
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质点圆周运动和简谐运动一窍不通……这帖子也看了很久，只想留下这两句话：
1、每个人心里都有一座城，别人进不去，自己出不来。
2、如果一个人以自心为圆心画圆，在他眼里，这是一个正圆。在别人眼里或许那根本不是一个圆。 ...

很有哲理，值得体会

我找到了1楼的错误所在。

本来不想仔细地看楼主的一楼，原因是已经知道他最终的定量结果是错误的，其推理肯定有错误，与其挑他的错，还不如找一种新的方法。

现在看来，楼主还是坚持他的一楼推理是正确的，为此，看了一下他的论证过程，发现了他的错误所在。

首先，楼主的结论和假设是互相矛盾的。他的结论是圆盘不会倒下。可是其推理中假设有倒下的角加速度：

α=M/I

由于转动惯量I是有限的，a自然不等于零，倾翻角就会累加增大，这就是倒下，显然与结论是矛盾的。
楼主认为，由于a不等于零，才产生了力F，由此看来，楼主的功劳是发现了这个交变的力F。可是，楼主以下的话就没有任何道理了：

“这个力将影响质点在垂直于盘面方向的运动，在适当的条件下，将会导致质点出现简谐形式的运动

v(t)=Vsin(ωt)如下图

一旦形成此形式的运动，质点运动到12-6连线上时，垂直于盘面方向的速度就为0，因此，12-6连线始终保持铅直”

这只能说是猜想，而不能说是推理。

最主要的是，如果12-6连线始终保持铅直，那么前面的α=M/I、F和倾翻角都将等于0，起码倾翻角肯定是0，否则，“12-6连线始终保持铅直”是什么意思？你的整个论述全部被自己得结果否定了。

实际上，只要圆盘的自转速度`\omega`和进动速度`\Omega`不等于0，根本不需要楼主再去蛇足什么α，需要的力F就是必然存在的，那就是科氏力：

`F=2m u\Omega`

其中，`u` 是自传线速度，`\Omega`是公转角速度。

只要F足够大，就能抵抗住M造成的倾倒趋势，实现稳定运转。

楼主添加什么α，那才是真正的画蛇添足。

[ 本帖最后由 愚石 于 2008-4-4 15:06 编辑 ]

有个希望，在楼主认清自己的错误以后，能够痛快地认错，就像我一样。

谁还没有犯错误的时候，知道错了也不承认，那样不好。

http://cai.tongji.edu.cn/wanluokecheng/p01/ch05/sec02/

如果这页没错，角动量定理共有3种形式
1，质点定点，2 质点定轴 ，3刚体定轴 ，
唯独没看见刚体定点的角动量定理，难道是我孤陋寡闻？熊猫和 kxjh 是不是自造的“刚体定点角动量定理”

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(1) 质点对定点的角动量 　　设质量为m的质点在时刻t以速度v运动，它对所取参考点O（见图5）的角动量定义为                                 登录/注册后可看大图

登录/注册后可看大图 　　　　 　图5

式中，r是质点相对于O点的位矢。角动量L是矢量，按矢积定义，它垂直于质点的位矢r与动量mv所构成的平面，其指向由右手螺旋定则判定：把右手的大拇指伸直，其余四指指向r的方向，再循小于                                 登录/注册后可看大图 角转到mv的方向，则大拇指所指方向即为角动量L的方向。角动量的大小为

L=rmvsina

a为位矢r与动量mv之间小于                                 登录/注册后可看大图 的夹角.

(2)质点对定点的角动量定理 　　质点所受外合力对某一参考点的力矩等于质点对该参考点的角动量之时间变化率．这就是质点对定点的角动量定理。矢量表达式为

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当质点所受合外力对某定点的力矩为零时，则由质点对定点的角动量定理，质点对该点的角动量始终保持不变，这就是质点角动量守恒定律，其表达式为

L＝恒矢量

质点角动量守恒定律在天体力学和原子物理学中有广泛应用。

(3)质点对定轴的角动量 　　若质点在半径为r的园周上运动，如下图所示。

图6

以圆心O为参考点，那么r与v（或p=mv）总是相垂直的。于是质点对圆心O的角动量L的大小为

L=rmv

因为v=r                                 登录/注册后可看大图 ,上式可写成

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至于L的方向应平行于z轴，且与                                 登录/注册后可看大图 的方向相同。这样，我们可把该角动量作为标量来处理，并称这种情况下的角动量为质点对轴的角动量

（4）质点对定轴的角动量定理

质点对定轴的角动量随时间的变化率，等于该质点对轴的合外力矩。这一结论称为质点对轴的角动量定理。即

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（5）刚体定轴转动的角动量

刚体绕定轴转动时，由于刚体上每一个质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动。其中,质量为                                 登录/注册后可看大图 的质点对轴的角动量为

