定量分析：
在水平面内：
质点1 的绝对线速度等于自转线速度减去进动线速度：
`V_1=u-U` (1)
质点3 的绝对线速度等于自转线速度加上进动线速度：
`V_3=u+U` (2)
质点1受到的指向Z轴的向心力与支架受到的反作用力F1大小相等方向相反：
$F_1=frac{mV_1^2}{R} -frac{m u^2}{R}= frac{m(u-U)^2}{R} - frac{m u^2}{R} = frac{m(U^2-2uU)}{R}$ (3)
其中的frac{u^2}{R}项是瞬心的加速度。
类似质点1，质点3给支架的反作用力：
$F_3=frac{m(U^2+2uU)}{R}$ (4)
要想让支架平衡,需要保证力矩平衡：
$M + F_1r=F_3r$ (5)
把式3、4代入5得到：
$M=frac{4mruU}{R}=2mr(2u\Omega)$ (6)
括号里正好是科氏加速度。因此说，是科氏加速度产生的力矩抵抗着重力矩。
把 $u=r\omega$ 带入6式得到:
$M=4mr^2\omega\Omega$ (7)
由于$4mr^2$ 就是4个质点对自转轴的转动惯量,所以得到:
$\Omega=frac{M}{I\omega}$ (8)
这与赖柴定理给出的结果是完全相同的。这个结果不是近似结果,而是精确结果。
上面的力矩平衡计算没有计算质点2和质点4的贡献。这是因为它们的向心力都经过支点，所以不会产生力矩。
总而言之，进动转速让陀螺的上下速度不等，而且总是下部速度较高。因此，下边的离心力大于上边的离心力（差值等于2倍的科氏力），而且这两个力与Y轴（支架下坠的转轴）不相交，造成了抵抗重力矩的扶正力矩，当扶正力矩等于重力矩的时候，陀螺就稳定运转，不会倒下。
这里，支点必须向陀螺提供一个轴向的支反力，
质点1和质点3对支架的水平作用力:
$F_1=frac{m(U^2-2uU)}{R}$ (9)
$F3=frac{m(U^2+2uU)}{R}$ (10)
展开这两个式子的时候,里边包含一项 $frac{2uU}{R}$， 这一项就是科氏加速度。对质点1,这一项是负值；对质点3，这一项是正值，说明上下质点的科氏加速度方向相反,它们都力图让陀螺回正。
质点2和4对支架的水平作用力在轴向的分力:
$F2=frac{mU^2}{R} $ (11)
$F4=frac{mU^2}{R} $ (12)
稳定运转时，支座的水平拉力：
$F_o=F_1+F_3+F_2+F_4= frac{4mU^2}{R}=4mR\Omega^2$
其中:
$4mR\Omega^2$ 这一项是牵连加速度产生的离心力,也就是用质心定理计算出的那个离心力。
在陀螺质量和$\Omega$相同的情况下，陀螺自转速度不会影响支座的轴向拉力。因为每个质点的绝对加速度包括：牵连加速度、相对加速度和科氏加速度。科氏加速度造成的作用力在支架内抵消了。相对加速度为零，所以，只有牵连加速度造成的力作用到了支座上。
[ 本帖最后由 愚石 于 2008-3-27 21:38 编辑 ] |
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