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于是刚体内所有质点对轴的角动量，即刚体对轴的角动量为

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因为刚体内各质元的角速度相同，所以有

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其中                                 登录/注册后可看大图 称为刚体对轴的转动惯量。上式表明：刚体对定轴的角动量等于它对该轴的转动惯量与角速度的乘积。

（6）刚体定轴转动的角动量定理 　　刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩M，等于刚体绕此定轴的角动量L随时间t的变化率。这就是刚体定轴转动的角动量定理，即

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[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-28 21:30 编辑 ]

如果你们说这本书错了，那我无语

可见百度百科给的那个解释也是没错的，

我说角动量定理不适用陀螺，你们说我没知识

你们有知识，你们比教科书还有知识

当然我相信要是你们编书，肯定能编出个刚体定点角动量定理

该看教科书的是谁？

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-28 22:08 编辑 ]

原帖由 kxjh 于 2008-3-28 15:44 发表

                               
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一、坐标系问题：

1、你立论的基础是圆盘边缘当有线加速度a(θ)=αRcos(θ)，后面的所有结论都是由这个推导出的，这你已经确认了。
那我们来分析一下，a(θ)=αRcos(θ)有的是什么坐标系？
圆盘还未进动时（也就是力矩加上去的一瞬间，即t=0时刻），很显然圆心为坐标原点O，以圆面为XOY面（垂直向上为OX轴水平向右为OY），自转轴为OZ轴。此时坐标系是静止的，是个惯性系。这样a在Z轴的分量为a(θ)=αRcos(θ)，X轴和Y轴的分量为0
圆盘一旦进动（力矩加上后马上就会进动，即t>0所有时间），如果你的坐标系不动，则a在X轴的分量还为0，在Y轴的分量不为0，Z轴的分量也不是a(θ)=αRcos(θ)！也就是说如果坐标系不动，则a的函数形式就要变，这显然不符合你下一步推导的要求。要使a的函数形式不变，只能是坐标系和圆盘一起动，也就是Z轴和圆盘一起进动。还有关键的一点，进动后力矩的方向就变了，而a(θ)=αRcos(θ)并没有体现出这个变化，这只能解释为坐标系和圆盘一起进动。
所以我说你的“1楼用的坐标系是相对于静系（惯性系）以进动角速度Ω转动的动系（非惯性系且其牵连运动为转动）。”
2、再来看v(t)=Vsin(ωt)，这个简单，显然是静系，如果是动系v(t)恒等于0。
3、由上述两条可见a(θ)=αRcos(θ)和v(t)=Vsin(ωt)用的是两个不同的坐标系，这就出现了v(t)导数不等于a(θ)，IωΩ也不等于M（注意：在ω与Ω垂直的进动中赖柴定理是精确的而不是近似的），这样的“怪”现象。
4、你利用了t而不是分解到各个轴的分量来表达a和v，这样做看似巧妙实质是个大大的错误！当然你这样做我想不是故意的，而是没有深入思考，因为我在开始问你坐标系问题的时候，你显然自己也不清楚，最终答复我的也是引用别人的话。...

关于坐标系问题，我已经声明，他非常奇怪，凭我现在的能力无法准确地描述，见下图

                               
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存在以下几个问题
1、v(t)=Vsin(ωt)也不是在静系，静系的速度变化显然还要加上圆周且向速度，那相当繁琐。只能理解为时刻垂直于盘面方向的速率变化，因此，这个方程即不在动系中，也不在静系中
看上图的水平投影

                               
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这是一个正弦规率变半径匀角速度圆周运动，还记得我前面问你“匀速圆周运动”的坐标系吧，呵呵，这个质点的运动更加奇怪，显然不在静系中，同时也不在动系中，不瞒你说，不但我，很多高手都给不出坐标系。当年天涯论坛的霜焰（也是数学高手）定义为“简谐运动坐标系，还要向什么曲面投影”，可见要准确描述这个坐标系着实困难

2、a(θ)=αRcos(θ)，即a(t)=[M/I]Rcos(ωt)，它来自于α=M/I，是真实存在的，我们知道，只要M存在，α就存在，不管圆盘如何运动，M都如影随形跟着他，因此边缘的线加速度始终存在，见下图

                               
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他的水平投影

                               
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可见，v(t)=Vsin(ωt)与a(t)=[M/I]Rcos(ωt)同处于一个不知名的坐标系

假设仙女座某星球上有个人说自己的蛋白在做简谐运动，再假设我们有超常视力，看到他的单摆在乱动，我们是相信自己的眼睛还是他的报告？

不管在什么系，我们得到了报告，v(t)=Vsin(ωt)事实存在，那么它的变化不可能凭空发生，必然需要实实在在的周期性外力作用，这是牛一的要求，那么追寻这个“外力”，就是在寻找他变化的原因，必须找到这个实在的外力，才能真正解决v(t)变化的根本原因

因此，我逆向追踪，追到a(t)=[M/I]Rcos(ωt)，与力矩M联系起来
（这个思路就是熊猫142的继续，可惜他自己并不感兴趣）

这个过程可以理解吗？
尽管仍然不知道这个坐标系，但是我们“知道”他们事实上存在，不过是将两个事实放在一起联系起来

先确认这一步吧，即便是勉强认可，下面的问题都好说

原帖由 kxjh 于 2008-3-28 15:44 发表

                               
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二、能量问题：

1楼的模型中，显然力矩M没有做功，自转角速度也没有变化，却多出了进动角速度所具有的能量。也就是说没有能量输入却有了能量输出。对于这样一个连重力也忽略了的简单保守系统，能量不守恒！这肯定是什么地方出了问题，就凭这一条就可以否定1楼。

三、变为有支点的拉哥朗日陀螺：

我实在是想不出，用1楼的模型如何来解释。因为不管你把圆盘自转轴的那边变为支点，且不论a的具体函数形式是什么，但有一点是肯定的，圆盘的a都指向一个方向——从支点看向圆盘的方向（无论圆盘的上部还是下部），这就无法用1楼的模型来解释进动了。 ...

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-28 23:20 编辑 ]

原帖由 bearcat 于 2008-3-28 13:43 发表

                               
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不要理“进动角速度”，咱们从头来，不要这个概念。
这就是我说，要从另外一个角度试图让你理解。这个角度就是从最基本的概念开始，尽量不引入繁琐的概念，以避免混乱。
我只考虑一种运动，就是瞬时的转动。因为只有这种运动是可以良好定义的，其它定义都需要一个坐标架来辅助。
自转（非瞬时概念的，就是你们说的那个自转）、进动、章动，它们合起来，在瞬时表现为一个“自转”。就是我说的瞬时转动。
这个转动的轴就是瞬时角速度的方向。在进动很小的时候，它基本上就是自转角速度的方向，但考虑到进动，它的方向和自转轴（那跟杆）的方向略有区别。

以上能接受吗？
能的话就不存在垂直方向（进动意义的）的角速度了。因为只是角速度的轴变了，但那根“杆”当时没动，所以此时杆没有垂直方向的角速度。
关键是分清楚运动的“轴”和支持的“杆”的区别。 ...

你的“自转”显然是将刚体绕对称轴的自转与绕进动轴的公转合在了一起，不管公转（进动）大小，这样眉毛胡子一把抓有什么好处？

你重新定义的“角速度”方向显然不是陀螺对称轴方向（当然我知道教材就是这样的），这显然混淆并掩盖了陀螺对称轴的运动，因此他不能代表陀螺的运动。

比如前面，kxjh就无可奈何地承认“不能由力矩的方向就导出陀螺如何运动”，显然，由力矩的方向是可以导出总角动量（也就是你的角速度）如何变化的，但是那不是陀螺的实际运动，不要混在一起

人们（至少我）是想知道“陀螺对称轴”运动，也就是刚体实际的运动，没有人会问“陀螺的总角动量（总角速度）怎么变化”，他们的问题是陀螺（也就是那个刚体）怎么样

我看还是分开好，尤其是规则进动，自转公转一目了然，井水不犯河水，如果允许混在一起，你一个dL/dt=M就全解决了，但是别人仍然不明白陀螺本身的运动

因此，只好请你分别叙述，自转就是自转，公转就是公转，这样才能说明白陀螺的运动，才能准确回答“陀螺（那根对称轴）为什么不倒”，（5111也就不会那么猴急了）

愚石网友，你修改后的科氏力矩解释我3年前就抛弃了，你愿意当个宝贝我没意见
翻一下前面的帖子，你应该还记得在你非要计算强大的离心力的时候，我就不止一次建议你接受科氏力解释，我认为目前他最接近正解，但是在我眼里仍然是垃圾，所以我早就弃之如弊履

谢谢你对1楼的质疑，简答一句，有加速度不见得有速度，希望你能认同，同时，在速度峰值时，也不见得有加速度

详细回答等我应付过kxjh，他的质疑更犀利，并且很快可能就涉及你的问题，敬请关注

再有，我错了会承认的，谢谢提醒

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-3-28 22:59 编辑 ]

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-28 22:42 发表

                               
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因此，只好请你分别叙述，自转就是自转，公转就是公转，这样才能说明白陀螺的运动，才能准确回答“陀螺（那根对称轴）为什么不倒”，（5111也就不会那么猴急了）

嘿嘿

我现在猴急的是他们还不肯放下角动量定理的解释

并且他们一度认为我有严重的知识缺陷（其实他们根本不看我说的是啥）

我从百度找，他们说百度给的答案不准，非要让我到书上找

这回找到了, 看他们还有什么好说的，

角动量定理里根本就没有“刚体定点角动量定理”这项，原因当然是陀螺自转时候不是质点。那些右手螺旋什么的更是糊弄人

现在该轮到他们翻书了，他们得先把角动量定理复习一下

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-28 23:31 编辑 ]

5111，似乎你对陀螺运动还没有大彻大悟？

古人云：朝闻道，夕死可矣！

早晨明白了“道理”，晚上就是死了也不遗憾，看来明白个道理，真是不容易~~~

关于角动量定理，症结就在“右手定则”，也就是数学的“叉乘规则”，只要弄清楚了这个，陀螺也就没问题了

原帖由 zhangyundong 于 2008-3-28 15:10 发表

                               
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质点圆周运动和简谐运动一窍不通……这帖子也看了很久，只想留下这两句话：

1、每个人心里都有一座城，别人进不去，自己出不来。

2、如果一个人以自心为圆心画圆，在他眼里，这是一个正圆。在别人眼里或许那根本不是一个圆。 ...

按惯例，欢迎新朋友！欢迎光临

朋友是学哲学的吗？还是自己参透了玄机

原帖由 雪鹰J 于 2008-3-28 23:12 发表

                               
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5111，似乎你对陀螺运动还没有大彻大悟？

古人云：朝闻道，夕死可矣！

早晨明白了“道理”，晚上就是死了也不遗憾，看来明白个道理，真是不容易~~~

关于角动量定理，症结就在“右手定则”，也就是数学的“叉乘规则”，只要弄清楚了这个， ...

我信了愚石的，昨天就知道陀螺怎么运动了（我只是自己认为我知道了）

你可以看看我1068的教科书内容，就能看出角动量定理根本不适用陀螺，

角动量定理其实很简单，没有那么多事，也不改变方向，

熊猫和 kxjh 把角动量定理这座大楼盖的过高，然后发现地基少一块

[ 本帖最后由 511103023 于 2008-3-28 23:23 编辑 ]

既然你明白了陀螺运动，可以休息一下了，他们爱用就用吧，呵呵，别和他们较劲了

你的“自转”显然是将刚体绕对称轴的自转与绕进动轴的公转合在了一起，不管公转（进动）大小，这样眉毛胡子一把抓有什么好处？

我这样处理仅仅是因为参考系和坐标架比较麻烦，这样做处理起来简单很多，而且实际上更清晰。
这个思路不常规，但更接近本质。

比如前面，kxjh就无可奈何地承认“不能由力矩的方向就导出陀螺如何运动”

呵呵，我想说的是：实际上你指出他承认的，仅仅是他没有导出来而已。我想，我可以做到。

我看还是分开好，尤其是规则进动，自转公转一目了然，井水不犯河水，如果允许混在一起，你一个dL/dt=M就全解决了，但是别人仍然不明白陀螺本身的运动
因此，只好请你分别叙述，自转就是自转，公转就是公转，这样才能说明白陀螺的运动，才能准确回答“陀螺（那根对称轴）为什么不倒”

那样的话，我又要回到1楼去了，这不是我的目的。
请稍安毋躁，跟着我的思路走，按照我的定义仔细想想（反正定义而已，又不是观点或结论，不是不能接受吧？），我会尽力把这些概念解释清楚。
一旦你领会了这个思路，就会柳暗花明了。

呵呵，你非要眉毛胡子一把抓，那就抓吧

似乎你从没进过1楼，怎么叫又回去？1楼的过程，我认为与你的142等价，你就对142这么没信心？我认为只有从质点受力运动才能说明问题

接着说吧~~看你怎么“仅仅是他没有导出来而已。我想，我可以做到”~~

不过我要提个要求，如果万一你也搞不定，就跟我回1楼，哈哈

是啊，我的142和你的1思路上差不多。
我只提1楼的原因仅仅是我记不住自己的推导在哪儿了。
你最好在1楼给个整楼的地图吧，呵呵~~
这两楼最大的问题都是：乱！
在乱中很容易出错，而且不容易看到物理的内涵。
所以我选择另辟蹊径，从最本质的东西出发。
别急，我慢慢说，在我的帖子还没出来之前，建议你回顾一下我前面的帖子。